Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ... Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
4. TEORIA DELLA SIMILARITÀ—————————————————————————————————————Passo 3Si contino quante sono le dimensioni fondamentali presenti nelle variabili che descrivono lasituazione in esame. Nell’esempio considerato, le dimensioni fondamentali coinvolte sono tre: massa,lunghezza e tempo.Passo 4Si individui un sottoinsieme delle variabili presenti che sarà il sottoinsieme delle variabilichiave. Tale sottoinsieme dovrà rispettare le seguenti restrizioni:a) il numero di variabili chiave deve essere pari al numero di dimensioni fondamentali presentinel problema;b) tutte le dimensioni fondamentali presenti devono esserlo anche nell’insieme delle variabilichiave;c) non deve essere possibile formare gruppi adimensionali combinando tra loro le variabilichiave.Nell’esempio, il numero di variabili chiave dovrà essere tre, visto che tre sono le dimensionifondamentali coinvolte. Scegliamo ρ, D e U, anche se altre possibilità sono ρ, z 0 e U oppure τ, µ e D.Un insieme non valido è invece U, D e z 0 , perché D/z 0 è un gruppo adimensionale e perché ladimensione fondamentale massa M non è presente. Un altro insieme non valido è τ, ρ e U, perchéτ/(ρU 2 ) è un gruppo adimensionale.Passo 5Si formino delle equazioni dimensionali per le variabili non chiave, esprimendole in funzionedelle variabili chiave. La loro forma funzionale è il prodotto di potenze delle variabili chiave.Nell’esempio considerato si avrà:[τ] = [ρ] a [D] b [U] c[µ] = [ρ] d [D] e [U] f[z 0 ] = [ρ] g [D] h [U] iPasso 6Individuazione del valore degli esponenti incogniti delle equazioni dimensionali. Nell’esempio, seconsideriamo la relazione per lo stress τ scritta sopra, vediamo che, esplicitando le varie dimensionicoinvolte, essa si trasforma in:[τ] [ρ] a [D] b [U] c↓ ↓ ↓ ↓ML -1 T -2 = M a L -3a ⋅ L b ⋅ L c T -ccioè in:ML -1 T -2 = M a ⋅ L -3a+b+c ⋅ T -cda cui risulta immediatamente che:a = 1, b = 0, c = 2Analogamente si opera per le relazioni relative a [µ] e [z 0 ], ottenendo:d = 1, e = 1, f = 1g = 0, h = 1, i = 0—————————————————————————————————————- 139 -
4. TEORIA DELLA SIMILARITÀ—————————————————————————————————————Ciò comporta che:[τ] = [ρ] [U] 2[µ] = [ρ] [D] [U][z 0 ] = [D]Passo 7Per ciascuna equazione si divida il membro di sinistra per il membro di destra, ottenendo deigruppi adimensionali (Π). Il numero di gruppi adimensionali sarà sempre uguale al numerototale di variabili meno il numero di variabili chiave individuate. Nell’esempio, il numerocomplessivo di variabili era 6, il numero di variabili chiave era 3 e quindi il numero di gruppiadimensionali sarà 3 ed in particolare:τ µzπ1= , π22 = , π 03 =ρU ρUD DE’ interessante notare che nell’esempio siamo partiti con 6 variabili e dopo questi passi di analisidimensionale abbiamo ridotto i gradi di libertà del problema a solo 3.Passo 8Se si desidera, possono essere individuati gruppi adimensionali alternativi a partire da quelliindividuati precedentemente ed in loro sostituzione, rispettando però le regole seguenti:1) il numero complessivo di gruppi adimensionali deve rimanere inalterato2) tutte le variabili chiave devono essere presenti,3) tutti i gruppi adimensionali devono essere tra loro indipendenti.Nell’esempio considerato, si può sostituire a π 2 e π 3 i gruppi π 4 =π 2 /π 3 e π 5 = 1/π 3 , ottenendo:τ µDπ 1 = , π24 = , π5=ρU ρUz0z0Questa scelta viene fatta per avere tra i gruppi adimensionali che descrivono la situazione esaminata,alcuni gruppi storicamente celebri. Nel nostro caso π 1 altro non è che il coefficiente di resistenzaaerodinamica (drag coefficient) C D , π 2 è il numero di Reynolds Re per le tubazioni