Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ... Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————• le equazioni prognostiche relative alle tre componenti medie del vento, che esprimono laconservazione della quantità di moto;• l’equazione prognostica relativa alla temperatura potenziale, che esprime la conservazionedell’entalpia;• la relazione prognostica relativa al contenuto di acqua;• la relazione differenziale che esprime la conservazione della massa;• la equazione dei gas perfetti.La scelta della chiusura potrebbe richiedere la presenza nel modello anche di altre equazioniprognostiche. Ricordando quanto presentato sempre nel Cap.2, se si adotta una chiusura locale di tipoK o la chiusura non locale di Stull, non è necessario l’introduzione nel modello di altre equazioniprognostiche. Quello che è necessario, invece, è la determinazione, nel primo caso, di opportunerelazioni semiempiriche per esprimere i coefficienti diffusivi e, nel secondo caso, di un modello (di tiposostanzialmente algebrico) per l’implementazione del meccanismo di dispersione non locale(determinazione del potenziale ed alla fine della transilient matrix). Se, invece, le chiusure sono diordine superiore, è indispensabile individuare altre equazioni prognostiche che, nella maggior parte deicasi, si riducono alla sola equazione relativa all’energia cinetica turbolenta. Chiaramente il tempo dicalcolo richiesto dal modello sarà più che proporzionale al numero di equazioni prognostiche daintegrare numericamente.Dato che, però, questi tipi di modelli saranno applicati a situazioni reali, potranno sorgere anche altri tipidi problemi. Il primo è legato al sistema di coordinate adottato. Consideriamo inizialmente le coordinateorizzontali. Le equazioni fluidodinamiche sono state scritte e presentate in termini di coordinatecartesiane (x,y), riferite ad un sistema cartesiano ortogonale arbitrario, che frequentemente (ma nonsempre) è quello meteorologico ben noto. Tuttavia, se la regione su cui viene applicato il modello èvasta, è probabile che sia necessario adottare altri tipi di coordinate, come per esempio la latitudine e lalongitudine. Per quanto riguarda la coordinata verticale z, anche se potrebbe sembrare una sceltanaturale e ragionevole, spesso il suo uso risulta estremamente difficoltoso in presenza di orografia. Allaluce di ciò, spesso i modellisti adottano sistemi di riferimento non cartesiani che richiedono la riscritturadelle equazioni prognostiche in funzione del nuovo sistema di coordinate e ciò sempre comporta unacomplicazione formale in queste equazioni. Dal punto di vista matematico, la trasformazione dicoordinate può essere trattata nel modo seguente. Si consideri un sistema di riferimento cartesiano(x,y,z) ed un secondo sistema di riferimento (ξ,η,ζ) in cui ci interessa trasformare le varie equazionidifferenziali considerate. Formalmente, tra i due sistemi di riferimento esisterà la trasformazione:x = xy = yz = z( ξ,η,ζ ) ↔ ξ = ξ = ( x,y,z)( ξ,η,ζ ) ↔ η = η = ( x,y,z)( ξ,η,ζ ) ↔ ζ = ζ = ( x,y,z)[8.2a]Tale trasformazione sarà unica se il determinante Jacobiano, definito come:J=∂x∂ξ∂y∂ξ∂z∂ξ∂x∂η∂y∂η∂z∂η∂x∂ζ∂y∂ζ∂z∂ζ[8.2b]—————————————————————————————————————- 273 -
8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————risulta non nullo e positivo. E’ immediato, inoltre, verificare che:⎡ ∂ξ⎢⎡dξ⎤ ⎢ ∂x⎢ ⎥ ⎢ ∂η⎢dη⎥=⎢ ∂x⎢⎣dζ⎥⎦⎢ ∂ζ⎢⎢⎣∂x∂ξ∂y∂η∂y∂ζ∂y∂ξ⎤⎥∂z⎥ ⎡dx⎤∂η⎥ ⋅⎢ ⎥⎥ ⎢dy∂z⎥∂ζ⎥ ⎢⎣dz⎥⎦⎥∂z⎥⎦↔⎡ ∂x⎢⎡dx⎤⎢∂ξ⎢ ⎥ ⎢ ∂y⎢dy⎥=⎢∂ξ⎢⎣dz⎥⎦⎢ ∂z⎢⎢⎣∂ξ∂x∂η∂y∂η∂z∂η∂x⎤⎥∂ζ⎥ ⎡dξ⎤∂y⎥ ⋅⎢ ⎥⎥ ⎢dη∂ζ⎥∂z⎥ ⎢⎣dζ⎥⎦⎥∂ζ⎥⎦[8.2c]Queste relazioni consentono quindi di trasformare le derivate parziali originariamente scritte rispettoalle coordinate cartesiane (x,y,z) nel nuovo sistema di riferimento. Se, per esempio, consideriamo unagenerica derivata parziale rispetto a x, si ha che:∂ ∂ξ∂= ⋅∂x∂x∂ξ∂η∂ ∂ζ+ ⋅ +∂x∂η∂x∂⋅∂ζ[8.3a]e quindi risulta chiaro che l’introduzione del nuovo sistema di riferimento complica notevolmente lascrittura delle equazioni di bilancio. Se, per esempio, considerassimo la semplice relazione seguente:∂A∂B∂C∂D+ + + = E∂t∂x∂y∂z[8.3b]essa si trasformerebbe nella ben più complessa forma seguente:∂∂t( JA)∂ ⎛ ∂ξ∂ξ∂ξ⎞+ ⎜ J B + J C + J D⎟+∂ξ⎝ ∂x∂y∂z⎠∂ ⎛ ∂η∂η∂η⎞⎜ J B + J C + J D⎟+∂η⎝ ∂x∂y∂z⎠∂∂ζ⎛ ∂ζ∂ζ∂ζ⎞⎜ J B + J C + J D ⎟ = JE⎝ ∂x∂y∂z⎠[8.3c]Ulteriori dettagli su questo difficile argomento possono essere trovati in Pielke (1984) e Xue e al.