Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯5. ANALISI SPETTRALE DELLATURBOLENZA DEL PBL⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Nel PBL l’energia dei moti atmosferici medi viene convertita nell’energia cinetica turbolenta possedutadalle strutture coerenti di maggiori dimensioni (eddy); tali strutture, a loro volta, trasferiscono questaenergia cinetica ai vortici di dimensione inferiore, finché questo processo a cascata si esaurisce nellaconversione in calore, ad opera della viscosità dell’aria. Ciò è già stato descritto nel Cap.1, tuttaviaquello che ancora non si è studiato è il peso che i vortici di differente dimensione hanno in questoenergy cascade, cosa che costituisce l’obiettivo dell’Analisi Spettrale. E’ abbastanza naturale che letecniche fin qui descritte non consentano di studiare in modo agevole questo problema e questoCapitolo sarà interamente dedicato alla presentazione di alcune tecniche di analisi spettraleappropriate per lo studio del PBL, prediligendo gli aspetti di rilevanza teorica. L’applicazione pratica diqueste tecniche sarà invece un tema trattato con maggior dettaglio nel Cap.10.Per prima cosa va sottolineato il fatto che possiamo partire da due distinti punti di vista: il punto di vistalagrangiano ed il punto di vista euleriano. Per il momento trascureremo il primo punto di vista e ciconcentreremo solo sul secondo. In questo caso le osservazioni vengono fatte in punti fissi dellospazio-tempo ed in questo sistema di riferimento fisso si cerca di evidenziare i vortici responsabili dellaturbolenza del PBL. Come già sottolineato, anche in questo caso ci sono due modi di vedere ilproblema. In un caso ci si può porre in un punto fisso dello spazio e si può analizzare la variazionenel tempo delle differenti variabili meteorologiche, realizzando quindi un’analisi temporale delfenomeno e, come si è già visto, la correlazione temporale tra le differenti variabili e la loroautocorrelazione definiscono completamente, anche se in maniera molto scomoda, questa analisitemporale. Tuttavia essa trascura di considerare come il fenomeno ad un dato istante temporale varinello spazio e le funzioni di correlazione ed autocorrelazione spaziali sopperiscano a tale difficoltà,anche in questo caso in maniera molto scomoda. Se però, in entrambi i casi, si introducesse un metododi analisi armonico basato sul fatto che una qualsiasi funzione comunque variabile nello spazio o neltempo può essere vista come la sovrapposizione di segnali armonici (trigonometrici), inevitabilmente lascomodità d’analisi, tipica delle funzioni di correlazione, cederà il passo ad una visione molto piùcomprensibili. Questo è proprio il filo conduttore che si seguirà in questo Capitolo.5.1 SPETTRI E COSPETTRI TEMPORALIIl metodo di osservazione più comodo e frequente è quello di collocarsi in un punto fisso dello spazio erealizzare misure prolungate nel tempo di una generica variabile meteorologica α (la temperatura,l’umidità o le tre componenti del vettore vento). Dall’andamento temporale α(t) è possibile costruire lafunzione di autocovarianza R α (τ) definita come:R( τ) = α ( t ) ⋅α'( t τ )' [5.1]α+dove α’ è la fluttuazione di α attorno al proprio valor medio e l’operatore ( ) è la media————————————————————————⎯———⎯————————- 173 -
5.ANALISI SPETTRALE DELLA TURBOLENZA DEL PBL.—————————————————————⎯⎯——————————————temporale discussa nel Cap.1 Se α è un processo stocastico stazionario, R α (τ) dipende solo dal tempodi ritardo (time lag) τ e la funzione di autocovarianza descrive quanto la variabile α resta correlatacon se stessa al variare del tempo. Questa informazione è estremamente importante, ma scomoda; se,per esempio, considerassimo un segnale variabile sinusoidalmente nel tempo ad una data frequenza,tutte le informazioni contenute nella sua funzione di autocovarianza ne descriverebbero completamentel’andamento nel tempo, ma dall’analisi di tale funzione non sarebbe immediato comprendere cheeffettivamente ci si trova di fronte ad un segnale “monocromatico”.Per evidenziare in modo più immediato questi andamenti oscillatori del segnale, è opportuno usareforme di analisi differenti. Per esempio, il Teorema di Fourier dice che ogni segnale α(t) può esseredecomposto in un numero infinito di armoniche e l’ampiezza di ogni singola armonicarappresenta il peso che essa ha nel segnale originario analizzato. Questo non è l’unico metodo dianalisi possibile, anche se sicuramente è il più utilizzato. A questo punto cerchiamo di applicare ilTeorema di Fourier per presentare in maniera più chiara le informazioni contenute nella funzione R α (τ).A tal proposito, la Trasformata di Fourier (cioè la decomposizione in armoniche) della funzione diautocovarianza R α (τ), è data dalla relazione seguente (Sorbjan, 1989):Sα1π∞∫−∞( ω) R ( τ )− jωτ=α⋅ e ⋅ dτ[5.2a]dove j è l’unità immaginaria ( − 1 ) e ω è la frequenza angolare dell’armonica (rad⋅s -1 ). Varicordato che, se T è il periodo di una generica armonica (in secondi), ω =2π/T. In base al Teorema diFourier, R α (τ) risulta quindi decomposta nelle singole armoniche di frequenza ω nel modo seguente(Antitrasformata di Fourier):Rα1jωτ=α⋅ e dω2∞∫−∞( τ ) S ( ω)[5.2b]in cui si vede chiaramente che la funzione di autocovarianza risulta essere la somma di infinitearmoniche; ognuna di esse ha frequenza ω ed il peso con cui essa è presente nel segnale originario èpari a S α (ω). A causa della stazionarietà del segnale, si ha che R α (τ)= R α (-τ) (cioè la funzione R α (τ) èuna funzione pari) e quindi si può più comodamente definire la densità spettrale di α come:Sα1∞− jωτ( ω) = ∫ Rα( τ ) ⋅edτ= ∫ Rα( τ ) ⋅cos( ωτ )π−∞2π∞0⋅dτ[5.2c]E’ facile mostrare che S α (ω) è una funzione pari, cosa che consente di riscrivere la (5.2b) nel modoseguente:Rα∞∫0( τ ) = S ( ω) ⋅cos( ωτ )α⋅dω[5.2d]L’impiego della frequenza angolare ω risulta spesso scomoda nelle applicazioni pratiche, in cui si usapiù frequentemente la frequenza f in Hz (1Hz = 1s -1 ). Si vede subito che:———————————————————————⎯⎯————————————- 174 -
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