Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

Annamaria MazziaAppunti di Calcolo NumericoDipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze ApplicateUniversità degli Studi di PadovaCreative Commons Attribuzione- Non commerciale -Non opere derivate 2.5 Italia Licensea.a. 2010/2011

Annamaria Mazzia: Appunti di Calcolo Numerico,Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze ApplicateUniversità degli Studi di PadovaVERSIONE A.A. 2010/2011 .SITO DELLE DISPENSE:http://dispense.dmsa.unipd.it/E-MAIL:mazzia@dmsa.unipd.itQuesto lavoro è stato rilasciato sotto la licenza CREATIVE COMMONS ATTRIBUZIONE- NON COMMERCIALE -NON OPERE DERIVATE 2.5 ITALIA LICENSE,Per leggere una copia della licenza visita il sito web (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/)Foto di copertina: Pietre...Per ricordare l’etimologia della parola CALCOLO: dal latino Calculus – pietruzza, lapillo – a sua volta diminuitivodi Calx, nel senso originario di ghiaia, sasso, perchè gli antichi, per fare i loro conti, utilizzavanopietruzze al posto di cifre aritmetiche. (definizione tratta dal Vocabolario Etimologico della Lingua Italiana diO. Pianigiani http://www.etimo.it)

INDICE4.10 Controllo sugli scarti e grafici di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 Interpolazione 615.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.1 Funzioni base monomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2 Polinomi di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.3 Formula dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.4 Differenze divise e formula di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Considerazioni sull’interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.1 Fenomeno di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.2 Malcondizionamento nell’interpolazione con funzioni base monomiali . . . . . . . . . 725.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Approssimazione 776.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Retta di regressione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4 Approssimazioni di tipo esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827 Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari 857.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Elementi di Algebra Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3 Metodo di eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3.1 Sostituzione all’indietro e in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3.2 Eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4 Strategie di pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.5 Fattorizzazione triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.1 Fattorizzazione LDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5.3 Fattorizzazione di Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008 Metodi Iterativi per la soluzione di sistemi lineari 1038.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3 Norme di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.4 Norme di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.5 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.6 Metodi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.6.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.6.2 Controllo della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.6.3 I metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.6.4 Convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . 1158.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179 Integrazione numerica 1219.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.2 Formula dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.3 Formule di Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123iv

1. STRUTTURA DELL’ELABORATOREFigura 1.1: Stralci di volantini pubblicitari per l’acquisto di un computer.Definizione 1.1.1Computer = elaboratore elettronico digitaleDispositivo elettronico che elabora le informazioni, immesse sotto forma di datinumerici, secondo una sequenza di istruzioni preordinate (programma).G Elaboratore: macchina capace di immagazzinare ed elaborare dati in basead una serie di istruzioni (programmi) memorizzate sul computerG elettronico: utilizza componenti elettroniche per elaborare le informazioniG digitale: elabora e memorizza segnali digitali basati su cifre binarie: 0 e 1HardwareSoftwareIn generale, un computer esegue operazioni logiche e aritmetiche e ha una memoria per conservare i dati.Un programma contiene le informazioni relative alle operazioni da eseguire.Si definisce hardware la struttura fisica del computer cioè i i suoi componenti elettronici e i dispositivifisici che lo compongono.Si chiama, invece, software l’insieme delle istruzioni (i programmi) che consentono all’hardware disvolgere i propri compiti (per esempio, il sistema operativo – Windows, Linux, etc – è un tipo di software;programmi applicativi come Word, Excel, LaTex sono dei software).Attraverso un computer, elaboriamo dati (numeri, suoni, video, fotografie) in modo da ottenere informazioni(lettere, tabelle, risultati di procedimenti numerici. . . ). Alcune di queste informazioni possonodiventare dati da elaborare di nuovo al computer.1.2 La preistoria del computer: Babbage e LovelaceCharlesBabbageLa seconda metà del diciannovesimo secolo fu un tempo di grande fermento in numerosi campi, dall’ingegneriaai trasporti, dalla comunicazione all’architettura... Furono scoperti nuovi materiali, la forza animalefu sostituita dalla forza motrice, le navi a vapore iniziarono a competere con quelle a vela, la rete ferroviariasi espanse sempre più, il telegrafo elettrico rivoluzionò le comunicazioni... In questo contesto, ingegneri, architetti,matematici, astronomi, marinai, banchieri, agenti assicurativi... – chiunque avesse a che fare con ilcalcolo – si basava su tavole di calcolo per eseguire i calcoli meno banali. Tuttavia, si sa, gli uomini possonosbagliare e il timore che su quelle tavole ci fossero degli errori era giustificato: un errore non trovato potevadiventare un disastro nelle numerose applicazioni in cui le tavole di calcolo venivano usate!Già nel 1812 Charles Babbage 1 era consapevole dell’inaccuratezza dei calcoli fatti dall’uomo. Nel suolavoro, Babbage doveva verificare l’esattezza di tavole di calcolo che sarebbero state usate da banchieri comeda marinai. Le navi avrebbero identificato la loro posizione in mare mediante quelle tavole! Eliminare ilrischio dell’errore umano divenne per lui un desiderio sempre più grande. Egli stesso scrisse che, mentre1 Charles Babbage (1791-1871), inventore e matematico inglese, è senza dubbio il primo ad avere avuto il concetto del modernocalcolatore.2

1.3. Gli alboriera seduto nella stanza della Società Analitica, a Cambridge, lavorando, mezzo addormentato, su una tavoladei logaritmi, arrivò un altro membro della società che gli chiese cosa stesse sognando. E lui rispose : – Stopensando che tutte queste tavole – riferendosi alle tavole dei logaritmi – potrebbero essere calcolate da unamacchina!Nel 1821, Babbage e il suo amico e astronomo John Herschel stanno controllando delle tabelle calcolatea mano. Errore dopo errore, Babbage esclama : – Volesse Dio che questi calcoli venissero eseguiti da unamacchina a vapore!Il suo desiderio di creare una macchina per eseguire calcoli si concretizzò in due progetti, quello dellaMacchina alle Differenze e quello della Macchina Analitica 2 . La Macchina alle Differenze doveva calcolarein modo automatico funzioni polinomiali ma non venne mai completata per il suo costo eccessivamenteelevato. La Macchina Analitica, invece, doveva essere una macchina di calcolo programmabile, e si può considerarecome la prima idea del moderno computer. Anche questo progetto, tuttavia, rimase incompiuto.Solo nel 2002 è stato possibile costruire una macchina che rispondesse al progetto di Babbage.Nel 1833, Babbage incontrò Ada Lovelace 3 , figlia del famoso poeta Lord Byron. Lovelace, appena diciassettenne,aveva parecchie conoscenze matematiche, inusuali per l’epoca, e si entusiasmò talmente tanto peril progetto di Babbage, da intuire altre potenzialità della macchina stessa, come la capacità dei numeri dipoter rappresentare altre entità quali le lettere dell’alfabeto o le note musicali, e che dalla manipolazione deinumeri la macchina avrebbe esteso la propria potenza oltre il mondo della matematica. Sempre la Lovelaceintuì che la soluzione dei problemi matematici si sarebbe effettuata attraverso delle procedure di calcolo(quelli che noi chiamiamo programmi).Alla luce degli sviluppi che si sono avuti nel ventesimo secolo, la visione di Babbage e della Lovelaceappare profetica.Ada Lovelace1.3 Gli alboriIl 1800 si chiude con una grande invenzione: nel 1896, Guglielmo Marconi inventa la radio. Il 1900 si aprecon altre importanti invenzioni: il triodo, il registratore magnetico, la televisione, fino ad arrivare intorno allametà del 1900 con il transistor (nel 1947) e il circuito integrato (nel 1958). La nuova tecnologia elettromeccanicaed elettronica si rivelò decisiva per lo sviluppo dei computer, grazie allo studio sistematico della teoria deicircuiti elettrici. Il più noto tra gli studiosi di questa teoria fu l’americano Claude Shannon 4 . Il suo contributofondamentale fu quello di elaborare un metodo sistematico per progettare reti logiche capaci di eseguire leoperazioni logico-aritmetiche desiderate: detto più semplicemente, egli mostrò come trasformare una assegnataoperazione matematica in un circuito elettrico costruito con interruttori e relè di commutazione (quelliusati nelle telecomunicazioni). Nel 1948, il suo articolo A Mathematical Theory of Communication pubblicatosulla rivista The Bell System Technical Journal getta le basi teoriche dell’informatica. Per prima voltaviene usato il termine bit come abbreviazione di binary digit, termine suggeritogli dal chimico e statistico J.W. Tukey.Il lavoro di Shannon diede l’avvio allo studio delle tecniche indispensabili per progettare in modosistematico tutti i circuiti logici di base necessari per realizzare i circuiti di calcolo dei futuri computer.Da un punto di vista propriamente ”pratico“ invece, la nascita e lo sviluppo dei calcolatori elettroniciinizia nel 1938: il tedesco Konrad Zuse 5 costruisce Z1, una macchina costruita e pensata in maniera completamentemeccanica, tutta da migliorare, ma che può essere considerata come il primo calcolatore. Zusepassa subito al progetto Z2, dove l’aritmetica meccanica è sostituita da relè elettromeccanici. L’inizio dellaseconda guerra mondiale interrompe bruscamente il lavoro di Zuse, che viene chiamato alle armi, ma riesce2 Osserviamo che l’invenzione del telaio meccanico a schede, in cui il tipo di tessuto veniva scelto (o programmato) in base a delleschede inserite nella macchina, è un precursore del progetto di Babbage.3 Augusta Ada Lovelace (1815-1852) fu la figlia del famoso poeta Lord Byron. I genitori si separono subito dopo la sua nascita ela bambina crebbe insieme alla madre (Lord Byron partì dall’Inghilterra senza farvi più ritorno e morì in Grecia quando Ada aveva ottoanni). Poichè la madre era appassionata di matematica e non voleva che la figlia seguisse la strada del padre, incoraggiò la figlia in questadirezione, impartendole un’istruzione legata alla matematica e alla musica. Nel 1835 sposò William King, di dieci anni più anziano. Nel1838 il marito ricevette il titolo nobiliare di Conte di Lovelace. Ebbero tre figli. La Lovelace morì di cancro a soli 37 anni.4 Claude Shannon (1916-2002) fu fisico e matematico del MIT.5 Konrad Zuse, ingegnere civile (1910-1995).3

1. STRUTTURA DELL’ELABORATOREvonNeumanna persuadere l’Istituto di Ricerca Aerodinamica del Terzo Reich a continuare i suoi studi. Completa quindi lacostruzione dello Z2 e inizia a lavorare sullo Z3, che è il primo computer che Zuse costruisce per essere usatoe non per verificare le proprie idee. Lo Z3 ha non solo l’unità aritmetica ma anche la memoria realizzata conrelè elettromeccanici, ben 2600. Z3 fu la prima macchina di calcolo programmabile e venne usata dall’industriaaerea per risolvere sistemi di equazioni e altri sistemi matematici ricavati da problemi di vibrazionedegli apparecchi aerei messi sotto stress.Quando Zuse propose di passare all’uso di un computer basato su valvole elettroniche, la proposta furespinta perchè i tedeschi si consideravano così vicini alla vittoria della guerra che ulteriori sforzi nella ricercanon apparivano necessari.Il lavoro di Zuse, comunque, andò avanti con la costruzione dello Z4, di S1 e S2. E, soprattutto, fucompletamente indipendente dai lavori di John Eckert e John Mauchly negli Stati Uniti e di A. Turing inInghilterra.In Inghilterrra, Turing 6 si occupò di problematiche riguardanti un macchina di calcolo digitale astratta,con una memoria senza limiti, mentre negli USA Eckert e Mauchly 7 costruirono l’ENIAC (Electronic Integratorand Computer). L’ENIAC fu costruito, con progetto di Eckert, in piena seconda guerra mondiale, apartire dal 1943, presso il Ballistic Research Laboratory e fu completato nel febbraio del 1946. La macchinaera pensata per compiere operazioni di carattere generale, ma fu costruita con lo scopo preciso di compilaretabelle per le traiettorie di bombe. L’ENIAC conteneva circa 18 . 000 valvole termoioniche e misurava circa 2metri e mezzo di altezza per 24 metri di lunghezza! La macchina era più di mille volte veloce di tutti i predecessorielettromeccanici costruiti fino a quel momento e poteva eseguire 5000 addizioni al secondo. Le sueoperazioni erano controllate da un programma che veniva inserito dall’esterno mediante nastri perforati.Intanto, nel 1944 aveva iniziato a collaborare nella costruzione dell’ENIAC, John von Neumann 8 . Egli siaccorse che l’architettura della macchina andava rivista e che la programmazione del computer mediante unnumero enorme di cavi e interruttori rendeva lenta e poco flessibile la programmazione stessa. Sostenne,quindi, che il programma non dovesse essere rigidamente predisposto nell’hardware tramite interruttori ecavi e neanche letto mediante nastri perforati, ma risiedesse in una memoria su cui poter scrivere e accederevelocemente insieme ai dati da elaborare. Von Neumann per primo descrisse l’architettura dei calcolatori intermini logico-funzionale, secondo uno schema astratto non legato ai dispositivi fisici utilizzati per le varieoperazioni. E il suo schema, sostanzialmente invariato, è l’architettura adottata dai calcolatori dei nostrigiorni!Prima di von Neumann, il calcolatore veniva controllato mediante programmi non modificabili, registratisu nastro perforato o cablati in una configurazione di cavetti e interruttori. Con von Neumann si presentaun’architettura di riferimento precisa.Il primo calcolatore costruito seguendo l’architettura di von Neumann entrò in funzione nel 1948all’Università di Manchester e venne chiamato Manchester Mark I.Inizia, in tal modo, una nuova fase per i calcolatori: i programmi che controllano le operazioni da svolgererisiedono nella memoria del calcolatore insieme ai dati e possono essere modificati dinamicamente nel corsodell’elaborazione.Dal 1948 fino ai nostri giorni, lo sviluppo dei calcolatori elettronici ha avuto ritmi esponenziali: l’invenzionedel circuito integrato alla fine degli anni cinquanta permise non solo di ridurre via via lo spazio fisicooccupato dai computer ma anche di ottenere computer sempre più potenti tanto che, in due suoi lavori, del1965 e del 1975, Gordon Moore 9 stabilì che il numero dei transistor inseribili su un chip raddoppia appros-6 Alan Turing (1912-1954), matematico inglese, si interessò di logica matematica e di teoria della probabilità. Introdusse il concettodi una macchina astratta, detta macchina di Turing e pose questioni riguardanti l’intelligenza artificiale7 John Presper Eckert (1919-1995) e John William Mauchly (1907-1980) lavorarono a quello che si può considerare il vero primocalcolatore elettronico.8 John von Neumann (1903-1957) ungherese, studiò prima a Berlino, poi a Zurigo e infine a Budapest, dove ricevette il dottorato inmatematica. Nel 1930 si trasferì alla Università di Princeton dove insegnò matematica. Il suo nome è legato a studi in diversi settori:teoria dei giochi, matematica applicata, logica... Occupa un ruolo fondamentale nello sviluppo dei calcolatori elettronici. Ricevettenumerosi premi e riconoscimenti in tutto il mondo.9 Gordon Moore è nato nel 1929 in California. Di lui basti ricordare che ha stabilito la legge di Moore, è co-fondatore della IntelCorporation e nel 2008 ha ricevuto la medaglia d’onore dell’IEEE per il suo pioneristico contributo nei processi dei circuiti integrati,e per la leadership nello sviluppo della memoria del MOS (semiconduttore metal-ossido), del microprocessore e dell’industria deisemiconduttori.4

1.4. Architettura del Computersimativamente ogni 24 mesi (legge di Moore). Nel 1971 tre ingegneri della Intel tra cui l’italiano FedericoFaggin 10 inventarono il microprocessore, vale a dire un’intera CPU in un singolo circuito integrato: su unapiastrina di 4×3 millimetri riuscirono a inserire 2250 transistor, che formavano il cuore di un intero computer:questo microprocessore fu chiamato Intel 4004 ed era capace di eseguire 60 . 000 operazioni al secondo.Se pensiamo che il processore Intel Pentium 4 introdotto nel 2000 ha 42 . 000 . 000 processori e l’Intel Itanium2 (con 9MB di cache) introdotto nel 2004 ha 592 . 000 . 000 transistors, ci accorgiamo di come la legge diMoore, dal 1968 ad oggi, sia stata rispettata.1.4 Architettura del ComputerL’architettura del Computer si può riassumere in tre unità:G il processore, che fornisce la capacità di elaborazione delle informazioni;G la memoria (centrale e di massa)G i dispositivi di input/output, che comunicano attraverso un canale detto BUS, costituito da un insiemedi linee elettriche digitali.Il processore è composto da blocchi con funzionalità diverse:G CPU (Central Processing Unit), unità centrale di elaborazioneG cacheG varie interfacceSe il processore è integrato su un unico chip prende il nome di microprocessore. Sia la CPU sia gran partedei dispositivi che servono per l’attività della CPU sono realizzati con la tecnologia dei circuiti integrati,che possono essere disposti in una singola scheda detta scheda madre. Questa scheda può essere dunqueconsiderata la parte più importante del computer.La CPU esegue tutte le operazioni di elaborazione numerica e di controllo e rappresenta la parte centraledel computer.A sua volta si suddivide inG unità logico-aritmetica (ALU), che svolge tutti i calcoli logici ed aritmetici;G unità floating-point (FPU) (Floating Point Unit), che consente di eseguire le operazioni su numeri reali;G unità di controllo (CU), che sovrintende all’elaborazione dei dati e alle operazioni di input e output;G registri, cioè memoria locale per memorizzare dati e lo stato di avanzamento delle istruzioni. Abbiamo,ad esempio, il registro di Program Counter, di Program Status Word, il registro Istruzioni, IndirizziMemoria. . .Ogni elaboratore contiene un circuito di temporizzazione (clock) che genera un riferimento temporalecomune per tutti gli elementi del sistema.Un ciclo-macchina è il tempo richiesto per svolgere un’operazione elementare (ed è un multiplo del periododel clock). La velocità di elaborazione di un processore dipende dalla frequenza del clock. I processori10 Federico Faggin è nato nel 1940 a Vicenza e si è laureato in fisica all’Università di Padova. Nel 1968 si è trasferito prima a Palo Altopresso la Fairchild Semiconductor e poi nel 1970 nella Intel. Oggi è presidente e CEO (Chief Executive Officer) della Foveon.5

