Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

5.ANALISI SPETTRALE DELLA TURBOLENZA DEL PBL.—————————————————————⎯⎯——————————————temporale discussa nel Cap.1 Se α è un processo stocastico stazionario, R α (τ) dipende solo dal tempodi ritardo (time lag) τ e la funzione di autocovarianza descrive quanto la variabile α resta correlatacon se stessa al variare del tempo. Questa informazione è estremamente importante, ma scomoda; se,per esempio, considerassimo un segnale variabile sinusoidalmente nel tempo ad una data frequenza,tutte le informazioni contenute nella sua funzione di autocovarianza ne descriverebbero completamentel’andamento nel tempo, ma dall’analisi di tale funzione non sarebbe immediato comprendere cheeffettivamente ci si trova di fronte ad un segnale “monocromatico”.Per evidenziare in modo più immediato questi andamenti oscillatori del segnale, è opportuno usareforme di analisi differenti. Per esempio, il Teorema di Fourier dice che ogni segnale α(t) può esseredecomposto in un numero infinito di armoniche e l’ampiezza di ogni singola armonicarappresenta il peso che essa ha nel segnale originario analizzato. Questo non è l’unico metodo dianalisi possibile, anche se sicuramente è il più utilizzato. A questo punto cerchiamo di applicare ilTeorema di Fourier per presentare in maniera più chiara le informazioni contenute nella funzione R α (τ).A tal proposito, la Trasformata di Fourier (cioè la decomposizione in armoniche) della funzione diautocovarianza R α (τ), è data dalla relazione seguente (Sorbjan, 1989):Sα1π∞∫−∞( ω) R ( τ )− jωτ=α⋅ e ⋅ dτ[5.2a]dove j è l’unità immaginaria ( − 1 ) e ω è la frequenza angolare dell’armonica (rad⋅s -1 ). Varicordato che, se T è il periodo di una generica armonica (in secondi), ω =2π/T. In base al Teorema diFourier, R α (τ) risulta quindi decomposta nelle singole armoniche di frequenza ω nel modo seguente(Antitrasformata di Fourier):Rα1jωτ=α⋅ e dω2∞∫−∞( τ ) S ( ω)[5.2b]in cui si vede chiaramente che la funzione di autocovarianza risulta essere la somma di infinitearmoniche; ognuna di esse ha frequenza ω ed il peso con cui essa è presente nel segnale originario èpari a S α (ω). A causa della stazionarietà del segnale, si ha che R α (τ)= R α (-τ) (cioè la funzione R α (τ) èuna funzione pari) e quindi si può più comodamente definire la densità spettrale di α come:Sα1∞− jωτ( ω) = ∫ Rα( τ ) ⋅edτ= ∫ Rα( τ ) ⋅cos( ωτ )π−∞2π∞0⋅dτ[5.2c]E’ facile mostrare che S α (ω) è una funzione pari, cosa che consente di riscrivere la (5.2b) nel modoseguente:Rα∞∫0( τ ) = S ( ω) ⋅cos( ωτ )α⋅dω[5.2d]L’impiego della frequenza angolare ω risulta spesso scomoda nelle applicazioni pratiche, in cui si usapiù frequentemente la frequenza f in Hz (1Hz = 1s -1 ). Si vede subito che:———————————————————————⎯⎯————————————- 174 -