(1995). Nel seguito, dato che il nostro obiettivo è esclusivamente didattico, trascureremo tale problemae considereremo sempre le equazioni prognostiche scritte in termini di coordinate cartesiane.Un altro problema da risolvere è la scelta della dimensionalità del modello. Anche se la logicavorrebbe che il modello fosse tridimensionale, il tempo di calcolo richiesto dall’integrazione delleequazioni differenziali del modello, più che proporzionale con la dimensionalità del problema, a volte puòconsigliare scelte diverse. Per esempio, se si sta studiando il PBL costiero, è ragionevole ritenere chesia presente in un tale problema un certo grado di omogeneità lungo la direzione parallela alla costa equindi può essere consigliabile riscrivere le equazioni del modello in modo tale da evidenziareesclusivamente la variabilità spaziale lungo la direzione perpendicolare alla linea di costa e lungo laverticale. Quando, invece, si sta considerando una regione pianeggiante e fortemente omogenea inorizzontale, può essere sufficiente ridursi ad un modello monodimensionale che evidenzi solo lavariabilità verticale del problema.—————————————————————————————————————- 274 -
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8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————• le equazioni prognostiche relative alle tre componenti medie del vento, che esprimono laconservazione della quantità di moto;• l’equazione prognostica relativa alla temperatura potenziale, che esprime la conservazionedell’entalpia;• la relazione prognostica relativa al contenuto di acqua;• la relazione differenziale che esprime la conservazione della massa;• la equazione dei gas perfetti.La scelta della chiusura potrebbe richiedere la presenza nel modello anche di altre equazioniprognostiche. Ricordando quanto presentato sempre nel Cap.2, se si adotta una chiusura locale di tipoK o la chiusura non locale di Stull, non è necessario l’introduzione nel modello di altre equazioniprognostiche. Quello che è necessario, invece, è la determinazione, nel primo caso, di opportunerelazioni semiempiriche per esprimere i coefficienti diffusivi e, nel secondo caso, di un modello (di tiposostanzialmente algebrico) per l’implementazione del meccanismo di dispersione non locale(determinazione del potenziale ed alla fine della transilient matrix). Se, invece, le chiusure sono diordine superiore, è indispensabile individuare altre equazioni prognostiche che, nella maggior parte deicasi, si riducono alla sola equazione relativa all’energia cinetica turbolenta. Chiaramente il tempo dicalcolo richiesto dal modello sarà più che proporzionale al numero di equazioni prognostiche daintegrare numericamente.Dato che, però, questi tipi di modelli saranno applicati a situazioni reali, potranno sorgere anche altri tipidi problemi. Il primo è legato al sistema di coordinate adottato. Consideriamo inizialmente le coordinateorizzontali. Le equazioni fluidodinamiche sono state scritte e presentate in termini di coordinatecartesiane (x,y), riferite ad un sistema cartesiano ortogonale arbitrario, che frequentemente (ma nonsempre) è quello meteorologico ben noto. Tuttavia, se la regione su cui viene applicato il modello èvasta, è probabile che sia necessario adottare altri tipi di coordinate, come per esempio la latitudine e lalongitudine. Per quanto riguarda la coordinata verticale z, anche se potrebbe sembrare una sceltanaturale e ragionevole, spesso il suo uso risulta estremamente difficoltoso in presenza di orografia. Allaluce di ciò, spesso i modellisti adottano sistemi di riferimento non cartesiani che richiedono la riscritturadelle equazioni prognostiche in funzione del nuovo sistema di coordinate e ciò sempre comporta unacomplicazione formale in queste equazioni. Dal punto di vista matematico, la trasformazione dicoordinate può essere trattata nel modo seguente. Si consideri un sistema di riferimento cartesiano(x,y,z) ed un secondo sistema di riferimento (ξ,η,ζ) in cui ci interessa trasformare le varie equazionidifferenziali considerate. Formalmente, tra i due sistemi di riferimento esisterà la trasformazione:x = xy = yz = z( ξ,η,ζ ) ↔ ξ = ξ = ( x,y,z)( ξ,η,ζ ) ↔ η = η = ( x,y,z)( ξ,η,ζ ) ↔ ζ = ζ = ( x,y,z)[8.2a]Tale trasformazione sarà unica se il determinante Jacobiano, definito come:J=∂x∂ξ∂y∂ξ∂z∂ξ∂x∂η∂y∂η∂z∂η∂x∂ζ∂y∂ζ∂z∂ζ[8.2b]—————————————————————————————————————- 273 -
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