1. STRUTTURA DELL’ELABORATORERAMattuali hanno valori di frequenza del clock che variano tra gli 8 MHz e i 3500 MHz (1 MHz = 1 milione diistruzioni al secondo).La memoria serve per conservare le istruzioni da eseguire e per scrivere/leggere i dati elaborati. Sisuddivide in memoria principale e memoria secondaria.La memoria principale (o di lavoro) è la memoria in grado di conservare dinamicamente dati eprogrammi che il processore sta utilizzando. A sua volta la memoria principale può essere di due tipi:G memoria di sola lettura (read-only memory): ROM. Viene scritta una volta per tutte dal produttore delsistema e contiene programmi e informazioni specifiche per il sistema; è utilizzata per memorizzareparametri di configurazione del sistema, utili all’avvio del computer;G memoria per scrittura-lettura (random access memory): RAM. Serve alla CPU per lavorare con iprogrammi inseriti dall’utente.Poichè la RAM conserva i dati solo fino a quando il computer rimane acceso (infatti è detta memoriadi tipo volatile, perchè se ne perde il contenuto quando la macchina viene spenta), per conservare dati eprogrammi per tempi lunghi e a sistema spento, si utilizza la memoria di massa (o secondaria) – dischicome l’Hard Disk, CDROM, DVD, pendrive USB. . . .La RAM può essere pensata come una sequenza di celle (locazioni), ognuna identificata da un indirizzo ecapace di contenere informazioni binarie.L’unità minima indirizzabile della memoria è detta parola (word) e può variare da macchina a macchina.In genere una parola vale un byte, cioè 8 bit.Bit è l’unità elementare di informazione.Per esempio: 0/1, sì/no.1 byte = 8 bit1 Kilobyte (KB) = 2 10 byte = 1024 byte (circa 10 3 )1 Megabyte (MB) = 2 20 byte (circa 10 6 )1 Gigabyte (GB) ≈ 10 9 byte (un miliardo di byte)1 Terabyte (TB) ≈ 10 12 byte (mille miliardi di byte)1 Petabyte (PB) ≈ 10 15 byte (un milione di miliardi di byte)Il computer scambia informazioni con il “mondo esterno” per mezzo delle periferiche di input/output(monitor, mouse, stampante, web-cam,...).Input è l’inserimento di dati nel computer per l’elaborazione. Output è il trasferimento di dati dalcomputer a dispositivi che permettono all’utente di vedere/ascoltare i risultati dell’elaborazione.1.5 Software e Sistema OperativoUn software è una sequenza di istruzioni per eseguire le varie elaborazioni sui dati.Ci sono diversecategorie di software: software per il sistema operativo, software di base, software di tipo applicativo.Il sistema operativo è costituito dall’insieme dei programmi essenziali per far funzionare la macchina.Esso utilizza piccoli programmi già presenti nel calcolatore per accedere ai singoli dispositivi fisici. Questiprogrammi prendono il nome di Device Driver e sono memorizzati nel BIOS (Basic Input Output System).Il BIOS si trova nella ROM del Computer.Il sistema operativo, da una parte, permette di rendere fruibile all’utente le molteplici risorse del computer(gestione della memoria, della stampante, della tastiera,...); dall’altra rende il computer uno strumentoamichevole e utile per affrontare le molteplici attività che gli si richiedono.I compiti affidati al sistema operativo sono molteplici:G agire da intermediario tra l’utente e l’harware del computerG controllare e coordinare l’utilizzo dell’hardware tra i programmi applicativiG fornire gli strumenti per l’uso corretto delle risorse di tipo hardware e software del sistemaG nascondere i dettagli legati alla gestione delle risorse del sistema.6

1.5. Software e Sistema OperativoCenni storiciI primi sistemi operativi iniziarono a vedersi intorno alla metà degli anni cinquanta quando si cominciòa individuare una serie di programmi standard di comune utilizzo indipendenti dall’applicazione specificarichiesta al computer.L’evoluzione dei sistemi operativi ha influenzato anche lo sviluppo dell’hardware in quanto per supportarecerte funzioni del sistema operativo sono necessari meccanismi hardware ad hoc (basti pensare allagestione della memoria o delle interruzioni).I primi computer come lo Z3 di Zuse o l’ENIAC non avevano sistema operativo. Per inserire un programma(scritto in linguaggio macchina) bisognava azionare un gruppo di interruttori o modificare collegamentitramite opportuni cavi e spinotti. Ci rendiamo conto, quindi, di quanto fosse difficile usare il computer perrisolvere problemi mediante l’esecuzione di un programma perchè oltre alla competenza specifica del problemada risolvere, si richiedeva una grande conoscenza tecnica della macchina su cui si doveva lavorare. Ilprogramma doveva contenere non solo le istruzioni per la risoluzione del problema (per esempio un sistemadi equazioni) ma anche le istruzioni per gestire le unità di input e output e delle altre periferiche collegate alcomputer. Infine, poteva essere eseguito un solo programma alla volta.Considerando gli elevatissimi costi per la realizzazione e la gestione dei primi computer, il calcolo auto-7

1. STRUTTURA DELL’ELABORATORESul softwareMemoriacachematico era una risorsa preziosa a disposizione di pochi utenti. Tutto ciò portò ad un ripensamento del mododi utilizzare i computer e nacquero le prime idee di sistema operativo.Per prima cosa si pensò di creare delle librerie con le istruzioni necessarie per eseguire le operazionipiù comuni legate alla gestione delle periferiche del computer (ingresso e uscita dei dati, accesso allamemoria,...).Ulteriori progressi si ebbero quando il sistema operativo iniziò a sfruttare anche il disco fisso ed ebbeinizio la cosiddetta multiprogrammazione, in base alla quale nella memoria centrale venivano tenuti attivicontemporaneamente alcuni processi e i loro dati pronti per essere eseguiti. Ad ogni momento, uno solo diquesti processi veniva eseguito, tuttavia, quando il processo in esecuzione richiedeva un’istruzione di ingressoo di uscita, esso veniva sospeso attivando le unità periferiche necessarie per l’esecuzione dell’istruzionedata. Questa tecnica richiedeva una elevata capacità della memoria centrale e solo pochi sistemi potevanofunzionare in modo adeguato.Uno dei primi sistemi che iniziò ad utilizzare la multiprogrammazione fu il sistema OS/360 realizzato peri computer IBM 360. Questo sistema operativo fu importante per due motivi:G si cercò di realizzare un sistema operativo uniforme e compatibile per macchine IBM molto diverse traloro per quando riguarda l’hardware sottostante: fino a quel momento ogni macchina aveva il propriosistema operativo, che cambiava da macchina a macchina!G lo sviluppo di questo sistema operativo fu molto delicato e complesso e aprì lo studio delleproblematiche relative all’ingegneria del software.Nonostante questi progressi, la multiprogrammazione non permetteva molta interattività tra utente ecomputer: di fatto l’utente consegnava i dati e il programma da eseguire (un pacco di schede perforate) all’operatoredel computer e accedeva ai risultati dopo qualche ora se non addirittura dopo giorni e giorni, risultatiche riceveva in forma cartacea ad esecuzione avvenuta (non c’era ancora il monitor per la visualizzazionesu video dei risultati).Per risolvere questo tipo di problemi, l’uso delle schede fu sostituito da appositi terminali sempre collegatial computer e furono cambiate le modalità di gestione dell’unità centrale modificando i sistemi operativiesistenti. Si arrivò all’interazione con il computer non più mediante schede perforate bensì tramite tastierastampanteo tramite tastiera-monitor.Alla fine del 1950 si introdusse il concetto di time-sharing che permetteva l’esecuzione di più processiin modo da poter soddisfare le esigenze di più utenti contemporaneamente. Con il time-sharing si assegna,infatti, un piccolo intervallo di tempo a ciascun processo dando l’impressione che ciascun processo vadaavanti parallelamente agli altri.Gli sviluppi del sistema operativo ottenuti da allora fino ad oggi si possono così riassumere: il sistemaoperativo fornisce funzioni di base per la gestione delle risorse, quali:G uso del processore (multitasking: l’uso della CPU è permesso ad un programma alla volta per breviintervalli di tempo, quindi l’utente può eseguire più programmi contemporaneamente)G uso della memoria centrale (memoria virtuale)G riconoscimento e gestione degli utenti (multiutenza)G gestione delle periferiche (drivers)G file systemG interfaccia grafico.Il software di base (o general purpose) può avere funzioni varie: editor di testo, elaborazione di testi, foglielettronici, posta elettronica, internet.Il software applicativo è costituito da programmi che hanno obiettivi specifici come intrattenimento,controllo di sistemi, progettazione (CAD), risoluzione di problemi matematici.Per migliorare le prestazioni di un computer si inserisce una memoria intermedia tra CPU e RAM, dettacache. Si trova all’interno del processore. È più veloce della RAM ma anche più costosa.1.5.1 Per capire meglio il sistema operativoImmaginiamo un ristorante con un capo-cuoco, il suo aiutante, una cucina, i camerieri e i clienti. I clientiscelgono un piatto dal menu, un cameriere prende l’ordine e lo porta al capo-cuoco. Il capo-cuoco ricevel’ordine e assegna al suo aiutante il compito di preparare il piatto. L’aiutante si dedicherà alla preparazione8

1.6. Il file systemdel piatto, compito che potrà richiedere più attività. Il capo-cuoco, intanto, supervisiona la preparazione deipiatti e gestisce le risorse (limitate) dei posti nel ristorante.G il capo-cuoco rappresenta il sistema operativo,G i clienti sono gli utenti,G le ricette associate ai piatti corrispondono ai programmi,G gli ingredienti sono l’input del programma,G il piatto è l’output del programma,G il menu e il cameriere sono l’interfaccia verso il sistema operativo,G l’aiutante corrisponde al processore (CPU) (Se abbiamo più processori, ci sono più aiutanti),G la cucina corrisponde al computer,G pentole, fornelli etc, sono le parti che compongono il computer.L’aiuto cuoco, quindi, rappresenta la CPU mentre il tavolo da lavoro, su cui appoggia gli ingredienti e laricetta per preparare il piatto, rappresenta la memoria centrale. Prima di iniziare a lavorare, il cuoco devesvolgere alcune mansioni (sempre le stesse ogni volta: pulire il tavolo, controllare lo stato di pentole, tegami,coltelli. . . , ricevere le ordinazioni). Supponiamo che queste mansioni siano incise su un pezzo del tavolo dalavoro: corrispondono alla memoria ROM (quella che non può essere alterata). La RAM invece è la parte deltavolo che può essere alterata a piacimento (spostare pentole, tegami, ingredienti).Quando il ristorante chiude, il tavolo deve essere pulito e sgombro altrimenti si rovina tutto quello che virimane, ad eccezione di ciò che vi è stato inciso. Perciò il cuoco conserva in dispense e frigoriferi i vari ingredientirimasti e gli utensili da lavoro: le dispense e i frigoriferi rappresentano i dischi (Hard Disk, CDROM,pen drive USB . . . ) per immagazzinare i dati.1.6 Il file systemIl sistema operativo gestisce le informazioni su dispositivi di memoria secondaria (dischi).La gestione delle informazioni avviene mediante file 11 . Un file costituisce un insieme di informazionidella stessa natura e logicamente correlate. In genere un file contiene un programma (programma sorgenteo programma eseguibile), oppure una sequenza di dati.L’informazione è rappresentata da files, organizzati in maniera gerarchica (pensiamo ad una struttura adalbero) in directories (cartelle). Una directory è un file che svolge il ruolo di ”raccoglitore“.I files possono contenere dati (abbiamo i cosiddetti files di testo) oppure programmi (i files diapplicazioni).Un file è caratterizzato da:G posizione (path, o percorso): sequenza delle directories che portano al filedir1 / dir2 /.../.../G nome: individua univocamente il file all’interno della cartella (o directory)G estensione: la parte del nome del file che segue l’ultimo punto . (dati.txt prova.f matrice.datwelcome.html foto.jpeg )G dimensione: quantità di informazione contenuta nel fileG altre informazioni (data di creazione, data di ultima modifica, permessi di scrittura, lettura. . . )L’intera gestione dei file è a carico di un componente del sistema operativo detto file system.1.7 Un po’ di storia sui sistemi operativiTra i numerosi sistemi operativi, il sistema Unix è quello che ha maggiormente influenzato questo settoredell’informatica. Il sistem Unix venne sviluppato sul finire degli anni sessanta nei laboratori della AT &T. La filosofia di base era di realizzare un sistema semplice rispetto agli altri in uso e adatto per la ricerca elo sviluppo. La prima versione fu scritta in linguaggio Assembly e dipendeva dal tipo di macchina su cui si11 File in inglese significa archivio. Il termine compare nei primi anni cinquanta e inizialmente si riferisce a un pacco di schedecontenente informazioni omogenee. È il sistema operativo a realizzare il concetto astratto di file nella gestione dei dispositivi di memoriadi massa.9

1. STRUTTURA DELL’ELABORATOREdoveva applicare. Successivamente venne scritto in larga parte in un linguaggio di alto livello, il C, progettatoappositamente per il sistema Unix. In tal modo il sistema operativo diventava facilmente portabile su macchinedi tipo diverso senza dipendere eccessivamente dalle caratteristiche dell’hardware su cui veniva fattofunzionare. Diversamente dalle abitudini del tempo, l’azienda AT & T distribuì Unix nelle università e resedisponibili i codici sorgenti utilizzati per realizzarlo. Questo portò ad una sua ulteriore innovazione grazie atutti i ricercatori delle università che iniziarono a sperimentarlo.Quando furono messi in commercio i primi microcomputer (a partire dal 1975), fu necessario svilupparesistemi operativi appositamente progettati per sfruttare le poche risorse disponibili essendo le risorse dicalcolo di tali macchine molto limitate. Inoltre, queste macchine erano pensate più per gli appassionati cheper il personale tecnico esperto e quindi era importante creare un sistema operativo che fosse d’uso relativamentesemplice. In questo campo si distinsero Bill Gates e Paul Allen, che iniziarono la loro attività scrivendoil linguaggio di programmazione Basic per il micromputer Altair. Nel 1975 crearono una ditta... la Microsoft.Un altro microcomputer, popolare nei primi anni ottanta, fu l’Apple sviluppato da Steve Wozniak e SteveJobs. Per questa macchina svilupparono un sistema più semplice ed efficiente di quello usato per l’Altair, chesi ispirava vagamente al sistema Unix.I sistemi operativi per i microcomputer dovevano essere più semplici di quelli impiegati per i grandi computer,in quanto la macchina veniva utilizzata da un solo utente e le periferiche collegate erano poche e semplici.Il problema maggiore ero quello di gestire i file su floppy disk (gli antenati dei CD-ROM e dei DVD, inuso fino ad una decina di anni fa) o su nastri magnetici e mettere a disposizione dell’utente un linguaggiodi programmazione semplice, come il Basic. Tuttavia, il confine tra linguaggio di programmazione e sistemaoperativo non era ancora ben definito e, una volta avviato, il sistema era pronto per ricevere sia comandi delsistema operativo, sia istruzioni in linguaggio Basic.I microcomputer iniziarono ad avere un grosso successo tanto che all’inizio degli anni ottanta, l’IBM pensòdi entrare in questo settore (prima si era solo occupata di grandi computer e di software), introducendoil personal computer, IBM PC, realizzando in tal modo una macchina che servisse non solo per gli appassionatie per giocare (uno dei fattori che aveva determinato il successo dei microcomputer) ma anche comestrumento di studio, per i professionisti e per la gestione di piccole aziende.L’IBM incaricò Bill Gates di realizzare un sistema operativo per il nuovo personal computer. Il successodell’IBM PC portò al successo anche di Bill Gates: i profitti della Microsoft iniziarono a crescere in modoesponenziale. Il sistema realizzato dalla Microsoft prese il nome di MS-Dos e divenne il sistema operativopiù diffuso al mondo grazie alla standardizzazione dei personal computer lanciato dall’IBM.Il sistema MS-Dos non era di facile da usare perchè l’utente interagiva con il computer solo attraversocomandi testuali la cui sintassi non era così semplice da ricordare (qualche anno più tardi fu lanciata sulmercato una versione più amichevole).Nel 1984, invece, dalla Apple fu prodotto il personal computer Macintosh che adottava un tipo di interfacciagrafico progettato per interagire in modo semplice e intuitivo con l’utente. Il Macintosh utilizzava uninterfaccia grafico chiamato GUI (Graphic User Interface) composto da icone, finestre, menù... Gli oggettidell’ambiente operativo erano rappresentati con simboli grafici di facile intuizione senza dover comprenderea fondo tutti i tecnicismi informatici. L’interfaccia GUI non era un’invezione della Apple perchè era statagià sperimentata nel corso degli anni settanta dalla Xerox, che però non aveva intuito le potenzialità di questolavoro, lasciandone invece la fortuna e il successo alla Apple che, insieme ad esso, introdusse il mouse.Ovviamente, queste novità furono molto apprezzate e la Microsoft, per colmare questa lacuna, lanciò unaltro sistema operativo basato su interfaccia grafica: nel 1985 nacque il primo Windows 1.0 che trovò pochiconsensi perchè troppo lento e instabile. Nel 1986, con la comparsa di nuovi microprocessori, il sistemaWindows cominciò a funzionare in modo adeguato tanto che le versioni di Windows 3.1 e di Windows 95portarono al sopravvento del sistema operativo Windows rispetto al Macintosh.Accanto a questi sistemi operativi, e forse anche per ridurre lo strapotere della Microsoft, si deve vederela strada percorsa da un informatico di Helsinki (data di nascita 1969), Linus Benedict Torvalds, che haintrodotto il sistema Linux.Durante gli studi universitari, Torvalds si era interessato di sistemi operativi e aveva studiato una versionesemplificata di Unix, chiamata Minix. Questo sistema poteva funzionare su personal computer e venivadistributo con i programmi sorgenti disponibili. Torvalds migliorò il sistema Minix, in modo da poterlo utilizzarecome alternativa a Windows, nella logica di non realizzare profitti (cioè non diventare milionario) ma10

1.8. Lavorare in ambiente Linuxdi realizzare un sistema utilizzabile gratuitamente da tutti e migliorabile con il contributo di tutti (la filosofiadell’open source). Nel 1991 fu completata la prima versione del sistema, che fu chiamata Linux e venne messaa disposizione di tutti. Torvalds si riservò il compito di coordinare i diversi miglioramenti via via introdottidagli altri sviluppatori.Tra le tante distribuzioni attualmente in uso ricordiamo: Debian, Ubuntu, Fedora, Gentoo, Slackware. . .Linux si è dimostrato e si dimostra tuttora un valido sistema operativo, affidabile, sicuro e di buoneprestazioni, in grado di gestire situazioni multiutente e multitasking.Ed è il sistema operativo di riferimento del corso di Calcolo Numerico.1.8 Lavorare in ambiente LinuxUna volta entrati nel sistema (tramite login e password), si apre l’ambiente grafico e di qui possiamolavorare (per esempio, aprire una finestra di editor, lavorare in Office, navigare in Internet ....).Per aprire nuove directories (cartelle), per spostare files, per eseguire programmi FORTRAN, ... è benelavorare tramite una finestra di terminale o shell.La finestra di terminale (shell) mostra il prompt dei comandi.Un esempio di prompt è la login dell’utente (ad esempio studente) + chiocciola + nome della macchinasu cui si sta lavorando (ad esempio george) + attuale directory di lavoro (se non compare nessun nome, èperchè ci troviamo nella home directory, la directory principale dell’utente) + un simbolo (% o $, a secondadella macchina):studente@george:~ $Vediamo ora alcuni comandi essenziali (comandi da scrivere dopo il prompt, in una finestra di terminale– dopodichè si clicca il tasto di Invio):G ls mostra l’elenco dei files e delle directories contenuti nella directory attuale ( ls sta per list):Esempio:studente@george:~ $ lsUn volta cliccato Invio, compare l’elenco delle directories presenti nello spazio di lavoro disponibile perl’utente studente sulla macchina george, ad esempio (i numeri a sinistra delle directories o files sonoindicatori dello spazio che occupano in memoria):5 appunti/ 4 mail/2 calcolonumerico/ 4 movies/3 fortran/ 1 varie/3 foto/ 57 prova.pdfG Per cambiare directory, si deve digitare cd nome-directory(cd sta per change directory). Esempio: per entrare nella directory foto, scriviamostudente@george:~ $ cd fotoUna volta cliccato il tasto di Invio, si è entrati nella directory foto:studente@george:~/foto $Il comando cd .. fa tornare nella directory precedente.Per creare una nuova directory: mkdir nomedirectory (mkdir sta per make directory).Per copiare un file dentro una directory: cp nomefile nomedirectory (cp sta per copy).Per trasferire un file in una directory mv nomefile nomedirectory (mv sta per move).Per rinominare un file (o una directory): mv nomevecchio nomenuovo .Per cancellare un file si usa il comando rm nomefile.G Per cancellare una directory, dobbiamo prima cancellare tutti i files della directory e poi usare ilcomando rmdir nomedirectory.11

