Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————Cella N ⇒ ∆Q= ρC( M θ 1 − M θ N ) ∆zNpCella N-1 ⇒ ∆QN= Cp ⎜ Mu− MdN N−MdN N⎝−1ρ θ 1 −1θ1 θ…….…………………..Cella j ⇒ ∆ Qj= ρCp ⎜⎛ Muθ− Mdj j + Mdj j ⎟⎞1 θ+ 1θ+ 1 ∆z⎝⎠…….…………………..Cella 2 ⇒ ∆QCp ⎜⎛ MuMdMd ⎟⎞2= ρ θ 1 −2θ2 +3θ3 ∆z⎝⎠udNLa somma degli incrementi di calore nell’unità di tempo di tutte le celle sovrastanti la prima dovrannoeguagliare H 0 e ciò comporta che:( z − ) ⋅ ( θ 1 − 2 )0( z − z ) ⋅ ( θ 1 − θ 2 )1⎟⎞∆z⎠H0 = ρCp M u N z1θ[2.96]e quindiHMu=[2.97]ρCpNCon la conoscenza di M u , lo schema di chiusura è completo e l’equazione prognostica (2.95) puòeffettivamente essere risolta. E’ immediato constatare che è possibile scrivere equazioni analogheanche per le componenti medie del vento, per l’umidità specifica media e per la concentrazione dispecie inquinanti. In realtà in tutte queste equazioni prognostiche è presente solo il meccanismo didiffusione verticale e ciò potrebbe sembrare estremamente limitante. In realtà ciò non è, come saràchiaro nel Capitolo dedicato ai modelli numerici del PBL. Facciamo un ulteriore passo nella direzioneoperativa e discretizziamo la derivata temporale presente nella (2.95). Se ∆t è il passo temporale didiscretizzazione, per una generica Cella i-esima si ha che:θn+1i− θ∆tni= M θu1− Mdiθn+1o+ Mdi+1θn+1i+1[2.98a]nidove θ è il valore media della temperatura potenziale virtuale al tempo t n etempo t n+1 = t n +∆t. Riarrangiando la (2.98a) ed utilizzando la (2.94) si ottiene:n+1θ i l’analogo valore aln+ 1 ⎛ zNzi−1⎞ n+1 zNzin+1 n− ∆t⋅ Muθ 1 + ⎜1 + Mu∆t⎟ ⋅θi − ∆tMuθ i+1 = θ i [2.98b]⎝ ∆z⎠∆tQuesto è un sistema lineare che può essere scritto nella forma matriciale seguente:⎛ d1⎜⎜ e2⎜ Μ⎜⎜ ej⎜⎜ Μ⎝eNcd120Μ0Λ0c2ΟΜ00Λ0Οdj00ΛΛΛcjΟ00 ⎞ ⎛⎜θn1⎟0 ⎟ ⎜θn2Λ ⎟ ⎜⎟ ⋅ ⎜ ΜΜ ⎟ ⎜θnj⎟ ⎜cN−1⎟ ⎜ Μd⎜ nN ⎠ ⎝θN+ 1+ 1+ 1+ 1⎞ ⎛ b1⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ b2⎟⎟ ⎜ ⎟⎟Μ= ⎜ ⎟⎟ ⎜ bj⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ Μ ⎟⎟⎠ ⎝bN⎠[2.98c]—————————————————————————————————————- 99 -