scabre e π 5 è larugosità relativa.La procedura di Buckingham termina qui, con l’individuazione dei gruppi adimensionali descrittori dellasituazione esaminata. Va però fatta qualche osservazione per comprendere meglio il risultato ottenuto.Se, come nel caso esempio considerato, alla fine dell’Analisi di Similarità sono stati individuati 3 gruppiadimensionali, il vero risultato è che ci si deve aspettare che esistano delle relazioni semiempiriche chelegano tra loro questi gruppi adimensionali e l’indagine sperimentale dovrà effettivamente individuaresemiempiricamente tali leggi di correlazione. Interessante è comprendere che significa quando si ottieneun solo rapporto adimensionale (caso che incontreremo frequentemente nella Teoria della Similaritàdi Monin Obukhov). In questo caso la situazione considerata è totalmente rappresentata da questorapporto adimensionale che si comporterà in pratica come l’unico elemento caratterizzante. In pratica,l’indagine sperimentale dovrebbe confermarci che il rapporto adimensionale individuato non dipende danull’altro e quindi si mantiene costante.L’analisi di Similarità procede, a questo punto, con un’indagine sperimentale volta all’individuazionequantitativa delle relazioni tra i gruppi adimensionali individuati. I risultati di tale indagine, inizialmenteespressi in termini grafici, conducono all’individuazione di relazioni analitiche mediante tecniche diregressione (best fitting). Le funzioni matematiche impiegate per il best fitting dei dati sperimentali—————————————————————————————————————- 140 -
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4. TEORIA DELLA SIMILARITÀ—————————————————————————————————————Passo 3Si contino quante sono le dimensioni fondamentali presenti nelle variabili che descrivono lasituazione in esame. Nell’esempio considerato, le dimensioni fondamentali coinvolte sono tre: massa,lunghezza e tempo.Passo 4Si individui un sottoinsieme delle variabili presenti che sarà il sottoinsieme delle variabilichiave. Tale sottoinsieme dovrà rispettare le seguenti restrizioni:a) il numero di variabili chiave deve essere pari al numero di dimensioni fondamentali presentinel problema;b) tutte le dimensioni fondamentali presenti devono esserlo anche nell’insieme delle variabilichiave;c) non deve essere possibile formare gruppi adimensionali combinando tra loro le variabilichiave.Nell’esempio, il numero di variabili chiave dovrà essere tre, visto che tre sono le dimensionifondamentali coinvolte. Scegliamo ρ, D e U, anche se altre possibilità sono ρ, z 0 e U oppure τ, µ e D.Un insieme non valido è invece U, D e z 0 , perché D/z 0 è un gruppo adimensionale e perché ladimensione fondamentale massa M non è presente. Un altro insieme non valido è τ, ρ e U, perchéτ/(ρU 2 ) è un gruppo adimensionale.Passo 5Si formino delle equazioni dimensionali per le variabili non chiave, esprimendole in funzionedelle variabili chiave. La loro forma funzionale è il prodotto di potenze delle variabili chiave.Nell’esempio considerato si avrà:[τ] = [ρ] a [D] b [U] c[µ] = [ρ] d [D] e [U] f[z 0 ] = [ρ] g [D] h [U] iPasso 6Individuazione del valore degli esponenti incogniti delle equazioni dimensionali. Nell’esempio, seconsideriamo la relazione per lo stress τ scritta sopra, vediamo che, esplicitando le varie dimensionicoinvolte, essa si trasforma in:[τ] [ρ] a [D] b [U] c↓ ↓ ↓ ↓ML -1 T -2 = M a L -3a ⋅ L b ⋅ L c T -ccioè in:ML -1 T -2 = M a ⋅ L -3a+b+c ⋅ T -cda cui risulta immediatamente che:a = 1, b = 0, c = 2Analogamente si opera per le relazioni relative a [µ] e [z 0 ], ottenendo:d = 1, e = 1, f = 1g = 0, h = 1, i = 0—————————————————————————————————————- 139 -
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