1. STRUTTURA DELL’ELABORATOREG Per sapere in quale directory ci troviamo, si usa il comando pwd. Esempio: siamo nella directory foto,che è una sottodirectory della home di studente. Con il comando pwd si ha:studente@george:~/foto $ pwdstudente@george:~/foto $ /home/studente/fotoEsempio 1.8.1 Abbiamo due directory chiamate uno e due e il file prova.f nella directory uno.Vogliamo copiare il file dalla directory uno alla directory due.Se ci troviamo nella home, cioè nell’ambiente di partenza, dobbiamo scriverecp uno/prova.f duestudente@george:~ $ cp uno/prova.f dueSe ora passiamo nella directory due e facciamo ls, vedremo il file prova.fstudente@george:~ $ cd duestudente@george:~/due $ lstotal 11 prova.fSe siamo nella directory uno, dobbiamo scriverecp prova.f ../due per ottenere lo stesso risultato.Se siamo nella directory due, dobbiamo scriverecp ../uno/prova.f . Il punto finale serve per copiare il file prova.f nella directory in cui citroviamo.Con cp abbiamo due file identici, quello nella directory uno e quello copiato nella directory due.Possiamo anche scrivere cp prova.f prova2.f: in questo modo creiamo il file prova2.f nellastessa directory in cui si trova prova.f.Se vogliamo trasferire il file dalla directory uno alla directory due (in questo modo avremo solo un filealla fine del procedimento), dobbiamo usare il comando mv.RiassumendoG ls : lista dei files e delle directoryG cd : per cambiare directoryG mkdir: per creare una nuova directoryG cp: per copiare filesG mv: per trasferire o rinominare filesG rm: per cancellare filesG rmdir: per cancellare directories1.9 Editor di testoSe vogliamo scrivere su un file un documento di testo, abbiamo bisogno di un editor di testo. Sotto Linuxne troviamo diversi: vi, emacs, kedit, gedit, nedit.... I più semplici da utilizzare sono gedit e nedit.Sotto Linux esiste anche il pacchetto Office (del tutto simile all’equivalente Microsoft) per scriveredocumenti in word, creare tabelle, etc. . . . Anche il programma Gnumeric è molto utile per creare tabelle.Per visualizzare grafici, invece, c’è il pacchetto Gnuplot.12

C A P I T O L O2RICHIAMI DI ANALISILa teoria attrae la pratica come ilmagnete attrae il ferro.Carl Friedrich Gauss2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Identità trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Regole su funzione esponenziale e logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Derivate e integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Teoremi utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 IntroduzioneQuando si descrivono teoremi, si danno definizioni o, semplicemente, si discute di matematica, èabbastanza usuale prendere in prestito lettere dell’alfabeto greco.È importante, quindi, saperle riconoscere e chiamarle in maniera corretta:A α Alfa N ν NuB β Beta Ξ ξ XiΓ γ Gamma O o Omicron∆ δ Delta Π π PiE ɛ Epsilon P ρ RhoZ ζ Zeta Σ σ SigmaH η Eta T τ TauΘ θ Theta Υ υ UpsilonI ι Iota Φ φ FiK κ Kappa X χ ChiΛ λ Lambda Ψ ψ PsiM µ Mu Ω ω Omega13

2. RICHIAMI DI ANALISI2.2 Identità trigonometricheNel seguito introduciamo alcune formule trigonometriche, con la notazione:G sin(x) ≡ seno(x), cos(x) ≡ coseno(x),G tan(x) ≡ tangente(x) = sin(x)cos(x) , sec(x) ≡ secante(x) = 1cos(x) ,cos(−θ) = cos(θ)cos( π 2− θ) = sin(θ)sin(cos( π 2+ θ) = −sin(θ)sin(cos(π − θ) = −cos(θ)cos(π + θ) = −cos(θ)cos(θ + φ) = cos(θ)cos(φ) − sin(θ)sin(φ)sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1sin(−θ) = −sin(θ)π2− θ) = cos(θ)π2+ θ) = cos(θ)sin(π − θ) = sin(θ)sin(π + θ) = −sin(θ)sin(θ + φ) = sin(θ)cos(φ) + cos(θ)sin(φ)cos(2θ) = cos 2 (θ) − sin 2 (θ)tan 2 (θ) + 1 = sec 2 (θ)2.3 Regole su funzione esponenziale e logaritmicaAssumiano a,b ∈ R, con a > 0 e b > 0. Si ha:1 x = 1a x+y = a x a ya x y = (a x ) ya log a (x) = x a 0 = 1a x−y = a x /a ya x b x = (ab) xlog a (x y) = log a (x) + log a (y)log a (x/y) = log a (x) − log a (y)log a (x y ) = y log a (x)log a (a x ) = xlog b (x) = log a (x)log a (b)b x = a x log a (b)2.4 Derivate e integraliSiano f e g due funzioni dipendenti dalla variabile reale x mentre c ∈ R sia una costante. Indichiamo laderivata di f con il simbolo d fd x o mediante f ′ . Si ha:d (k f )= k f ′d xregola della costanted (f + g )= d fd x d x + d gd xregola della sommad (f /g )= f ′ g − f g ′d x g 2regola del quoziented (f g )= f g ′ + f ′ gd xregola del prodottod f rd x = r f r −1 f ′ regola della potenzaTra le regole di integrazione, invece, ricordiamo quella di integrazione per parti:∫∫f g ′ dx = f g − f ′ g dx14

2.5. Teoremi utiliDiamo ora una tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni più note (per gli integrali lasciamofuori la costante di integrazione), e con la simbologia arcsin(x) ≡ arcoseno(x), arccos(x) ≡ arcocoseno(x),cot(x) ≡ cotangente (x), arctan(x) ≡ arcotangente(x), ar ccot(x) ≡, arcocotangente(x).ff f ′ f f ′1ln(x)e xe xxsin(x) cos(x) cos(x) −sin(x)1tan(x)cos 2 (x) (= 1sec2 (x)) cot(x) −sin 2 (x)1111tan(x)−cot(x)cos(x)cos(x)sin(x)sin(x)11arcsin(x) arccos(x) − 1 − x21 − x21arctan(x)1 + x 2 ar ccot(x) − 11 + x 2x r x r +1∫f d x f∫f d xr + 1 (r ≠ 1) x−1 ln|x|e x e x ln|x| x ln|x| − xsin(x) −cos(x) cos(x) sin(x)tan(x)1ln| |cos(x)cot(x) ln|sin(x)|1cos(x)1ln|cos(x) + tan(x)| 1sin(x)1ln|sin(x) + cot(x)|1cos 2 (x)tan(x)1sin 2 (x)−cot(x)tan(x)cos(x)1cos(x)cot(x)sin(x)− 1sin(x)arcsin(x) x arcsin(x) + 1 − x 2 arccos(x) x arccos(x) − 1 − x 2arctan(x) x arctan(x) − 1 2 ln(1 + x2 ) ar ccot(x) xar ccot(x) − 1 2 ln(1 + x2 )11 − x22.5 Teoremi utiliarcsin(x)11 + x 2 arctan(x)Richiamiamo, nel seguito, teoremi che trovano applicazione nel Calcolo Numerico.Utilizzeremo, inoltre, le seguenti notazioni per funzioni di una sola variabile definite in un insieme X ⊂ R.L’insieme delle funzioni continue in X verrà denotato con il simbolo C (X ). L’insieme delle funzioni continuein X , che hanno le prime n derivate pure esse continue, sarà indicato con C n (X ).Notazioniusate per lefunzionicontinue15

2. RICHIAMI DI ANALISITeorema 2.5.1 (Teorema di Rolle) a Siaf ∈ C ([a,b]) e differenziabile in ]a,b[.Se f (a) = f (b) = 0, allora esiste un punto ξ ∈]a,b[tale che f ′ (ξ) = 0a Michel Rolle (1652- 1719) fu un matematico francese. Èconosciuto per il teorema che porta il suo nome. Si deve a luila notazione della radice n-sima per mezzo del simbolo n x.Teorema 2.5.2 (Teorema del Valor Medio)Se f ∈ C ([a,b]) ed è differenziabile in ]a,b[,allora esiste un punto ξ ∈]a,b[ tale chef ′ f (b) − f (a)(ξ) =b − aTeorema 2.5.3 (Teorema del Valor Medio del Calcolo Integrale) Se f ∈ C ([a,b]) e g è integrabile in [a,b] eg (x) non cambia segno in [a,b], allora esiste un punto ξ ∈]a,b[ tale che∫ baf (x)g (x) d x = f (ξ)∫ bag (x) d xPer g ≡ 1, questo teorema ci dà il valore medio della funzione f sull’intervallo [a,b], dato da f (ξ) =1 ∫ bab − af (x) d xTeorema 2.5.4 (Teorema di Rolle generalizzato) Sia f ∈ C ([a,b]) n volte differenziabile in ]a,b[. Se f si annullain n +1 punti distinti x 0 , x 1 ,..., x n in ]a,b[, allora esiste un punto ξ ∈]a,b[ in cui la derivata n-sima dellaf si annulla: f (n) (ξ) = 0.Teorema 2.5.5 (Teorema del Valore Intermedio)Sia f ∈ C ([a,b]) e sia K un valore compreso tra f (a)e f (b). Allora esiste almeno un punto ξ ∈]a,b[ taleche f (ξ) = K .Quindi per funzioni continue, un valore compreso tra i due estremi dell’insieme di definizione, è un valoreassunto dalla funzione stessa (in uno o più punti).Come conseguenza di questo teorema, se f (a)f (b) < 0 (la funzione assume segno opposto agli estremidell’intervallo [a,b]) allora esiste almeno un punto ξ tale che f (ξ) = 0, cioè esiste almeno una radicedell’equazione f (x) = 0 nell’intervallo [a,b].16

2.5. Teoremi utiliTeorema 2.5.6 (Formula di Taylor) 1Sia f ∈ C 2 ([a,b]) e sia x 0 un punto dell’intervallo [a,b]. Allora, per qualunque x ∈ [a,b] si può scrivere:f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0) 2f ′′ (ξ x )2dove ξ x è un opportuno punto di [a,b] che si trova sul segmento individuato da x 0 e x.La formula appena scritta si dice formula di Taylor di centro x 0 nel punto x.La formula di Taylor appena scritta si può generalizzare se la funzione f è derivabile n +1 volte. Si ha cosìla formula polinomiale di Taylor di centro x 0 :dovef (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )2!(x − x 0 ) 2 + ... + f (n) (x 0 )(x − x 0 ) n + R nn!R n (x) = f (n+1) (ξ x )(x − x 0 ) n+1(n + 1)!con ξ x un opportuno punto di [a,b] che si trova sul segmento individuato da x 0 e x.1 Brook Taylor (1685 - 1731) fu un matematico inglese che sviluppò quello che oggi è chiamato calcolo delle differenze finite.L’importanza del suo lavoro e, soprattutto, della formula conosciuta oggi con il suo nome, venne riconosciuta solo nel 1772 da Lagrange.17

C A P I T O L O3RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORETutti noi ogni giorno usiamo lamatematica: per prevedere il tempo,per dire l’ora, per contare il denaro.Usiamo la matematica anche peranalizzare i crimini, comprenderegli schemi, prevedere icomportamenti. Usando i numeri,possiamo svelare i più grandimisteri della vita!NUMB3RS3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Aritmetica di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Conversione di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Rappresentazione IEEE dei numeri di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Precisione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Propagazione degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Instabilità e malcondizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7.1 Instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7.2 Malcondizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 IntroduzioneMolte volte, si pensa che i risultati numerici ottenuti da un calcolatore elettronico, specie se sono ottenuticome output di un sofisticato software, non contengano errori e, se ne abbiano, siano da ritenersitrascurabili. In realtà, quando si esegue un programma al calcolatore, bisogna prima di tutto aver verificatoche sia stato scritto correttamente (il programma deve, cioè, tradurre correttamente il problema matematicoche si vuole risolvere). Inoltre, bisogna tener conto che i risultati numerici sono sempre affetti daun certo tipo di errore (che può dipendere, per esempio, dall’arrotondamento – π è un numero con infinitecifre decimali ma il calcolatore lo può vedere solo come un numero con finite cifre decimali, introducendocosí un errore nei risultati – o dal troncamento – molte formule non possono essere usate così19

3.2. Aritmetica di macchinaFigura 3.2: L’esplosione di Ariane 5Il 23 settembre 1999 si perdono le tracce del veicolo spaziale Mars Climate Orbiter. Gli obiettivi di questamissione della NASA erano sia di monitoraggio dei cambiamenti climatici sia di supporto per la missioneMars Polar Lander. I costi della Climate Orbiter e della Polar Lander erano di un totale di oltre 320 milioni didollari.Si era ipotizzato di entrare nell’atmosfera di Marte ad una altezza di circa 150 km mentre il veicolo spazialeentrò ad una altezza di circa 60 km. Per un errore di conversione delle unità di misura, il velivolo entrònell’atmosfera con una traiettoria inferiore rispetto a quella pianificata. La velocità del mezzo era moltoelevata e portò alla distruzione non solo del veicolo spaziale ma anche della stessa Polar Lander.Diversi furono i motivi che portarono al fallimento di questa missione. Il principale è dovuto al fallimentodell’operazione di riconoscere e correggere un errore nel trasferimento di informazioni tra il team che lavoravasul veicolo spaziale, che si trovava in Colorado e il team della missione di navigazione, che lavoravain California. Un team usava le unità inglesi (inches, feet, pounds) mentre l’altro usava le unità metriche.L’errore fu, appunto, nella conversione delle unità di misura tra unità inglesi e unità metriche!Figura 3.3: La Mars Climate Orbiter3.2 Aritmetica di macchinaUn qualunque numero reale può essere rappresentato accuratamente da una sequenza di infinite cifredecimali.Ad esempio:13 = 0.3333333... = ( 010 0 + 310 1 + 310 2 + 310 3 + 310 4 ... )× 10 0 21

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE( 3π = 3.14159265358979... =10 0 + 110 1 + 410 2 + 110 3 + 5 )10 4 ... × 10 0Osserviamo che abbiamo scritto 1/3 e π in base 10, usando, quindi, le cifre 0,1,2,...,9 per poterlirappresentare.In genere, un numero reale x può essere rappresentato in base N comex = x m N m + x m−1 N m−1 + ... + x 1 N + x 0 + x −1 N −1 + x −2 N −2 + ... x −n N −n} {{ }parte intera} {{ }parte frazionariaEsempiodove m e n sono interi naturali e x k , k = m,m − 1,...,−n sono interi naturali compresi tra 0 e N − 1.In base 10, il numero 726.625, scritto in forma estesa è dato dalla forma:7 × 10 2 + 2 × 10 1 + 6 + 6 × 10 −1 + 2 × 10 −2 + 5 × 10 −3Tuttavia, i calcolatori hanno una memoria finita per poter rappresentare i numeri. Ciò significa che solouna sequenza finita di cifre possono essere usate. Inoltre, i calcolatori lavorano in base binaria, quindi ogninumero può essere rappresentato mediante una sequenza di 0 e 1.Avendo in mente questi due fattori, possiamo ora capire la rappresentazione dei numeri al calcolatore,per cui ad ogni numero reale x è associato il numero di macchina denotato come f l(x), in rappresentazionefloating point – virgola mobile.3.3 Conversione di baseNel seguito, non affronteremo gli aspetti teorici del passaggio da una base ad un altra per rappresentarelo stesso numero, ma vedremo l’implementazione pratica per convertire un numero dalla base 10 alla base 2e viceversa.Il passaggio di un numero dalla rappresentazione in base 2 alla rappresentazione in base 10 è semplice, inquanto si tratta di scrivere il numero come combinazione delle opportune potenze di 2. Vediamo un esempio.Esempio 3.3.1 Sia 10001000.010 il numero scritto in base 2.Se lo scriviamo mediante le potenze di 2 si ha:10001000.010 = 1 · 2 7 + 0 · 2 6 + 0 · 2 5 + 0 · 2 4 + 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 0 · 2 1 + 0 · 2 0 +} {{ }parte intera0 · 2 −1 + 1 · 2 −2 + 0 · 2 −2= 2 7 + 2 3 + 2 −2 = 128 + 8 + 0.25 = 136.25Questo è quindi lo stesso numero ma rappresentato in base 10.} {{ }parte frazionariaIl passaggio di un numero dalla rappresentazione in base 10 a quella in base 2 si effettua, invece, in duepassi.GSi prende la parte intera del numero e la si divide per 2: se il resto della divisione è zero, allora la corrispondentecifra binaria sarà 0; se il resto è diverso da zero, la corrispondente cifra binaria sarà 1. Si ripete22

3.4. Rappresentazione IEEE dei numeri di macchinala procedura sul risultato avuto dalla divisione, fino a quando si arriva a 1. In tal modo, calcoliamo le cifrebinarie a partire da x 0 (il primo resto ottenuto) e andando avanti con indice crescente.GSi prende la parte frazionaria del numero e la si moltiplica per 2. Se il risultato dell’operazione ha laparte intera diversa da zero, allora la corrispondente cifra binaria vale 1, altrimenti vale 0. Si ripete la procedurasulla parte frazionaria del risultato appena ottenuto e si continua fino a quando si arriva allo zero (o sesi vede che c’è una periodicità nei risultati). Le cifre binarie vengono costruite da x −1 con indice decrescente.Esempio 3.3.2 Vogliamo convertire il numero 725.625 dalla base 10 nella base 2.Per la parte intera si ha:Per la parte decimale si ha :: 2 = quoziente resto.625 × 2 = 1.250 x725 362 1 x −1 = 10.250 × 2 = 0.50 x362 181 0 x −2 = 01.5 × 2 = 1.0 x181 90 1 x −3 = 12.0 × 2 = 0.090 45 0 x 31 0 1 x 945 22 1 x 422 11 0 x 511 5 1 x 65 2 1 x 72 1 0 x 8In base 2 il numero diventa 1011010101.101.Osserviamo che un numero può avere una rappresentazione finita in base 10 e infinita in base 2. Vediamoin dettaglio un esempio:Esempio 3.3.3 Scriviamo il numero 11 , che è 1.1 in base 10, nella base 2.10Per la parte intera:Per la parte decimale:: 2 = quoziente resto.1 × 2 = 0.2 x1 0 1 x −1 = 00.2 × 2 = 0.4 x −2 = 0.4 × 2 = 0.8 x −3 = 0.8 × 2 = 1.6 x −3 = 1.6 × 2 = 1.2 x −4 = 1.2 × 2 = 0.4 x −5 = 0.4 × 2 = 0.8 x −6 = 0.8 × 2 = 1.6 x −7 = 1.6 × 2 = 1.2 x −8 = 1.2 × 2 = 0.4 x −9 = 0Osserviamo che nella parte decimale si ripetono all’infinito le cifre 0011. Il numero in base 2 si scrive quindicome: 1.00011} {{ } 0011 } {{ } ...3.4 Rappresentazione IEEE dei numeri di macchinaLo sviluppo dei calcolatori ha promosso e sviluppato l’uso del sistema binario, in cui ciascun numero èrappresentato da una successione di cifre binarie (0 e 1). Ma come avviene la rappresentazione di un nume-23

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATOREro nel calcolatore? Come rappresentare un numero a infinite cifre in maniera accurata utilizzando solo unnumero finito di cifre?Lo standard IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), oggi utilizzato dalla maggior parte deicalcolatori, è dato dalla rappresentazione in virgola mobile (floating point). Esiste anche un tipo di rappresentazionein virgola fissa (fixed point), ma in genere è preferita quella in floating point, e noi ci soffermeremosolo su questa.Riprendiamo l’esempio proposto in Sezione 3.2, dove abbiamo scritto 1 in base 10 come3(103 = 0.3333333... = 10 0 + 310 1 + 310 2 + 310 3 + 3 )10 4 ... × 10 0Questo è un esempio di numero scritto in virgola mobile: un qualunque numero x, in base 10, si puòscrivere sotto la forma x = f 10 e dove f rappresenta la mantissa del numero e e è l’esponente (intero) dellabase con cui stiamo rappresentando il numero stesso, che dà informazioni sulla parte intera del numero.Ci sono diverse rappresentazioni in virgola mobile, tutte equivalenti tra loro. Per esempio 12.5 = 1.25 ×10 1 = 0.125 × 10 2 = 0.000125 × 10 5 . Si parla di virgola mobile normalizzata quando la mantissa è del tipo1.qual cosa.La rappresentazione in virgola mobile normalizzata in base 2 è quella utilizzata nello standard IEEE: inumeri si possono scrivere nella forma x = f 2 e . Al calcolatore, tuttavia, non possiamo rappresentare numericon una mantissa a infinite cifre, perciò f = ±1.f −1 f −2 ... f −n e e = ±e Ne−1 e Ne−2 ...e 0 ., dove f −1 , f −2 ,..., f −n ,e e Ne−1 ,e Ne−2 ,...,e 0 sono le cifre che caratterizzano rispettivamente la mantissa e l’esponente del numeroin virgola mobile normalizzata in base 2, e quindi possono valere 1 o 0. Abbiamo n cifre per la mantissa (inrealtà sono n + 1 ma poichè la rappresentazione è normalizzata f 0 = 1) e Ne per l’esponente. Nel sistemabinario, le cifre vengono chiamate bits ( binary digits): quindi n bits sono riservati per la mantissa, Ne perl’esponente.Un numero in floating point nella rappresentazione IEEE viene scritto comex = ±(1 + f −1 2 −1 + f −2 2 −2 + ... + f −n 2 −n ) × 2 edoveG 1+ f −1 2 −1 + f −2 2 −2 +...+ f −n 2 −n è la mantissa, normalizzata, cui sono riservatiun numero n di bits,G e è la potenza della base 2 cui sono riservati un numero Ne di bits ed èlimitato a variare in un determinato intervallo [L,U ].Il primo 1 della mantissa (che corrisponde a f 0 ) non viene messo in memoria ma c’è. La rappresentazionein virgola mobile può essere schematizzata nel modo seguente (s, e ed f rappresentano i bits riservatirispettivamente per il segno della mantissa, le cifre per l’esponente e quelle per la mantissa):s e e e e e ··· ··· e f f f f f ··· ··· f}{{}segno} {{ }cifre dell’esponente} {{ }cifre della mantissaAbbiamo 1 bit riservato al segno (si ha 0 per il segno + e 1 per il segno −), un numero Ne di bits perl’esponente 2 e , e un numero n di bits per la mantissa.La scelta del numero di bits da riservare all’esponente e alla mantissa si basa su un compromesso tra ladimensione dell’esponente (e quindi il più piccolo e il più grande numero rappresentabile) e la dimensionedella mantissa (e quindi la precisione del numero rappresantibile, più o meno cifre decimali).Nel sistema IEEE, la rappresentazione in singola precisione è a 32 bits mentre quella in doppia precisioneè a 64 bits. La suddivisione dei bits tra esponente e mantissa viene ripartita nel modo seguente:24

3.4. Rappresentazione IEEE dei numeri di macchinas Ne n # totale bitsSingola precisione 1 8 23 32Doppia precisione 1 11 52 64Gli esponenti possono essere sia positivi sia negativi ma si preferisce memorizzarli come interi positivi(senza segno). Abbiamo dunque bisogno di una tecnica che permetta di rappresentare esponenti negativicome interi positivi. La tecnica utilizzata nello standard IEEE è chiamata di biasing (distorsione): un numeropositivo (detto bias) viene aggiunto all’esponente (sia esso positivo o negativo) in modo che il risultato finalesia sempre positivo. Ed è questo valore che viene memorizzato per rappresentare l’esponente. L’esponenteviene quindi rappresentato in forma biased (parziale, influenzata da un altro numero): se e è l’esponenteeffettivo, noi memorizziamo il valore b + e dove b è il bias dato b = 0111...1} {{ }, vale a dire b = 1 + 2 + 2 2 + ... +Ne bits2 Ne−2 + 0 · 2 Ne−1 = 1 − 2Ne−1= 2 Ne−1 − 1 (si veda la nota alla pagina seguente per capire perchè si ha questo1 − 2valore per b).Per trovare il limite superiore e inferiore entro cui può variare e, dobbiamo tener conto del fatto che, nellarappresentazione IEEE, due patterns di bits sono riservati per rappresentare numeri speciali quali lo zero,infinito e il Not-a-Number, precisamente 0000...0 e 1111...1.Quindi, b + e non può essere uguale nè a 0000...0, nè a 1111...1. Ciò significa che il massimo esponenteche si può rappresentare è dato sottraendo a 1111...1 il valore 1 in base 2, cioè da 1111...1 − 0000...01 =1111...10.Si ha b + e ≤ 1111...10, o equivalentemente, 0111...1 + e ≤ 1111...10, da cui ricaviamoe ≤ 1111...10 − 0111...1 = 0111...1 = b.Il limite superiore U è proprio uguale a b.Per il limite inferiore abbiamo: 0000...0 < b + e cioè, equivalentemente,−b < e ⇔ −b + 0000...01 ≤ e.Quindi il limite inferiore è L = −(b − 1).In singola precisone, b = 0111...1} {{ }: in base 10 b = 127 10 , da cui l’intervallo [L,U ] = [−126,127].8 bitsIn doppia precisione, invece, b = 1023 10 da cui [L,U ] = [−1022,1023].Per quanto riguarda la mantissa, sono ad essa riservati n bits. Considerando anche l’1 dellanormalizzazione, la precisione è di n + 1 bits.Il più grande numero che si può rappresentare è, quindi 1n∑1.111...1} {{ }×2 U = ( 2 −k ) × 2 U = 1 − 2−(n+1)k=01 − 2 −1 2 U = (2 − 2 −n )2 U ≈ 2 U+1n bitsIl più piccolo numero positivo rappresentabile è dato, invece, da:1.000...0} {{ }×2 L = 2 Ln bitsSe si vuole rappresentare un numero al di fuori di questo intervallo si ha overflow o underflow.In singola e doppia precisione abbiamo, per il più grande e il più piccolo numero positivo rappresentabile,i seguenti valori:1 È il risultato di una somma del tipo S = 1 + a + a 2 + ... + a n e vale il risultato S = 1 − a(n+1) , con a = 1 1 − a2 = 2−1 . Osserviamo, inoltre,che, dati n valori w 1 , w 2 ,..., w n usiamo la seguente simbologia per indicare la loro somma:.n∑w i = w 1 + w 2 + w 3 + ... w ni=125

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORESingola precisione Doppia precisioneMassimo ≈ 3.4 × 10 38 ≈ 10 308Minimo ≈ 1.2 × 10 −38 ≈ 2.2 × 10 −308Esempio 3.4.1 Vogliamo scrivere il numero 5.75 10 in formato IEEE in singola precisione.Effettuiamo prima la conversione in base 2:Per la parte intera:Per la parte decimale:5 2 1 x 0.75 × 2 = 1.50 x −1 = 12 1 0 x 1.5 × 2 = 1.0 x −2 = 11 0 1 x 2 .0 × 2 = 0.0Quindi 5.75 10 = 101.11 2 = 1.0111 × 2 2 .Memorizziamo ora il numero in singola precisione:Per l’esponente, essendo p = 2, si ha:(b + p) 10 = (127 + 2) 10 = 129 10 = 10000001 2Per la mantissa, m = 23 e si deve trascurare l’1 della normalizzazione, quindi memorizzeremo le cifre 0111e poi avremo tutti 0.0 1 1 1 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Il segno è positivo, quindi s = 0Perciò la memorizzazione, considerati i bits per il segno, l’esponente e la mantissa è:0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 ... 0 0 0 0 0}{{}s} {{ }esponente} {{ }manti ssaConsideriamo, ora, la rappresentazione dei numeri speciali.Per convenzione si pone uguale a 0 la rappresentazione che vede tutti zero sia nel segno, sia nell’esponenteche nella mantissa (non dimentichiamo che il valore 1 della normalizzazione non è messo in memoriama c’è e quindi non potremmo mai avere il valore 0, perciò lo si pone per convenzione).Per i valori ±∞ si considerano tutti 1 nello spazio dedicato all’esponente, tutti 0 nello spazio dedicato allamantissa e 0 o 1 per il segno, a seconda che sia + o −∞.0 / 1 1 1 1 ... 1 1 0 0 0 ... 0 0}{{}s} {{ }esponente} {{ }mantissaI valori ±∞ si hanno se si fa una divisione per zero o si fa un calcolo che comporta overflow.Si ha invece il Not-a-Number (NaN) come risultato di operazioni non definite, come 0/0 o log0.A seconda della macchina si ha:NaNS, che produce un segnale di errore0 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 ... 1 1}{{}s} {{ }esponente} {{ }mantissaNaNQ, con il quale il calcolo continua comunque...0 1 1 1 ... 1 1 1 0 0 ... 0 0}{{}s} {{ }esponente} {{ }mantissa26

3.5. Precisione numerica3.5 Precisione numericaUn numero può avere una rappresentazione finita o infinita. Basti pensare al valore di π o a 2 in base 10.Abbiamo anche visto che un numero può avere rappresentazione finita in una base ma infinita in un’altra.Quando rappresentiamo un numero al calcolatore è possibile memorizzare solo un certo numero di cifre:in che modo lo esprimiamo?Per lasciare maggiore generalità al discorso, consideriamo una base N .Sia x = ±( ∑ ∞k=0 x −k N −k )N p il numero esatto (può avere infinite cifre decimali e lo rappresentiamo comesomma di infiniti termini).In floating-point esso sarà espresso come x ∗ = ±( ∑ t−1k=0 x∗ −k N −k )N p∗ , esso, cioè, sarà arrotondato (nonpossiamo avere infinite cifre decimali e, difatti, la somma considera solo t termini).Ci sono due modi per arrotondare un numeroG troncamento: x ∗ = tr onc(x), dove p ∗ = p e x ∗ −k = x −k per k = 0,..., t − 1. Le altre cifre, x −t , x −t−1 ,...sono ignorate.G arrotondamento simmetrico: x ∗ = ar r (x) = tr onc(x + 1 2 N −t+1 N p ), aggiungiamo un’unità a x −t+1 sex −t ≥ N /2.L’errore assoluto |x − x ∗ | che si commette approssimando il numero x con x ∗ sarà 2⎧⎨N N p nel troncamento|x − x ∗ | ≤ 1⎩2 N 1−t N p nell’arrotondamentoPer l’errore relativo |x − x∗ |, invece, si ha:|x|⎧|x − x ∗ |⎨N 1−t nel troncamento≤ 1|x| ⎩2 N 1−t nell’arrotondamentoIl valore 1 2 N 1−t è il numero conosciuto come precisione di macchina.Nel caso della rappresentazione IEEE di un numero, si ha t−1 = n, (ricordiamo che nella rappresentazioneIEEE si memorizza il numero normalizzato), da cui l’errore di arrotondamento relativo che si commette è|x − x ∗ |≤ 2 −(n+1) .|x|In singola precisione (n = 23), avremoEsempio|x − x ∗ |≤ 2 −24 ≈ 5.96 × 10 −8|x|ciò significa che avremo 8 cifre decimali corrette.In doppia precisione (n = 52) avremo|x − x ∗ |≤ 2 −53 ≈ 1.11 × 10 −16|x|ciò significa che avremo 16 cifre decimali corrette.2 Evitiamo di effettuare tutti i passaggi che portano alle formule dell’errore assoluto e relativo, che sono il risultato di maggiorazionidi serie geometriche.27

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE3.6 Propagazione degli erroriPrima di vedere come si propagano gli errori nelle operazioni elementari di moltiplicazione, divisione,addizione e sottrazione, vediamo il concetto di cifre significative.Le cifre significative sono quelle che danno un’informazione effettiva sul valore del numero,indipendentemente dalla parte esponenziale.Se scriviamo il numero in virgola mobile normalizzata, le cifre significative sono date dalle cifre dellaparte frazionaria. La bontà delle cifre va diminuendo procedendo da sinistra verso destra e questo può portaread una perdita di cifre significative, come possiamo vedere studiando la propagazione degli errori nelleoperazioni elementari.Supponiamo che i numeri su cui lavoriamo siano affetti da errore (di arrotondamento), mentre le operazionisiano eseguite in modo esatto. Indichiamo con il simbolo o una qualunque delle operazioni elementari{×,/,+,−} e indichiamo con f l(x) il numero x rappresentato in floating point e arrotondato, quindif l(x) = x(1 + e x ) dove e x è l’errore di arrotondamento.Allora f l(x o y) = f l(x)o f l (y) = x(1 + e x )o y(1 + e y ).G Moltiplicazione 3 x(1 + e x ) × y(1 + e y ) = x × y(1 + e x )(1 + e y ) ≈ x × y(1 + e x + e y )Sulla cancellazioneQuindi l’errore nel prodotto è dato da e x y = e x + e yG Divisione (con y ≠ 0) 4 x(1 + e x )y(1 + e y ) = x y (1 + e x)(1 − e y + e 2 y + ...) ≈ x y (1 + e x − e y )Si ha e x/y = e x − e y : gli errori si accumulano additivamenteG Addizione (e, analogamente, Sottrazione)x(1 + e x ) + y(1 + e y ) = x + y + xe x + ye y = (x + y)(1 + xx + y e x +yx + y e y )L’errore è e x+y =xx + y e x +yx + y e y , una combinazione lineare che dipende da x e y.– x y > 0 =⇒ |e x+y | ≤ |e x | + |e y |– x y < 0 =⇒ |x||x + y| e |y|possono essere molto grandi e, in tal caso, ci sarà un’amplificazione|x + y|notevole dell’errore. Si ha il fenomeno di cancellazione se non si fa attenzione al numero di cifresignificative dei numeri che vengono sommati.Supponiamo di avere due numeri molto vicini tra loro, in cui le prime p + 2 cifre della parte frazionariasono buone mentre le altre sono corrotte. Inoltre, le prime p cifre siano le stesse per entrambi i numeri(usiamo i simboli v v v v v e w w w w w w per esprimere le cifre corrotte):f l(x) = 1.d −1 d −2 ...d −p b −(p+1) b −(p+2) v v v v × 2 ef l(y) = 1.d −1 d −2 ...d −p b ′ −(p+1) b′ −(p+2) w w w w × 2eQuando andiamo a fare la sottrazione le prime p cifre buone si annullano. Da p + 2 cifre buone, ne abbiamoora solo 2 e tutte le altre sono quelle corrotte. Con la normalizzazione il risultato diventa del tipo (ora qqqqqsono le cifre corrotte):f l(x − y) = 1.b −1 ′′ b′′ −2qqqqqq × 2e3 Nei calcoli sono trascurabili le potenze maggiori o uguali a due per e x e e y4 1Possiamo scrivere = (1 − e y + e 2 y1 + e + ...) come risultato della formula polinomiale di Taylor della funzione f (e 1y ) = diy 1 + e ycentro 0.28

3.6. Propagazione degli erroriRicordiamo, infine, che in aritmetica di macchina non valgono più la proprietà distributiva o associativadel prodotto.Esempio 3.6.1 Sia x = 0.1103 e y = 0.009963. Se consideriamo un sistema decimale a 4 cifre,normalizzando i numeri, abbiamo x = 1.103 · 10 −1 e y = 9.963 · 10 −3Facendo la sottrazione di questi due numeri, abbiamo 1.103 · 10 −1 − 9.963 · 10 −3 = 0.1103 − 0.009963 =0.100337. Facendo l’arrotondamento a 4 cifre abbiamo il valore 1.0034 · 10 −1 .|0.100337 − 0.10034|L’errore relativo che commettiamo è: ≈ 2.99 × 10 −5 . Questo errore è minore della0.100337precisione di macchina (considerata la base 10 e le 4 cifre) 1 2 · 10−3 .Tuttavia, se non teniamo conto delle cifre significative ma tronchiamo i numeri alle prime 4 cifre, abbiamola sottrazione di 0.1103 − 0.0099 = 0.1004.|0.100337 − 0.1004|Questa volta l’errore relativo è ≈ .63 × 10 −3 . L’errore è maggiore della precisione di0.100337macchina.Esempio 3.6.2 Sia da risolvere l’equazione ax 2 +bx+c = 0 con a = 1, b = −56 e c = 1, quindi x 2 −56x+1 = 0,in una macchina a 4 cifre decimali (normalizzata).Applicando la formula x 1/2 = −b ± b 2 − 4acabbiamo x 1/2 = 28 ± 783 = 28 ± 27.98213716 ={ 2a0.01786284073. L’arrotondamento delle due radici in virgola mobile normalizzata a 4 cifre decimali55.98213716dà: x 1 = 1.7863 · 10 −2 e x 2 = 5.5982 · 10 1 .Consideriamo ora la macchina a 4 cifre decimali per risolvere l’equazione:x 1 = 28 − 783 = 2.8 · 10 1 − 2.7982 · 10 1 = 0.0018 · 10 1 = 0.018 = 1.8 · 10 −2x 2 = 28 + 783 = 2.8 · 10 1 + 2.7982 · 10 1 = 5.5982 · 10 1La radice x 2 è arrotondata correttamente, mentre la variabile x 1 no, per effetto della cancellazione.Poichè vale x 1 x 2 = c/a, nel nostro caso deve valere x 1 x 2 = 1 da cui x 1 = 1/x 2 = 1/(5.5982·10 1 ) = 1.7863·10 −2Esempio 3.6.3 Vediamo come non valga più la relazione (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .Sia a = 15.6 e b = 15.7 e la macchina sia a 3 cifre decimali (non normalizzata, per cui scriveremo la partefrazionaria come 0.qual cosa).(a − b) = (a − b) ∗ + e a−b . Abbiamo (a − b) ∗ = 15.6 − 15.7 = −0.1.Quindi (a − b) 2 = +0.01 = 0.1 · 10 −1 .Consideriamo ora a 2 − 2ab + b 2 = 243.36 − 489.84 + 246.49 = 0.24336 · 10 3 − 0.48984 · 10 3 + 0.24649 · 10 3Considerando la macchina a 3 cifre decimali, abbiamo: 0.243 · 10 3 − 0.490 · 10 3 + 0.246 · 10 3 = −0.1 · 10 1I risultati sono completamente diversi!29

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATOREEsempio 3.6.4 Consideriamo il problema di approssimare la derivata della funzione f (x) = sin x nel puntox = 1.2.Supponiamo di non poter valutare direttamente la derivata della f e di volerla approssimare applicandola formula polinomiale di Taylor:f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f ′ (x 0 ) + h22 f ′′ (x 0 ) + h36 f ′′′ (x 0 ) + h424 f IV (x 0 ) + ...Alloraf ′ (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 )− ( h h2 f ′′ (x 0 ) + h26 f ′′′ (x 0 ) + h324 f IV (x 0 ) + ...)Approssimiamo, quindi, la f ′ (x 0 ) calcolando f (x 0 + h) − f (x 0 ).hL’errore di discretizzazione che si commette è|f ′ (x 0 ) − f (x 0 + h) − f (x 0 )| = | h h2 f ′′ (x 0 ) + h26 f ′′′ (x 0 ) + h324 f IV (x 0 ) + ...|Supponendo di conoscere il valore della derivata seconda in x 0 , per piccoli valori di h possiamo dare unastima dell’errore di discretizzazione,|f ′ (x 0 ) − f (x 0 + h) − f (x 0 )| ≈ h h2 |f ′′ (x 0 )|Ci aspettiamo, anche senza conoscere il valore di f ′′ (x 0 ) (purchè diverso da 0) che l’errore di discretizzazionediminuisca proporzionalmente con il passo h, al decrescere di h.Nel nostro caso, in cui f (x) = sin(x), noi conosciamo il valore esatto della derivata in 1.2, vale a direcos(1.2) = 0.362357754476674...Il valore che otteniamo approssimando la derivata con la formula che abbiamo ricavato, per h = 0.1 non èmolto accurato. Ci aspettiamo che diminuendo il passo h l’errore che commettiamo diminuisca.Riportiamo gli errori della formula (in valore assoluto) e confrontiamoli con l’errore di discretizzazioneh2 |f ′′ (x 0 )| (i conti sono fatti in singola precisione):h erroreh2 |f ′′ (x 0 )|1.e-1 4.7167e-2 4.6602e-21.e-2 4.6662e-3 4.6602e-31.e-3 4.6608e-4 4.6602e-41.e-4 4.6603e-5 4.6602e-51.e-5 4.6602e-6 4.6602e-61.e-6 4.6597e-7 4.6602e-7L’errore commesso dall’algoritmo decresce come h e, in particolare, come h 2 |f ′′ (1.2)| = 0.46602h.Possiamo pensare di ottenere un’accuratezza grande quanto vogliamo a condizione di prendere valori di hsempre più piccoli. In realtà, per valori di h molto piccoli, gli errori iniziano ad aumentare!h erroreh2 |f ′′ (x 0 )|1.e-8 4.3611e-10 4.6602e-91.e-9 5.5947e-8 4.6602e-101.e-10 1.6697e-7 4.6602e-111.e-11 4.6603e-5 4.6602e-121.e-12 1.3006e-4 4.6602e-131.e-13 4.2505e-4 4.6602e-141.e-16 3.6236e-1 4.6602e-161.e-18 3.6236e-1 4.6602e-1930

3.6. Propagazione degli erroriIn Figura 3.6 vediamo come la curva dell’errore inizialmente segue la retta descritta dall’errore di discretizzazionema poi si allontana da essa. Perchè questo diverso comportamento per valori di h molto piccoli?L’errore che noi valutiamo è dato dalla somma dell’errore di discretizzazione e dell’errore di arrotondamento.Per valori di h grandi, l’errore di discretizzazione descresce al diminuire di h e domina l’errore diarrotondamento. Ma quando l’errore di discretizzazione diventa molto piccolo, per valori di h minori di10 −8 , allora l’errore di arrotondamento inizia a dominare e ad aumentare sempre più al diminuire di h.Questo è un motivo per cui si deve richiedere ad un algoritmo che l’errore di discretizzazione sia quelloche debba prevalere. Nell’errore di arrotondamento, per h via via più piccoli, si verifica un errore di cancellazione:f (x 0 + h) è praticamente uguale a f (x 0 ) per h molto piccoli! per cui l’errore che calcoliamo è|f ′ (x 0 ) − 0| = f ′ (x 0 ) = 0.3623577544....Una strategia per evitare la cancellazione è di scrivere diversamente la differenza f (x 0 +h)− f (x 0 ). Nel casodi f (x) = sin(x) ricorriamo alla formula trigonometrica per cui sin(φ) − sin(ψ) = 2cos( φ + ψ )sin( φ − ψ ).2 2Vediamo come migliorano le cose inserendo nel grafico 3.6 anche la curva dell’errore che otteniamo utilizzandoquesta espressione trigonometrica. L’errore continua a diminuire anche quando la formula precedentedà un errore crescente. Sempre in Figura 3.6, e in riferimento alla formula “non buona”, abbiamoconsiderato la curva dell’errore di arrotondamento in modo da confrontare l’andamento effettivo dell’errorecon un limite superiore teorico dell’errore computazionale totale dato dalla somme degli erroridi discretizzazione e di arrotondamento. La rappresentazione di f (x) è affetta da errore per cui avremo:f (x) = f ∗ (x)+e x . L’errore di arrotondamento è f (x 0 + h) − f (x 0 )= f ∗ (x 0 + h) − f ∗ (x 0 )+ e x 0 +h − e x0. Maggiorandoe x con la precisione di macchina ɛ, l’errore di arrotondamento è dato da 2ɛ/h: per h piccoli èhhhl’errore che predomina!Figura 3.4: Errore di discretizzazione ed effettivo approssimando f ′ (x 0 ) con il rapporto incrementalef (x 0 + h) − f (x 0 ).h31

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATOREFigura 3.5: Errori di discretizzazione, di arrotondamento, ed errore effettivo approssimando f ′ (x 0 ) con ilrapporto incrementale f (x 0 + h) − f (x 0 ), ed errore che si commette applicando la formula trigonometricahper cui f (x 0 + h) − f (x 0 ) = sin(x 0 + h) − sin(x 0 ) = 2cos(2x 0 + h/2)sin(h/2).3.7 Instabilità e malcondizionamento3.7.1 InstabilitàIn generale è impossibile evitare un accumulo lineare degli errori di arrotondamento durante un calcolo,ed è accettabile che ci sia una crescita lineare moderata, del tipoE n ≈ c 0 nE 0dove E n misura l’errore relativo dell’n-sima operazione dell’algoritmo 5 e c 0 sia una costante non moltogrande.Se invece avviene una crescita di tipo esponenzialeE n ≈ c n 1 E 0allora l’algoritmo è instabile. Algoritmi del genere devono essere evitati!Definizione 3.7.1 Un procedimento numerico si dice instabile se gli errori che vi sono associati non rimangonolimitati ma crescono fino a distruggere completamente la soluzione.5 Per algoritmo intendiamo un procedimento di calcolo. Per una definizione più approfondita si veda pag. 161 al Capitolo 11.32

3.7. Instabilità e malcondizionamentoEsempio 3.7.1 Consideriamo l’integrale∫ 1x ny n =0 x + 10 dxper valori di n = 1,2,...,30. Osserviamo che, poichè x ∈ [0,1], la funzione integranda varia pure essanell’intervallo [0,1] per cui 0 < y n < 1.Analiticamente, si ha:∫ 1x n + 10x n−1 ∫ 1x n−1 ∫(x + 10)1y n + 10y n−1 =dx =dx = x n−1 dx = 10 x + 100 x + 100nVale anche∫la relazione11y 0 =dx = ln(11) − ln(10).0 x + 10Possiamo pensare, quindi, di calcolare numericamente il valore di y n attraverso il seguente algoritmo:1. valutare y 0 = ln(11) − ln(10)2. per n = 1,2,...,30 valutare y n = 1 n − 10y n−1Questa formula ricorsiva dovrebbe dare l’esatto valore se non fossero presenti errori di arrotondamento checi allontanano completamente dalla soluzione vera. I numeri che generiamo, infatti, tendono a zero mentrel’errore si moltiplica. Infattiy 1 = 1 − 10y 0y 2 = 1 2 − 10(1 − 10y 0) = 1 2 − 10 + (−10)2 y 0y 3 = 1 3 − 10( 1 2 − 10 + 102 y 0 ) = −10 3 y 0 + cost ante. . . .y n = (−10) n y 0 + cost ante nL’algoritmo quindi, considerati gli errori di arrotondamento, presenta un errore E n con crescita di tipoesponenziale. Difatti otteniamo valori che via via si allontanano dall’intervallo di ammissibilità [0,1].I risultati che ricaviamo sono i seguenti (osserviamo che sono leggermente diversi a seconda dal linguaggiousato, proprio per effetto dell’instabilità).Da un programma in Fortran:Da un programma Matlab:n y n0 9.5310e-21 4.6898e-22 3.1021e-23 2.3122e-24 1.8778e-2... ....7 -3.0229e-18 3.1479e+09 -3.1368e+110 3.1378e+218 3.1377e+1027 -3.1377e+1930 3.1377e+22n y n0 9.5310e-21 4.6898e-22 3.1018e-23 2.3154e-24 1.8465e-2... ....7 1.1481-28 1.0194e-29 9.1673e-310 8.3270e-318 -9.1694e+127 -9.1699e+930 -9.1699e+1333

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORESe invece, considero y n−1 = 110 ( 1 n − y n), partendo da un valore di n molto grande e andando a ritroso,l’errore diminuisce. Perciò, dato un valore di accuratezza ɛ > 0 e fissato un intero n 1 è possibile determinarel’intero n 0 tale che, partendo da y n0 = 0 e andando a ritroso, gli integrali y n saranno valutati con un errorein valore assoluto minore di ɛ per 0 < n ≤ n 1 . Infatti:y n0 = 0y n0 −1 = 1 110n 0y n0 −2 = 110 ( 1n 0 − 1 − 110. . .y n =1) =n 01(−10) n 0−n n 0+ cost ante n0 −n1(−10) 2 n 0+ cost ante1L’errore al passo n dipende, quindi, (in valore assoluto) da10 n 0−n .Se richiediamo una tolleranza ɛ = 10 −6 , per calcolare y n0 allora dovrà essere110 n < ɛ cioè 10 n 1−n 0< ɛ0−n 1Passando al logaritmo in base 10:n 1 − n 0 < logɛ =⇒ n 0 > n 1 − logɛPer n 1 = 20 si ricava n 0 = 26.Questa volta i calcoli danno gli stessi risultati sia in Matlab sia in Fortran:n y n n y n26 0.000000 11 7.62944e-325 3.84615e-3 10 8.32797e-324 3.61538e-3 9 9.16720e-323 3.80513e-3 8 1.01944e-222 3.96731e-3 7 1.14806e-221 4.14872e-3 6 1.31377e-220 4.34703e-3 5 1.53529e-219 4.56530e-3 4 1.84647e-218 4.80663e-3 3 2.31535e-217 5.07489e-3 2 3.10180e-216 5.37486e-3 1 4.68982e-215 5.71251e-3 0 9.53102e-214 6.09542e-313 6.53332e-312 7.03898e-3Osserviamo come il valore y 0 coincida con il valore teorico noto.L’esempio appena visto ci porta a dare alcune considerazioni sui criteri su cui si deve basare un algoritmo:un algoritmo deve essere accurato, efficiente e robusto, accurato nel senso che bisogna essere in gradodi sapere la grandezza dell’errore che si commette nell’algoritmo stesso; efficiente in termini di velocità diesecuzione e di richiesta di spazio di memoria per le variabili utilizzate; robusto nel dare il risultato correttoentro un livello di tolleranza dell’errore che sia accettabile.34

3.7. Instabilità e malcondizionamentoFigura 3.6: Esempio: malcondizionamento3.7.2 MalcondizionamentoDefinizione 3.7.2 Un problema si dice malcondizionato se a piccole variazioni nei dati di input del problemacorrispondono forti variazioni nei dati di output.Quando il problema è molto sensibile alle variazioni dei dati di input, producendo risultati molto diversi traloro, allora nessun algoritmo, per quanto robusto e stabile, potrà dare una soluzione robusta al problemastesso.Esempio 3.7.2 Il problema del calcolo delle radici di un polinomio p(x) di grado n è un esempio diproblema malcondizionato.Sia p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +...+ a n x n . I dati di input del problema sono i coefficienti a 0 , a 1 ,..., a n . I dati dioutput sono le radici del polinomio.Si può provare che a piccole variazioni sui dati iniziali, corrispondono grandi variazioni sui risultati.Vediamo il caso del polinomio p(x) = (x − 1)(x − 2)···(x − 10). Chiaramente, tale polinomio ha radici1,2,...,10. Se perturbiamo il polinomio variando il coefficiente a 9 del valore di 0.00001, considerando quindiil polinomio p(x) + 0.00001x 9 , le radici corrispondenti si discostano di poco da quelle del polinomio dipartenza, come si può notare in Figura 3.7.2. Ma se variamo il coefficiente a 9 del valore 0.0001, considerandocioè il polinomio p(x)+0.0001x 9 allora le radici corrispondenti a x 7 , x 8 , x 9 , x 10 non saranno più reali maavranno anche una parte immaginaria.La piccola variazione sui dati di ingresso, quindi, provoca una grande variazione sui dati in uscita, proprioperchè il problema è malcondizionato.35

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATOREindice dicondizionamentoUna quantità che misura il grado di sensibilità di un problema – fornendoci indicazioni sul fatto che apiccole variazioni sui dati di ingresso del problema ci possono essere piccole o grandi variazioni sui dati diuscita – si chiama indice di condizionamento (o numero di condizionamento) del problema.Diamo la definizione nel caso in cui il nostro problema si possa identificare come una funzione f : R −→R. Il valore y = f (x) è il valore di uscita del problema f . Vogliamo vedere cosa succede se il dato di ingressonon è più x ma x + ∆x. ∆x rappresenta quindi una perturbazione sul dato iniziale. Assumiamo x ≠ 0, y ≠ 0.Applichiamo la formula di Taylor di centro x. Si ha:f (x + ∆x) = f (x) + f ′ (x)∆x +O(∆x 2 ) ≈ f (x) + f ′ (x)∆xLa variazione sul dato d’uscita è data dalla differenza f (x + ∆x) − f (x). Chiamiamo questa differenza con∆y. Quindi ∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f ′ (x)∆x (utilizziamo il risultato ottenuto dalla formula di Taylor).Se utilizziamo gli errori relativi, abbiamo (e sapendo che y = f (x)):∆yy∆yy≈ f ′ (x)∆xf (x)Moltiplico poi numeratore e denominatore a secondo membro per x≈ x f ′ (x) ∆xf (x) xAl limite per ∆x → 0, questa uguaglianza approssimata (abbiamo usato il simbolo ≈) diventa una verauguaglianza. Questo suggerisce di definire l’indice di condizionamento di f mediante la formula(cond f )(x) =x f ′ (x)∣f (x)∣Questo numero ci dice quanto grandi sono le perturbazioni relative per y confrontate con le relativeperturbazioni di x.Per x = 0 e y ≠ 0, non ha senso considerare l’errore relativo ∆x , e si considera l’errore assoluto su x. In talxcaso, si definisce indice di condizionamento la quantità(cond f )(x) =f ′ (x)∣f (x)∣Per x = y = 0 si considera invece l’errore assoluto sia per x che per y, dimodochè l’indice dicondizionamento diventa(cond f )(x) = |f ′ (x)|Esempio 3.7.3 Sia f (x) = x 1/α , con x > 0 e α > 0. Calcoliamo l’indice di condizionamento applicando laformula (poichè abbiamo supposto x > 0, si ha f (x) ≠ 0). Risulta∣ (cond f )(x) =x f ′ ∣∣∣∣∣∣(x)x 1 ∣ ∣∣∣∣∣∣ ∣f (x)∣ = α x1/α−1= 1 αx 1/αPer α grande, (cond f )(x) tende a zero, quindi abbiamo un problema bencondizionato. Se, invece α è moltopiccolo si ha un problema malcondizionato (se α = 10 −10 , si ha f (x) = x 1010 e (cond f )(x) = 10 10 , un valoremolto grande).36

C A P I T O L O4ZERI DI FUNZIONENon so come il mondo potràgiudicarmi ma a me sembrasoltanto di essere un bambino chegioca sulla spiaggia, e di essermidivertito a trovare ogni tanto unsasso o una conchiglia più bella delsolito, mentre l’oceano della veritàgiaceva insondato davanti a me.Isaac Newton4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Metodo delle Bisezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Metodo del Punto Fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Il Metodo di Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Convergenza di un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Complessità computazionale di uno schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Il metodo delle secanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.8 Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.9 Metodo di Newton-Raphson per radici multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.10 Controllo sugli scarti e grafici di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 IntroduzioneIl problema di calcolare la radice quadrata di un numero è un problema molto antico. Già gli antichiBabilonesi, intorno al 1700 a.C., se lo erano posto e avevano trovato la soluzione: per calcolare b, partivanoda un certo valore x che si avvicinava alla soluzione, dividevano b per questo numero, e facevano poi lamedia, iterando il procedimento. L’algoritmo si può schematizzare nel modo seguente:G partire da x 0 prossimo a b;G considerare x 1 = 1 2 (x 0 + b x 0);G generalizzando: x n+1 = 1 2 (x n + b x n).37

4. ZERI DI FUNZIONEPer esempio, per calcolare 2 ≈ 1.41421356237310, sapendo che il valore che dobbiamo approssimare ècompreso tra 1 e 2, possiamo partire da x 0 = 1.5, ottenendo:x 0 = 1.5x 1 = 1 2 (1.5 + 21.5 ) = 1.41666667x 2 = 1 2 (1.41666667 + 21.41666667 ) = 1.41421569x 3 = 1 2 (1.41421569 + 21.41421569 ) = 1.41421356Il metodo usato dai Babilonesi non è altro che il metodo di Newton-Raphson (che vedremo più avanti)per trovare gli zeri della funzione f (x) = x 2 − b.I metodi numerici discussi in questo Capitolo servono per trovare approssimazioni numeriche adequazioni del tipo f (x) = 0.4.2 Metodo delle BisezioniSia data una funzione f continua in un intervallo [a,b], con f (a) e f (b) che assumono valori di segnoopposto. Allora, per il teorema del Valore Intermedio (si veda il Teorema 2.5.5 con K = 0), esiste almeno unpunto ξ ∈]a,b[ tale che f (ξ) = 0.Assumiamo, per semplicità che ci sia una sola radice ξ nell’intervallo ]a,b[ (nel caso ci sia più di unaradice, la procedura che ora descriviamo vale sempre, e ci permette di calcolare una di queste radici).Il metodo delle bisezioni (detto anche metodo dicotomico) si chiama così perchè, ad ogni passo, vienedimezzato l’intervallo precedente, cercando in tal modo di racchiudere la radice ξ in sottointervalli semprepiù piccoli.G Si pone a 1 = a e b 1 = b. Si prende il punto medio dell’intervallo [a 1 ,b 1 ], c 1 = a 1 + b 1.G Se f (c 1 ) = 0 allora abbiamo trovato la radice dell’equazione, altrimenti si va a controllare il segno dif (c 1 ).– Se f (c 1 ) e f (a 1 ) hanno lo stesso segno, allora ξ si trova nell’intervallo ]c 1 ,b 1 [ (applicando di nuovoil teorema del Valore Intermedio). In tal caso porremo a 2 = c 1 e b 2 = b 1 .– Se, invece, f (c 1 ) e f (b 1 ) hanno lo stesso segno, allora ξ si trova nell’intervallo ]a 1 ,c 1 [ In tal casoporremo a 2 = a 1 e b 2 = c 1 .G Riapplichiamo questa procedura appena descritta sul sottointervallo [a 2 ,b 2 ]G Fermiamo il procedimento ad una certa iterazione n, se f (c n ) = 0 o se l’ampiezza del sottointervalloè sufficientemente piccola, cioè b n − a n≤ tol l dove tol l è una certa tolleranza prefissata. In tal caso2assumiamo c n come approssimazione della radice ξ.Osserviamo che, ad ogni passo, viene dimezzato l’intervallo in cui si trova la radice ξ, da cui|ξ − c n | ≤ b − a2 n .Da questa relazione, si può determinare il numero di iterazioni n necessarie per calcolare un’approssimazionedella radice ξ entro una certa tolleranza tol richiesta. InfattiMab − a2 n ≤ tol =⇒ |ξ − c n | ≤ tolb − a2 n ≤ tol ⇐⇒ 2 n ≥ b − a =⇒ n ≥tollog((b − a)/tol ).log(2)L’algoritmo di bisezione può essere descritto nel modo seguente (sotto forma di pseudo-codice). Se ilmetodo non converge (perchè, ad esempio, la funzione che abbiamo scelto non assume segno opposto agliestremi dell’intervallo), il procedimento iterativo potrebbe entrare in stallo (pensiamo ad un programma dafare eseguire al calcolatore) e quindi conviene introdurre un numero massimo di iterazioni, che viene indicatocon itmax.238

4.3. Metodo del Punto FissoFigura 4.1: Metodo delle BisezioniDati di input: a, b, tol , i tmaxDati di output: soluzione approssimata c o messaggio di fallimento1 verificare che f (a)f (b) < 0, altrimenti non si può implementare il metodo ;2 n ←− 1 ;3 c ←− (a + b)/2 ;4 scar to ←− |b − a|/2 ;5 Fintantochè n ≤ i tmax e ( f (c) ≠ 0 e scar to > tol )6 n ←− n + 1 (incrementa n) ;7 Se f (a)f (c) > 0 allora8 a ←− c9 altrimenti10 b ←− c11 Fine-Se12 aggiorna c ;13 aggiorna scar to ;14 Fine-Fintantochè15 Se f (c) = 0 o scar to ≤ tol allora16 c è la soluzione approssimata17 altrimenti18 n > i tmax ;19 il metodo è fallito dopo i tmax iterazioni ;20 Fine-Se4.3 Metodo del Punto FissoIl problema f (x) = 0 può essere reso equivalente alla ricerca del punto fisso di una opportuna funzione g(vale a dire del problema g (x) = x).( x) 2−sin(x) ( x) 2−sin(x)+xAd esempio, da f (x) == 0, aggiungendo ad ambo i membri x, otteniamo = x( 22x) 2da cui poniamo g (x) = − sin(x) + x. Le radici della f coincidono con i punti fissi della g .2Definizione 4.3.1 Data una funzione g , si definisce punto fisso della g , quel puntoξ che soddisfa la relazione g (ξ) = ξ39

4. ZERI DI FUNZIONEUna funzione può ammettere uno o più punti fissi o non ammetterne affatto.Un modo per calcolare un punto fisso di una funzione g è dato da iterazioni successive sulla funzione gstessa.Esempio 4.3.1 Supponiamo che la funzione g sia g (x) = cos(x). Prendiamo come valore iniziale x 0 = 1.Con una calcolatrice, andiamo a calcolare (in modalità radianti!) il suo coseno: ricaviamo x 1 = cos(x 0 ) =g (x 0 ) = 0.54030230. Successivamente, calcoliamo il coseno di x 1 , ottenendo x 2 = cos(x 1 ) = 0.857553216.Osserviamo che x 2 = cos(x 1 ) = cos(cos(x 0 )) e non cos 2 (x 0 )! Abbiamo innescato, in questo modo, un procedimentoiterativo per cui x n+1 = cos(x n ) = g (x n ). Con la calcolatrice, basta digitare sulla funzione cos ognivolta in modo da avere i nuovi valori della successione x n+1 . I primi numeri che otteniamo non sono moltoimportanti. Quelli importanti sono quelli che si hanno dopo 15, 30 o 100 passi. Nel nostro caso, abbiamon x n5 0.701368774611 0.735604740413 0.741425086614 0.737506890515 0.740147335629 0.739089341430 0.739082298556 0.739085133357 0.739085133258 0.7390851332Perchè i valori di x tendono a 0.7390851332? Cosa ha di speciale questo numero? È un punto fisso per lafunzione cos(x).Esempio 4.3.2 Consideriamo la funzione g (x) = 1 2 x + 2. Partendo da x 0 = 0 si han x n1 x 1 = 1 2 · 0 + 2 = 22 x 2 = 1 2 · 2 + 2 = 33 x 3 = 1 2 · 3 + 2 = 3.54 x 4 = 1 2 · 3.5 + 2 = 3.755 x 5 = 1 2 · 3.75 + 2 = 3.8756 x 6 = 1 2 · 3.875 + 2 = 3.9375I numeri 2, 3, 3.5, 3.75, 3.875, 3.9375 sembrano avvicinarsi a ξ = 4. Difatti, per valori crescenti di n, per x n1che tende a ξ, si ha, da una parte ξ = lim n→∞ x n+1 = lim n→∞2 x n + 2 = 1 2 ξ + 2 da cui, ξ = 1 ξ + 2, cioè ξ = 4.2Scopriamo quindi che se l’iterazione x n+1 = g (x n ) converge a ξ, ξ è punto fisso per la funzione g .Da un punto di vista geometrico, i grafici di y = x (bisettrice del primo e terzo quadrante) e di y = g (x) siintersecano in ξ.Tuttavia, non sempre questo schema iterativo, applicato a funzioni che ammettono uno o più punti fissi,40

4.3. Metodo del Punto Fissoconverge. Vediamo con un esempio.Esempio 4.3.3 Sia g (x) = x 2 . Analiticamente troviamo due punti fissi per questa funzione. Dovendo essereξ = ξ 2 , si ricava ξ 2 − ξ = 0, vale a dire ξ(ξ − 1) = 0: quindi ξ = 0 e ξ = 1 sono i due punti fissi per questafunzione.Partendo da x 0 = 0.5, si ha la successione di valori 0.25, 0.0625, 0.00390625, rapidamente il metodo convergea ξ = 0Se si prende come punto iniziale un valore x 0 ∈] − 1,1[, la successione converge a ξ = 0. Le sole successioniche convergono a ξ = 1 solo le ovvie successioni generate da x 0 = ±1. Se si prende come punto iniziale x 0 taleche |x 0 | > 1 allora lo schema iterativo x n+1 = x 2 n diverge a +∞. Partendo da x 0 = 2, si ha 4, 16, 256, 65536...Questo esempio è significativo per capire come ciascun punto fisso ξ abbia un proprio bacino di attrazione:se si prende x 0 in questo bacino, allora i valori x n tendono a ξ. Un punto fisso può dunque attirare orespingere i valori x n prodotti dallo schema iterativo.Prima di passare a studiare quando lo schema di punto fisso converge, cerchiamo di capire se, data unafunzione g , essa ammetta uno o più punti fissi o non ne ammetta affatto. Sia data una funzione continua gdefinita in un intervallo [a,b]. Se g (a) = a o g (b) = b allora essa ammette a e b come punti fissi. Supponiamoquindi che sia g (a) > a e g (b) < b. Definiamo la funzione continua Φ(x) mediante la relazioneΦ(x) = g (x) − xAllora Φ(a) = g (a) − a > 0 e Φ(b) = g (b) − b < 0. Per il Teorema del Valore Intermedio esiste almeno un puntoξ ∈]a,b[ tale che Φ(ξ) = 0, vale a dire g (ξ) − ξ = 0, cioè g (ξ) = ξ. Esiste almeno un punto fisso per la funzioneg .Questo risultato si può generalizzare nel seguente teorema.Teorema 4.3.1 Data una funzione g definita in [a,b], continua e tale che a ≤ g (x) ≤ b per ogni x ∈ [a,b], allorag ammette almeno un punto fisso.Infatti, dalle ipotesi, i valori della funzione g sono contenuti nell’intervallo [a,b] e, in particolare a ≤ g (a) ≤ be a ≤ g (b) ≤ b. Ci riconduciamo, quindi, a quanto abbiamo detto prima per dimostrare che esiste almeno unpunto fisso per g .Ora, oltre alle ipotesi precedenti (che ci assicurano l’esistenza del punto fisso) supponiamo che la g sia diclasse C 1 in [a,b] e che esista una costante m < 1 tale che |g ′ (x)| ≤ m < 1 per ogni x ∈ [a,b]. In questo caso ilpunto fisso per la g è unico.Che esista almeno un punto fisso è assicurato dal teorema precedente. Supponiamo, allora, che esistanodue punti fissi ξ e η, con ξ ≠ η, per la funzione g . Si ha|ξ − η| = |g (ξ) − g (η)|Applicando il teorema del Valor Medio, esiste un punto c compreso tra ξ e η per cui|g (ξ) − g (η)| = |g ′ (c)(ξ − η)| ≤ |g ′ (c)||ξ − η|Ma per ipotesi |g ′ (c)| ≤ m < 1 da cui|ξ − η| ≤ m|ξ − η| < |ξ − η|Si arriva ad una contraddizione. L’assurdo deriva dall’aver supposto ξ ≠ η. Quindi ξ = η e il punto fisso èunico. Riassumiamo questo risultato nel seguente teorema.Teorema 4.3.2 Data una funzione g di classe C 1 in [a,b], con a ≤ g (x) ≤ b per ogni x ∈ [a,b], e con |g ′ (x)| ≤m < 1 per ogni x ∈ [a,b] allora esiste ed è unico il punto fisso della g in tale intervallo.41

4. ZERI DI FUNZIONEOsserviamo che, data una funzione che ammette punto fisso, le ipotesi dei teoremi precedenti possono essererilassate in un intorno del punto fisso.Possiamo ora provare un teorema di convergenza per lo schema del punto fisso.Teorema 4.3.3 A partire da un punto iniziale x 0 , lo schema iterativo x n+1 = g (x n ) converge al punto fisso ξ dig se e solo se |g ′ (x)| < 1 in un intorno di ξ.Dimostrazione.Dalle relazioniξ = g (ξ)x n+1 = g (x n )sottraendo membro a membro e, applicando il teorema del Valore Medio (con ξ n un opportuno punto delsegmento che congiunge ξ a x n ), otteniamo:ξ − x n+1 = g (ξ) − g (x n ) = g ′ (ξ n )(ξ − x n )Possiamo scrivere questa relazione per n = 0,1,... ottenendoξ − x 1 = g ′ (ξ 0 )(ξ − x 0 )ξ − x 2 = g ′ (ξ 1 )(ξ − x 1 )ξ − x 3 = g ′ (ξ 2 )(ξ − x 2 ). = . . .ξ − x n = g ′ (ξ n−1 )(ξ − x n−1 )Moltiplicando, ora, membro a membro e prendendo i valori assoluti, abbiamo:|ξ − x 1 | · |ξ − x 2 | · ... · |ξ − x n | =|g ′ (ξ 0 )| · |g ′ (ξ 1 )| · |g ′ (ξ 2 )| · ... · |g ′ (ξ n−1 )| · |ξ − x 0 | · |ξ − x 1 | · ... · |ξ − x n−1 |La relazione appena trovata può essere semplificata, dividendo ambo i membri per |ξ − x 1 | · |ξ − x 2 | · ... ·|ξ − x n−1 | ottenendo:|ξ − x n | = |g ′ (ξ 0 )| · |g ′ (ξ 1 )| · |g ′ (ξ 2 )| · ·... · |g ′ (ξ n−1 )||ξ − x 0 |Assumiamo, ora che |g ′ (x i )| ≤ m per i = 0,1,...,n − 1. Abbiamo dunque una relazione che lega l’errore alpasso n con l’errore iniziale.|ξ − x n | ≤ m n |ξ − x 0 |Perchè il metodo converga, l’errore deve tendere a zero per n che tende all’infinito. Se m < 1 è assicurata laconvergenza (quindi, se in un intorno del punto fisso, la derivata prima è minore di 1, lo schema converge).Se invece m > 1 in un intorno del punto fisso, lo schema non può convergere al punto fisso.Se vale m = 1 nulla si può dire a priori, ma bisogna vedere caso per caso cosa succede nell’intorno delpunto fisso. ✔Negli esempi precedenti:42g (x) g ′ (x)cos(x) −sin(x)12 x + 2 12x 2 2x

4.3. Metodo del Punto FissoFigura 4.2: Il metodo di punto fisso: esempi con g (x) = cos(x) (a sinistra), e g (x) = 1 x + 2 (a destra)2Nel primo caso (esempio 4.3.1) −sin(0.7390851332) = −0.673612, perciò in un intorno del punto fisso laderivata è minore di 1 in valore assoluto e si ha convergenza.Nell’esempio 4.3.2 g ′ (x) = 1 qualunque sia x: si ha convergenza.2Nel terzo caso (esempio 4.3.3), g ′ (x) = 2x da cui g ′ (0) = 0 e g ′ (1) = 2. In un intorno del primo punto fisso,vale m < 1, in un intorno del secondo punto fisso m > 1 e non si potrà mai avere convergenza ad esso.Il bacino di attrazione si ha quindi se vale m < 1.Da un punto di vista grafico, le iterazioni dello schema di punto fisso si possono vedere sotto forma diragnatela. Le iterazioni, infatti, si muovono avanti e indietro tra il grafico della y = g (x) e il grafico dellabisettrice y = x. L’esempio 4.3.1, con g (x) = cos(x), è rappresentato in Figura 4.2 (a sinistra): partendo da(x 0 , x 0 ) sulla retta y = x, applicando l’algoritmo si ha x 1 = g (x 0 ). Perciò:G da (x 0 , x 0 ) si va su o giù fino a raggiungere (x 0 , x 1 ) sulla curva g ;G da (x 0 , x 1 ) si arriva a (x 1 , x 1 ) sulla bisettrice y = x.Questi due passi vengono ripetuti per tutte le altre iterazioni. Da x 1 si arriva sulla curva a g (x 1 ). Ora l’altezzaè x 2 . Da qui si va sulla bisettrice al punto (x 2 , x 2 ). E così via. Lo scopo delle iterazioni, infatti, è di arrivare alpunto (ξ,ξ) ≈ 0.7390851332 che è il punto di intersezione tra il grafico di g e la bisettrice y = x. Osserviamoche, per questo esempio, i valori della successione si avvicinano a ξ muovendosi a destra e a sinistra rispettoad esso. Si parla di convergenza oscillante.Nell’esempio 4.3.2, si devono intersecare due linee rette. Notiamo, anche dalla Figura 4.2 (a destra), che ivalori delle iterazioni si trovano tutti da un lato rispetto al punto fisso: si parla di convergenza monotona.In generale, quando 0 ≤ g ′ (x) < 1 in un intorno del punto fisso, si ha convergenza monotona. Se, invece,−1 < g ′ (x) < 0 in un intorno del punto fisso, si ha convergenza oscillante.Analogamente, in Figura 4.3, si possono osservare le conclusioni già viste per l’esempio 4.3.3, in cui g (x) =x 2 : si ha convergenza monotona verso ξ = 0 partendo da un punto iniziale in valore assoluto minore di uno,e divergenza monotona a infinito, partendo da |x 0 | > 1.Esempio 4.3.4 Consideriamo ora g (x) = x−sin(x) nell’intervallo [0,2π]. Data la periodicità della funzioneseno, g ammette più di un punto fisso. Infatti da ξ = ξ − sin(ξ) si ha 0 = sin(ξ) da cui ξ = 0, ξ = π e ξ = 2π.Studiamo ora la derivata prima g ′ (x) = 1 − cos(x). Si ha g ′ (0) = 1 − 1 = 0, g ′ (π) = 1 − (−1) = 2 e g ′ (2π) =1−1 = 0. Da queste informazioni, deduciamo che qualunque sia il punto iniziale x 0 la successione generatadallo schema del punto fisso non potrà mai convergere a π, come si vede anche dalla Figura 4.4.Nel caso in cui il metodo di punto fisso converge, si possono ricavare delle maggiorazioni per l’errore chesi commette approssimando ξ mediante x n .43

4. ZERI DI FUNZIONEFigura 4.3: Il metodo di punto fisso: esempio con g (x) = x 2 . Si noti la convergenza monotona a ξ = 0 (asinistra) e la divergenza monotona da ξ = 1 (a destra)Figura 4.4: Il metodo di punto fisso: esempio con g (x) = x − sin(x). ξ = 0 e ξ = 2π sono punti fissi attrattivi, alcontrario di ξ = π in cui g ′ (ξ) = g ′ (π) = 2Infatti, possiamo scrivere l’errore ξ − x n nel modo seguente:ξ − x n = g (ξ) − g (x n−1 )Applicando il teorema del valor medio e considerando, come prima, |g ′ (x)| ≤ m < 1 in un intorno del puntofisso, si ha:|ξ − x n | ≤ m|ξ − x n−1 | (4.1)Possiamo scrivere ξ − x n−1 nel modo seguente aggiungendo e sottraendo x n :ξ − x n−1 = ξ − x n + x n − x n−1ξ − x n−1 = g (ξ) − g (x n−1 ) + x n − x n−1|ξ − x n−1 | ≤ m|ξ − x n−1 | + |x n − x n−1 |(1 − m)|ξ − x n−1 | ≤ |x n − x n−1 ||ξ − x n−1 | ≤ 11 − m |x n − x n−1 |44Andando a sostituire questa maggiorazione nella disuguaglianza (4.1), si ha|ξ − x n | ≤ m1 − m |x n − x n−1 |

4.4. Il Metodo di Newton-RaphsonAbbiamo così trovato una maggiorazione dell’errore che lega l’errore al passo n con il valore assoluto delladifferenza tra due iterazioni successive |x n − x n−1 | (quest’ultima quantità prende il nome di scarto).Generalmente, per vedere se il metodo di punto fisso converge al punto fisso entro una certa tolleranzaprestabilita, il controllo da fare è proprio sullo scarto d n = |x n − x n−1 |. Sfruttiamo questo fatto per vederecome implementare l’algoritmo dello schema di punto fisso (sotto forma di pseudo-codice; per i dettaglisull’implementazione in Fortran si vada a pag. 170):Dati di input: x 0 , tol ,i tmaxDati di output: x n soluzione approssimata o messaggio di fallimento1 n ←− 1 contatore delle iterazioni;2 d n ←− 2tol (una quantità iniziale > tol ) ;3 Fintantochè n ≤ i tmax e d n > tol4 incrementa n di 1;5 applicare l’algoritmo di punto fisso x n = g (x n−1 ) ;6 aggiorna d n ;7 Fine-Fintantochè8 Se d n ≤ tol allora9 x n è la soluzione approssimata10 altrimenti11 n > i tmax ;12 il metodo è fallito dopo i tmax iterazioni ;13 Fine-Se4.4 Il Metodo di Newton-RaphsonIl metodo di Newton-Raphson 1 è uno dei metodi più potenti e più famosi per risolvere equazioni non lineari.Ci sono diversi approcci per introdurre questo metodo – tra questi c’è anche quello di vedere il metododi Newton-Raphson come un particolare schema di punto fisso, come vedremo in seguito.Supponiamo ora che la derivata prima e seconda di f esistano e siano continue e assumiamo che laderivata prima f ′ sia valutabile con sufficiente facilità.Lo schema di Newton-Raphson è uno schema iterativo che produce una successione di approssimazionix 0 , x 1 ,..., x n della radice della funzione f .Sia x n l’iterata corrente. Applicando la formula di Taylor di centro x n si ha:f (x) = f (x n ) + f ′ (x n )(x − x n ) + f ′′ (ξ x )(x − x n ) 2 /2dove ξ x è un punto (che non conosciamo) compreso tra x e x n .Sia x = ξ, dove ξ è radice di f , f (ξ) = 0. Se f fosse lineare, avremmo f ′′ ≡ 0 e quindi potremmo trovare laradice risolvendo direttamente0 = f (ξ) = f (x n ) + f ′ (x n )(ξ − x n )ottenendo, con semplici passaggi,ξ = x n − f (x n)f ′ (x n )1 Il metodo fu descritto da Isaac Newton in due suoi scritti del 1669 e del 1671, anche se era riferito solo a polinomi (in particolare ax 3 − 2x − 5 = 0). Il metodo di Newton fu pubblicato per la prima volta nel 1685. Nel 1690 Joseph Raphson ne pubblicò una descrizionesemplificata in termini di approssimazioni successive x n piuttosto che di sequenze di polinomi. Fu solo nel 1740 che Thomas Simpsondescrisse il metodo di Newton come un metodo iterativo per risolvere equazioni non lineari (e non solo polinomi) e diede una versionegeneralizzata per sistemi di due equazioni.Isaac Newton (1643-1727), inglese, fu fisico, matematico, astronomo, alchimista, inventore, filosofo naturalista. È visto come uno deipiù grandi scienzati nella storia dell’umanità.Su Joseph Raphson (1648-1715) non si hanno molti dettagli. Pare che Newton stesso gli permettesse di vedere e studiare i suoi scrittimatematici. Il suo lavoro del 1690 Analysis aequationum universalis gli valse l’ingresso nella Royal Society, nel 1691 benchè fosse unostudente (si laureò nel 1692) piuttosto anziano (aveva 43 anni).45

4. ZERI DI FUNZIONEPer una funzione non lineare, il discorso da fare è molto simile.La nuova approssimazione x n+1 vogliamo che sia uguale al valore x n più una certa quantità h che cipermetta di arrivare alla soluzione desiderata.Applicando la formula di Taylor di centro x n , deve esseref (x n+1 ) = f (x n + h) = f (x n ) + f ′ (x n )h + f ′′ (ξ h )h 2 /2Vogliamo che sia f (x n+1 ) = 0, da cui, trascurando il termine in h 2 , ricaviamoh = − f (x n)f ′ (x n )Utilizziamo questo valore di h per la nuova approssimazione x n+1 = x n + h mediante la formulax n+1 = x n − f (x n)f ′ , n = 0,1,2,... (4.2)(x n )L’interpretazione geometrica del metodo di Newton è che x n+1 è l’intercetta, sull’asse delle x, dellatangente della f a x n (vedi figura 4.5).Figura 4.5: Il metodo di Newton-Raphson applicato alla funzione f (x) = (x/2) 2 − sin(x) con x 0 = 1.3Lo schema di Newton-Raphson si può vedere come un caso particolare dello schema del punto fisso applicatoalla funzione g (x) = x − f (x)/f ′ (x). Perchè lo schema del punto fisso converga, deve essere |g ′ (x)| < 1in un intorno di ξ. Nel caso specifico abbiamo:|g ′ (x)| = |1 − f ′ (x) 2 − f (x)f ′′ (x)f ′ (x) 2 | = | f (x)f ′′ (x)f ′ (x) 2 |Supponendo f ′ (ξ) ≠ 0 (che è il caso in cui la radice non è multipla), si ha |g ′ (ξ)| = 0, poichè al numeratoref (ξ) = 0 (essendo ξ radice della f ). Per continuità, allora, vale |g ′ (x)| < 1 in un intorno di ξ. Pertanto il metododi Newton-Raphson è generalmente convergente.46

4.5. Convergenza di un metodo iterativoPer vedere come si riduce l’errore via via che le approssimazioni si avvicinano a ξ, consideriamo l’errorecambiato di segno ɛ n , per cui x n = ξ + ɛ n . Sostituendo in (4.2) abbiamoɛ n+1 + ξ = ɛ n + ξ − f (ξ + ɛ n)f ′ (ξ + ɛ n )ɛ n+1 = ɛ n − f (ξ + ɛ n)f ′ (ξ + ɛ n )Applicando la formula polinomiale di Taylor sia su f sia su f ′ di centro ξ, si ha:ɛ n+1 = ɛ n − f (ξ) + ɛ n f ′ (ξ) + ɛ 2 n f ′′ (ξ)/2 + ...f ′ (ξ) + ɛ n f ′′ (ξ) + ...Poichè f (ξ) = 0, raccogliendo i termini si ricava:ɛ n+1 = ɛ n f ′ (ξ) + ɛ 2 n f ′′ (ξ) − ɛ n f ′ (ξ) − ɛ 2 n f ′′ (ξ)/2 + ...f ′ (ξ) + ɛ n f ′′ (ξ) + ...= ɛ2 n f ′′ (ξ)/2 + ...f ′ (ξ) + ɛ n f ′′ (ξ) + ...Trascurando i termini ɛ n f ′′ (ξ)+... al denominatore e le potenze maggiori o uguali a ɛ 3 n al numeratore si trova:ɛ n+1 = f ′′ (ξ)2f ′ (ξ) ɛ2 n = Aɛ2 nponendo A = f ′′ (ξ)2f ′ (ξ) .L’ultima relazione che abbiamo ottenuto ci dice che l’errore al passo n + 1 è proporzionale, secondo ilfattore A, al quadrato dell’errore al passo precedente. Perciò se partiamo da un errore iniziale dell’ordinedi 10 −2 , al passo successivo l’errore è proporzionale a 10 −4 e poi a 10 −8 fino a 10 −16 in tre sole iterazioni. Ilnumero delle cifre significative raddoppia ad ogni passo del metodo. Si parla di convergenza quadratica.Nel caso in cui ξ sia una radice multipla, allora f ′ (ξ) = 0 allora A = ∞: se il metodo converge, la convergenzanon sarà più quadratica ma avremo una convergenza di tipo lineare, come vedremo meglio inseguito.Se in ξ vi è un punto di flesso, non orizzontale, per cui f (ξ) = 0, f ′ (ξ) ≠ 0, f ′′ (ξ) = 0, allora A = 0 e ciaspettiamo una convergenza superiore a quella quadratica.Sullaconvergenza4.5 Convergenza di un metodo iterativoUn metodo iterativo si dice:G linearmente convergente se esiste una costante M < 1 tale che, per n sufficientemente grande, vale|x n+1 − ξ| ≤ M|x n − ξ|G a convergenza quadratica se esiste una costante M tale che, per n sufficientemente grande, vale|x n+1 − ξ| ≤ M|x n − ξ| 2G a convergenza superlineare se esiste una successione di costanti M n → 0 tale che, per nsufficientemente grande, vale|x n+1 − ξ| ≤ M n |x n − ξ|.In generale un metodo ha ordine di convergenza p se si possono definire due costanti p ≥ 1 e M > 0 taliche|x n+1 − ξ|limn→∞ |x n − ξ| p = M 47

4. ZERI DI FUNZIONELa costante M prende il nome di costante asintotica dell’errore o fattore di convergenza.Nel caso del metodo di Newton-Raphson, generalmente vale p = 2 e la costante asintotica dell’errore èquella che abbiamo definito come A presa in valore assoluto, cioè M =f ′′ (ξ∣2f ′ (ξ)∣ .Nel metodo del punto fisso, la convergenza è lineare. Infatti, considerando l’errore cambiato di segno, larelazione x n+1 = g (x n ) si può scrivere, in modo equivalente, comeξ + ɛ n+1 = g (ξ + ɛ n ) e, applicando la formula (polinomiale) di Taylor si haξ + ɛ n+1 = g (ξ) + ɛ n g ′ (ξ) + ...ξ + ɛ n+1 = ξ + ɛ n g ′ (ξ) + ...ɛ n+1 = ɛ n g ′ (ξ) + ... e, al limite per n → ∞ɛ n+1 = g ′ (ξ)ɛ nLa costante asintotica per lo schema di punto fisso vale, dunque, M = |g ′ (ξ)|.Il metodo delle bisezioni, invece, può essere visto come un metodo lineare, con M = 1 2 (considerandoche, ad ogni passo, si riduce della metà l’intervallo in cui viene cercata l’approssimazione della radice).Esempio 4.5.1 Consideriamo l’equazione f (x) = 2x − cos(x) + 1 = 0 che ammette come unica radice ξ = 0.Poichè f ′ (x) = 2 + sin(x), il metodo di Newton-Raphson diventa:x n+1 = x n − 2x n − cos(x n ) + 12 + sin(x n )Partendo da x 0 = 0.5 e richiedendo una tolleranza pari a 10 −10 nei risultati (interrompiamo l’algoritmoquando d n < 10 −10 ), si ha:I valori generati dall’algoritmo tendono a ξ = 0.n x n d n0 0.51 0.4730746270E-01 0.4526925E+002 0.5462695134E-03 0.4676119E-013 0.7458221874E-07 0.5461949E-034 0.1395426403E-14 0.7458222E-075 0.7647622253E-17 0.1387779E-14Considerando che f ′′ (x) = cos(x) possiamo valutare la costante asintotica M = |f ′′ (ξ)|2|f ′ (ξ)| = |cos(ξ)|2(|2 + sin(ξ)|) =14 = 0.25Da un punto di vista teorico, applicando il teorema del valor medio, si haf (ξ) − f (x n ) = f ′ (ξ n )(ξ − x n )dove ξ n è un punto, che non conosciamo, compreso tra ξ e x n . Per x n vicino a ξ possiamo considerareξ n ≈ x n , da cui ricaviamo (essendo f (ξ) = 0):−f (x n ) ≈ f ′ (x n )(ξ − x n ). Sostituendo questa espressione nell’iterazione di Newton-Raphson si ha:x n+1 = x n − f (x n)f ′ (x n ) ≈ x n + (ξ − x n )vale a direx n+1 − x n = ξ − x n cioè d n+1 = ɛ nMa in condizioni di convergenza, d n+1 < d n da cui, per l’errore, vale la maggiorazione ɛ n < d n .48

4.6. Complessità computazionale di uno schemaPerciò gli scarti sono molto vicini agli errori e possono essere utilizzati sia per controllare il numero diiterazioni da effettuare per approssimare la radice entro una certa tolleranza sia per approssimare M.Nel nostro esempiod 2(d 1 ) 2 = 0.2282 d 3(d 2 ) 2 = 0.2498 d 4(d 3 ) 2 = 0.2500 d 5(d 4 ) 2 = 0.24954.6 Complessità computazionale di uno schemaUn altro elemento da considerare per valutare l’efficienza numerica di uno schema iterativo è la sua complessitàcomputazionale. Un metodo, infatti, può avere un elevato ordine di convergenza ma avere anche uncosto computazionale molto elevato. Viceversa, un metodo può avere un basso ordine di convergenza maessere anche semplice computazionalmente e, quindi, molto vantaggioso da questo punto di vista.Si definisce indice di efficienza E dello schema iterativo la quantitàE = p 1/sdove s indica il numero di volte in cui bisogna calcolare la funzione e la sua derivata prima ad ogni iterazionee p è l’ordine di convergenza del metodo.4.7 Il metodo delle secantiLa conoscenza della derivata prima della f per applicare il metodo di Newton-Raphson potrebbe esseresemplice ma a volte potrebbe rivelarsi un’operazione molto costosa e alquanto complicata.Il metodo delle secanti è una variante del metodo di Newton-Raphson dove, al posto della derivata prima,si considera una sua approssimazione.Scriviamo la formula ricorsivax n+1 = x n − f (x n)C nPer C n = f ′ (x n ) abbiamo la formula di Newton-Raphson, che possiamo anche chiamare della tangentevariabile perchè è il coefficiente angolare della retta tangente a (x n , f (x n )) che interseca l’asse delle x in x n+1 .Vediamo altre scelte di C n :G C n = f ′ (x 0 ) il valore di C n è costante e dà vita al metodo della tangente fissa.G C n = f (x 1) − f (x 0 ): abbiamo sempre una costante che approssima la derivata f ′ (x 0 ) utilizzando i valorix 1 − x 0di x 1 e x 0 . Lo schema è detto della secante fissa.G C n = f (x n) − f (x n−1 ). La derivata f ′ (x n ) è approssimata utilizzando il rapporto incrementale della fx n − x n−1valutata in x n e x n−1 . Abbiamo il metodo delle secante variabile, che chiameremo nel seguito anchemetodo 2 della Regula Falsi.In forma estesa, l’iterazione n + 1 della Regula Falsi si scrive come:x n+1 = x n − f (x n)(x n − x n−1 )f (x n ) − f (x n−1 )49

4. ZERI DI FUNZIONEFigura 4.6: Il metodo della Regula Falsi applicato alla funzione f (x) = (x/2) 2 − sin(x) con x 0 = 1.3 e x 1 = 1.35Notiamo che, per innescare il metodo occorrono due valori iniziali, x 0 e x 1 . Ma è richiesta solo lavalutazione della funzione f a ciascun passo (nessuna conoscenza della derivata prima).Da un punto di vista geometrico, nel metodo delle secanti il valore x n+1 è dato dall’intercetta sull’assedelle x della retta passante per x n , f (x n ) e x n−1 , f (x n−1 ). Per quanto riguarda l’accumulo degli errori di arrotondamento,conviene utilizzare la formula così come è stata scritta in quanto è più sicura rispetto alla formacompatta in cui vengono raccolti i termini, data dax n+1 = x n−1 f (x n ) − x n f (x n−1 )f (x n ) − f (x n−1 )in quanto in quest’ultima, si può avere il fenomeno della cancellazione numerica per x n ≈ x n−1 ef (x n )f (x n−1 ) > 0.Per quanto riguarda l’ordine di convergenza si può dimostrare che si ha convergenza superlineare poichèvale la relazioneɛ n+1 = Adove p = 1 + 52pp + 1 ɛpnɛ n+1 = A 0.618 ɛ 1.618n= 1.618 e A è la costante asitontica del metodo di Newton-Raphson, da cui4.8 Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula FalsiSebbene il metodo di Newton-Raphson abbia ordine di convergenza più elevato della Regula Falsi,quest’ultimo è computazionalmente più efficiente. Si ha infattiMetodo p s ENewton-Raphson 2 2 2 ≈ 1.414Regula Falsi 1.618 1 1.6182 Attenzione! In letteratura viene descritto un altro metodo (simile ma non lo stesso) con il nome della Regula Falsi o Falsa Posizioneche genera i valori x n+1 in modo che la radice ξ sia sempre compresa tra le iterazioni successive.50

4.8. Confronto tra i metodi di Newton-Raphson e la Regula FalsiVediamo ora come applicare i due metodi e le differenze che si hanno.Esempio 4.8.1 Consideriamo la funzione f (x) = 0 con f (x) = (x/2) 2 − sin(x). La derivata prima è f ′ (x) =(x/2) − cos(x) Consideriamo come x 0 = 1.3 per entrambi i metodi e x 1 = 1.35 per la Regula Falsi. Comecriterio di arresto, consideriamo una tolleranza tol = 1.e − 8, cioè andremo avanti con le iterazioni fino aquando troveremo che lo scarto d n = |x n − x n−1 | sarà minore di tol. Otteniamo i seguenti risultati per ilmetodo di Newton-RaphsonPer la Regula Falsi:n x n f (x n ) f ′ (x n ) d n d n /dn−120 1.3 -0.541058185 0.3825011711 2.714526871831 1.42796213 2.26744846 1.414526872 2.084760792766 0.215754599 1.53401376 0.629766079 0.3147435653 1.944113685369 0.0137718957 1.33676314 0.140647107 0.354627394 1.933811265085 7.60156095E-05 1.32199993 0.0103024203 0.5208080085 1.933753764621 2.37200355E-09 1.32191743 5.7500464E-05 0.5417423966 1.933753762827 -1.00668172E-16 1.79436599E-09 0.542710632n x n f (x n )f (x n ) − f (x n−1 )d n d n /dx n − x n−11.618n−10 1.3 -0.5410581851 1.35 -0.520098358 0.4191965522 2.590702853065 1.15448972 1.34970922 1.240702853 1.735341043061 -0.233640901 1.62285784 0.85536181 0.6033862154 1.879309845941 -0.0698346071 1.1377902 0.143968803 0.1853744735 1.940687248331 0.00919996444 1.28768192 0.0613774024 1.412310766 1.933542654410 -0.000279035921 1.32673746 0.00714459392 0.6531002157 1.933752971771 -1.04570967E-06 1.3217654 0.000210317362 0.6239352398 1.933753762918 1.19824825E-10 1.32191686 7.91146198E-07 0.7044414559 1.933753762827 -1.00668172E-16 9.0644825E-11 0.676026603Attraverso gli scarti, abbiamo fatto una stima della costante asintotica dell’errore, considerando che, allimite per k → ∞, x n → ξ. Le ultime colonne delle tabelle, infatti, valutano i rapporti d n /dn−1 2 e d n/dn−1 1.618.Diamo un’ulteriore stima di tali costanti facendo uso della definizione teorica e considerando ξ ≈ x n .Per il metodo di Newton-Raphson dobbiamo calcolare M = |f ′′ (ξ)|2|f ′ mentre per la Regula Falsi dobbiamo(ξ)|considerare il valore M 0.618 .Poichè f ′′ (x) = 1/2+sin(x), abbiamo, per ξ ≈ x 6 (di Newton-Raphson) o, equivalentemente per ξ ≈ x 9 (dellaRegula Falsi), in pratica ξ ≈ 1.933753762827, f ′ (ξ) = 1.32191743 e f ′′ (ξ) = 1.4348509. Otteniamo quindi:M ≈ 0.542715784 e M 0.618 ≈ 0.685434221Esempio 4.8.2 Sia data f (x) = sin(x). Nell’intervallo ] − π/2,π/2[ la f ha esattamente una radice, ξ = 0.Il metodo di Newton applicato alla funzione f , diventa:x n+1 = x n − tan(x n ), n = 0,1,2,...Se scegliamo come valore iniziale x 0 = x ∗ tale che tan(x ∗ ) = 2x ∗ , allora x 1 = −x 0 , x 2 = −x 1 = x 0 ... Si ha unasituazione di stallo: i valori della successione saranno, alternativamente, x ∗ e −x ∗ e non avremo convergenzaalla radice ξ = 0. Il valore critico x ∗ vale 1.165561185207 e lo si può trovare numericamente applicandoil metodo del punto fisso a alla funzione g (x) = arctan(2x).a Se si considera g (x) = tan(x)/2 si trova il punto fisso 0 in quanto g ′ (x ∗ ) > 1 per g (x) = tan(x)/2.51

4. ZERI DI FUNZIONEVediamo dunque cosa accade applicando il metodo di Newton-Raphson e la Regula Falsi utilizzando comex 0 = x ∗ ( e x 1 = −x 0 nella Regula Falsi). Facciamo i conti in singola precisione a , richiedendo un’accuratezzadell’ordine ɛ = 10 −8 .Abbiamo le seguenti tabelle.Per Newton-RaphsonPer la Regula Falsi:n x n f (x n ) f ′ (x n ) d n0 1.1655612 0.919009745 0.3942348661 -1.1655612 -0.919009745 0.394234866 2.33112242 1.1655612 0.919009745 0.394234866 2.33112243 -1.1655612 -0.919009745 0.394234866 2.3311224...n 1.1655612 0.919009745 0.394234866 2.3311224n+1 -1.1655612 -0.919009745 0.394234866 2.3311224n x n f (x n )f (x n ) − f (x n−1 )x n − x n−1d n0 1.1655612 0.9190097451 -1.1655612 -0.919009745 0.7884697322 0.000000024087 0.000000024087 0.788469732 1.16556123 -0.000000006462 -0.000000006462 3.05485912E-08 2.38417108E-084 0.000000000000 0.0000000000000 6.46195142E-09Poche iterazioni sono necessarie perchè la Regula Falsi converga alla soluzione esatta.Perchè il metodo di Newton-Raphson converga il valore iniziale x 0 deve essere scelto tale che |x 0 | < x ∗ .a Lavorando in doppia precisione non si riesce a osservare il comportamento ciclico ma si ha convergenza o divergenza aseconda che si abbia un’iterata |x k | < o > x ∗ ...QuandoNewton-Raphson dàrisultatiscarsiQuesto esempio ci permette di capire il significato di metodo generalmente convergente e il fatto che le proprietàdi convergenza di un metodo possono valere localmente, cioè quando si è sufficientemente vicini allaradice.Da un punto di vista pratico occorre prestare molta attenzione anche alla scelta del punto iniziale per ilmetodo di Newton-Raphson. Dal momento che la formula richiede una divisione per f ′ (x n ), occorre evitaredi prendere un punto iniziale in cui la f abbia una tangente (e quindi f ′ ) con pendenza vicina allo zero. In talcaso, infatti, ci si può allontanare dalla radice e il metodo può non convergere.Esempio 4.8.3 Consideriamo f (x) = x 5 − 6, per la quale f ′ (x) = 5x 4 , il cui grafico è in Figura 4.7 (a destra).Se partiamo da un punto iniziale prossimo allo zero, poichè la tangente alla f è quasi orizzontale, non siriesce ad avere convergenza se non dopo molte iterazioni: partendo da x 0 = 0.01 e richiedendo una tolleranza10 −8 , sono necessarie 88 iterazioni per arrivare a ξ = 1.430969081115725849. Vediamo in tabella, comecambia il numero delle iterazioni al variare di x 0 :x 0 0.05 0.1 0.5 0.8 1.0 1.4 1.5 2. 3. 10. 20. 100.iterazioni 59 46 18 10 7 4 4 6 8 14 17 2452

4.9. Metodo di Newton-Raphson per radici multipleFigura 4.7: Il metodo di Newton-Raphson applicato alla funzione f (x) = sin(x) con x 0 = x ∗ (a sinistra). Lafunzione f (x) = x 5 − 6 (a destra)4.9 Metodo di Newton-Raphson per radici multipleDefinizione 4.9.1 Data una funzione f (x) = 0, una radice ξ è multipla di molteplicità r se vale: f (ξ) = f ′ (ξ) =... = f r −1 (ξ) = 0 e f r (ξ) ≠ 0.Quando si ha una radice multipla, il metodo di Newton-Raphson diventa un metodo del primo ordine inquanto la formula che lega l’errore al passo n + 1 con l’errore al passo n diventa 3 :ɛ n+1 = r − 1 ɛ nrda cui la costante asintotica è M = r − 1 . Per poter avere un metodo che sia di nuovo a convergenzarquadratica, occorre modificare l’algoritmo, ottenendo la formula di Newton-Raphson modificata, nel modoseguente:x n+1 = x n − r f (x n)f ′ (x n )4.10 Controllo sugli scarti e grafici di convergenzaDa un punto di vista pratico, il controllo per verificare la convergenza o meno della successione x n generatadallo schema iterativo viene effettuato sullo scarto d n = |x n − x n−1 | piuttosto che sull’errore ɛ n = |ξ − x n |,poichè, se avessimo informazioni sull’errore, conosceremmo anche il valore di ξ (che, in generale, non ènoto).Nel caso del metodo di Newton-Raphson, quando è di ordine 2, abbiamo visto che il controllo sullo scartova bene (si veda quanto detto a pag. 49).Vediamo cosa succede per metodi lineari. Sia tol l la tolleranza richiesta per approssimare ξ utilizzandogli scarti. Sappiamo che, per n grande e se il metodo converge, vale la relazioneɛ n+1 ≈ Mɛ ndove M < 1 è la costante asintotica.3 Il procedimento da seguire è del tutto simile a quanto è stato fatto nell’ipotesi in cui f ′ (ξ) ≠ 0. Come esercizio, si consiglia di provarea ricavare questo risultato.53

4. ZERI DI FUNZIONERiscriviamo la precedente formula come:|ξ − x n+1 | ≈ M|ξ − x n | = M|ξ − x n + x n+1 − x n+1 | ≤ M (|ξ − x n+1 | + |x n+1 − x n |)Quindiɛ n+1 ≤ M(ɛ n+1 + d n+1 )(1 − M)ɛ n+1 ≤ Md n+1Supponendo d n+1 ≤ tol l, valeɛ n+1 ≤M1 − M d n+1 ≤ M1 − M tol lMPerciò, per1 − M < 1 (quindi per M < 1/2), se d n+1 ≤ tol l anche ɛ n+1 ≤ tol l. Se, invece, M ≥ 1/2, alloral’errore può essere più grande della tolleranza richiesta.Per quanto riguarda il metodo della secante variabile, poichè è superlineare, in base alla definizione,ɛ n+1 ≈ M n+1 ɛ n con M n+1 → 0, perciò si può vedere come un caso limite di convergenza lineare con fattore diconvergenza che tende a zero, e quindi il controllo dello scarto permette un buon controllo dell’errore.Quando si implementa un metodo iterativo, si può fare il grafico semilogaritmico di convergenza delmetodo, ponendo sull’asse delle ascisse i valori delle iterazioni e sull’asse delle ordinate i logaritmi (in base10) degli scarti.Asintoticamente possiamo sostituire l’errore con lo scarto, nella definizione di ordine di convergenza diun metodo, per cui d n ≈ Md p n−1 .Nel caso in cui p = 1, si ha:d n ≈ Md n−1d n−1 ≈ Md n−2d n−2 ≈ Md n−3. . . .d 2 ≈ Md 1d 1 ≈ Md 0Partendo ora dalla prima relazione abbiamo:d n ≈ Md n−1 ≈ M 2 d n−2 ≈ M 3 d n−3 ≈ ... ≈ M n d 0Troviamo una relazione tra d n e d 0 . Passando ai logaritmi:log 10 (d n ) = n log 10 (M) + log 10 (d 0 )Abbiamo un’equazione del tipo y = ax + b dove y = log 10 (d n ) e x = n, che rappresenta l’equazione della rettanel nostro grafico semilogaritmico, e la pendenza della retta vale a = log 10 (M). Dalla pendenza della rettapossiamo dunque risalire al valore della costante asintotica M.Nel caso in cui p ≠ 1 il discorso si fa più complicato (e non staremo qui ad analizzarlo nei dettagli). Peresempio, per p = 2, si trova una curva che dipende da 2 n .54

4.11. EserciziEsempio 4.10.1 In Figura 4.8, riportiamo un esempio di grafico con i profili di convergenza per i metodidi Newton-Raphson, secante variabile e punto fisso per trovare lo zero della funzione f (x) = x + ln(x)(applicando lo schema di punto fisso alla funzione g (x) = e −x ).Figura 4.8: Profili di convergenza a confronto4.11 EserciziEsercizio 4.11.1 Si vuole risolvere l’equazione x = g (x) con lo schema del punto fisso; sapendo cheg (x) = x 2 − 5x + 9(a) calcolare analiticamente il valore del punto fisso;(b) determinare il fattore di convergenza M dello schema del punto fisso;(c) calcolare le approssimazioni x 1 , x 2 e x 3 partendo prima da x 0 = 1 e poi da x 0 = 2.5 e giustificandoneil diverso comportamento.Svolgimento(a) ξ è punto fisso della funzione g se verifica g (ξ) = ξ.Imponiamo dunque la condizione g (ξ) = ξ. Ricaviamo ξ 2 − 5ξ + 9 = ξ, ovvero ξ 2 − 6ξ + 9 = 0, cioè(ξ − 3) 2 = 0, da cui ξ = 3 è punto fisso della g .55

4.11. EserciziInoltre f è continua, quindi ammette almeno una radice nell’intervallo dato. La derivata prima è:f ′ (x) = 1 x + 2x − 1, che possiamo anche scrivere come f ′ (x) = 1 + 2x2 − x: numeratore e denominatorexsono entrambi sempre positivi nell’intervallo dato, (la parabola 2x 2 − x + 1 ha discriminante negativo∆ = −7, di conseguenza, per ogni x reale si ha 2x 2 − x + 1 > 0). Da f ′ (x) > 0 per ogni x segue che f ècrescente e, quindi, ammette un’unica radice.(b) Applichiamo il metodo delle bisezioni a partire dall’intervallo dato (utilizziamo la notazione x s perindicare l’estremo sinistro dell’intervallo, x d per indicare l’estremo destro dell’intervallo, x c , il puntomedio dell’intervallo considerato):iter. x s f (x s ) segno x d f (x d ) segno x c f (x c )1 0.7 -0.566674944 - 2.3 3.822909123 + 1.5 1.1554651082 0.7 -0.566674944 - 1.5 1.155465108 + 1.1 0.205310180Il valore x 0 è dunque x 0 = 1.1.(c) Il metodo di Newton-Rapshon è x k+1 = x k − f (x k)f ′ (x k ) dove f ′ = 1/x +2x −1. Partendo da x 0 = 1.1, si ricavax 1 = 1.1 − 0.205310182.1090909 = 1.002654656(d) Applicando il metodo della Regula Falsi si ha:k x k f (x k )f (x k ) − f (x k−1 )x k − x k−11 1.002654656 0.5312842078E-02 0.2054513650E+012 1.000068720 0.1374413812E-03 0.2001364094E+013 1.000000046(e) Considerato che la radice esatta è ξ = 1, la costante asintotica di convergenza della Regula Falsi si calcolautilizzando l’espressione M = | f ′′ (ξ)2f ′ (ξ) |0.618 . Da f ′ (x) = 1 x + 2x − 1 segue f ′ (1) = 2 e f ′′ (x) = − 1 x 2 + 2,da cui f ′′ (1) = 1, per cui M = 1 0.618= 0.4245481.459

C A P I T O L O5INTERPOLAZIONENon vi è alcuna incompatibilità fral’esatto e il poetico. Il numero ènell’arte come nella scienza.L’algebra è nell’astronomia el’astronomia confina con la poesia.L’anima dell’uomo ha tre chiavi cheaprono tutto: la cifra, la lettera, lanota. Sapere, pensare, sognare.Victor Hugo5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.1 Funzioni base monomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2 Polinomi di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.3 Formula dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.4 Differenze divise e formula di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Considerazioni sull’interpolazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.1 Fenomeno di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.2 Malcondizionamento nell’interpolazione con funzioni base monomiali . . . . . . . . . . 725.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1 IntroduzioneIl censimento della popolazione italiana, dall’unità d’Italia al 2001, ha visto un incremento dellapopolazione, come si può vedere in Tabella 5.1. Gli stessi dati sono riportati in Figura 5.1.Ci si può chiedere se questi dati possono essere utili (considerandoli tutti o solo una parte) per dare unaragionevole stima della popolazione nel 1975 o nel 1995 o per predire a quanto ammonterà nel 2015. Per farciò, possiamo seguire due strade:G cercare una funzione che passi esattamente per i dati assegnati (detti anche punti di appoggio): questoprocedimento prende il nome di interpolazione ed è il soggetto di questo Capitolo;61

5. INTERPOLAZIONEAnno 1861 1871 1881 1901 1911 1921 1931Popolazione 22176 27300 28952 32963 35842 39397 41043Anno 1936 1951 1961 1971 1981 1991 2001Popolazione 42398 47516 50624 54137 56557 56778 56996Tabella 5.1: Dati forniti dall’ISTAT, tratti da http://dawinci.istat.it/daWinci/jsp/dawinci.jsp:popolazione residente dell’Italia ai confini ai confini attuali ai censimenti dal 1861 al 2001. Popolazione inmigliaia.Figura 5.1: Censimento della popolazione residente in Italia.G cercare una funzione che, “in qualche modo” passi vicino ai dati assegnati: si parla di approssimazione(che vedremo nel prossimo Capitolo).In particolare, dato l’insieme dei punti (x i , y i ), i = 0,1,...,n, dove y i è il valore assunto da una funzione fin x i o il valore di un dato sperimentale, cerchiamo una funzione v(x) che, in maniera ragionevole si addicaall’insieme dei dati. Se i dati sono accurati, ha senso richiedere che la funzione interpoli i dati (cioè passiesattamente per le coppie di punti): v(x i ) = y i . Nell’approssimazione, invece, si cerca una funzione piùsemplice v(x) che sia vicina ad una funzione più complicata f (x) o ad una serie di dati.5.2 InterpolazioneUna funzione di interpolazione v(x) serve per vari scopi.G Possiamo usare la v(x) per trovare valori approssimati y in punti x diversi da quelli assegnatix 0 , x 1 ,... x n . Se x si trova all’interno dell’intervallo che contiene le ascisse dei dati assegnati si parladi interpolazione. Se invece x si trova all’esterno dell’intervallo si ha estrapolazione. Nell’esempio dellapopolazione italiana, si interpolano i dati per stimare la popolazione nel 1975 o nel 1995, si applicainvece un procedimento di estrapolazione se si vuole stimare la popolazione del 2012.G Se le coppie di dati assegnati si riferiscono ad una funzione f (x), la funzione di interpolazione puòessere utile per approssimare le derivate o gli integrali della f .Assumiamo che la funzione v di interpolazione sia una combinazione lineare di funzioni base di unqualche appropriato spazio di funzioni, cioè si possa scrivere come62v(x) = c 0 φ 0 (x) + ... + c n φ n (x)

5. INTERPOLAZIONEFigura 5.2: Interpolazione lineare e quadraticaEsempio 5.3.2 Consideriamo adesso un ulteriore coppia di punti per cui i dati che abbiamo sono n + 1 = 3ex i 1 2 4y i 1 3 3Il problema è ora diverso rispetto a quello appena risolto, perchè la terza coppia di punti specifica unavalore y 2 ben diverso da quello predetto da p 1 in x 2 = 4. Difatti p 1 (x 2 ) = 7, nell’esempio precedente, mentreora al valore di x 2 = 4 deve corrispondere y 2 = 3.Cerchiamo il polinomio di grado 2, quindi, della forma p 2 (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 che passa attraverso i puntidati.Le condizioni di interpolazione adesso sono:⎧⎪⎨ p 2 (x 0 ) = c 0 + 1c 1 + 1c 2 = 1p 2 (x 1 ) = c 0 + 2c 1 + 4c 2 = 3⎪⎩p 2 (x 2 ) = c 0 + 4c 1 + 16c 2 = 3Abbiamo un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite, la cui soluzione è:c 0 = − 7 3 , c 1 = 4, c 2 = − 2 3 .Il polinomio è p 2 (x) = (−2x 2 + 12x − 7)/3. Per x = 3 si ha p 2 (3) = 11 = 3.666666667, valore ben diverso da3p 1 (3) = 5. Del resto le curve che abbiamo ottenuto coincidono solo nei punti d’appoggio comuni a entrambe,per il resto l’una è una retta, l’altra è un polinomio di secondo grado (si veda Figura 5.2).Generalizzando gli esempi precedenti, date n + 1 coppie di punti, il polinomio di interpolazione di gradon sarà costruito risolvendo un sistema lineare di n equazioni nelle n incognite c 0 ,c 1 ,...,c n :⎧p n (x 0 ) = y 0 ⇐⇒ c 0 + c 1 x 0 + c 2 x0 2 + ... + c n x0 n = y 064p ⎪⎨ n (x 1 ) = y 1 ⇐⇒ c 0 + c 1 x 1 + c 2 x1 2 + ... + c n x1 n = y 1p n (x 2 ) = y 2 ⇐⇒ c 0 + c 1 x 2 + c 2 x2 2 + ... + c n x2 n = y 2.⎪⎩p n (x n ) = y n ⇐⇒ c 0 + c 1 x n + c 2 xn 2 + ... + c n xn n = y n

5.3. Interpolazione polinomialeIn forma compatta, sotto forma matriciale 2 le equazioni del sistema si possono scrivere come⎛1 x 0 x0 2 ... x n ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞01 x 1 x1 2 ... x1n c 0 y 01 x 2 x 2 2... x2n c 1⎜⎝..⎜.⎟⎝⎟. ⎠ = y 1⎜⎝⎟. ⎠. ⎠1 x n xn 2 ... xnn c n y nLa matrice dei coefficienti è una matrice ben nota in letteratura e prende il nome di matrice di Vandermonde.3 È una matrice con determinante diverso da zero, e quindi il sistema ammette una ed una solasoluzione. Osserviamo che la prima colonna ha tutti gli elementi uguali a 1, la seconda colonna ha le ascissedei punti di appoggio, la terza colonna ha i quadrati di esse, e così via.Perciò, date n+1 coppie di punti di appoggio (x i , y i ), i = 0,...,n, con ascisse distintex i , esiste un unico polinomio interpolatore p(x) di grado al più n tale che p(x i ) = y i ,i = 0,...,n.Tuttavia, la matrice di Vandermonde non ha buone proprietà: difatti è una matrice malcondizionata, equesto lo si osserva al crescere di n in quanto la soluzione del sistema diventa inaccurata 4 , qualunque metodovenga utilizzato per risolverlo.Questo approccio ci è servito per dimostrare che il polinomio di interpolazione esiste ed è unico, manon è utile nella pratica a causa del malcondizionamento. Sarebbe preferibile, quindi, poter usare funzionibase diverse dai monomi in modo da evitare il malcondizionamento, avere meno operazioni dal punto divista computazionale e poter manipolare in maniera più efficiente le funzioni basi φ i in vista di una loroapplicazione nella differenziazione e integrazione numerica.5.3.2 Polinomi di LagrangeScriviamo il polinomio p(x) con i coefficienti c i uguali alle ordinate dei punti d’appoggio y i , c i ≡ y i :p(x) = p n (x) = y 0 φ 0 (x) + ... y n φ n (x)Una base di funzioni che ci permette una simile rappresentazione è data dai polinomi di Lagrange. 5I polinomi di Lagrange L j (x), per j = 0,1,...,n sono polinomi di grado n che, nei nodi x i , soddisfano larelazione{0 se i ≠ jL j (x i ) =1 se i = jAllora il polinomio p n (x) = ∑ nj =0 L j (x) · y j è tale che p n (x i ) = y i cioè soddisfa la condizione diinterpolazione, per ogni i = 0,...,n.2 Questo argomento verrà approfondito nel Capitolo 7, dove rimandiamo per i dettagli.3 Alexandre-Theophile Vandermonde, (1735-1796), abbandonò una carriera da violinista per dedicarsi alla matematica quandoaveva 35 anni. Si occupò di vari problemi di algebra, di topologia, calcolo combinatoriale, e teoria dei determinanti.4 Una matrice A è malcondizionata quando, a piccole variazioni sui coefficienti della matrice, corrispondono grandi variazioni nellasoluzione del sistema lineare Ax = b5 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nacque a Torino (come Giuseppe Luigi Lagrangia) e si trasferì in Francia, a Parigi, dove divennecittadino francese adottando la traduzione francese del suo nome. Matematico e astronomo, diede un importante contributo allameccanica classica e celeste e alla teoria dei numeri.65

5. INTERPOLAZIONEI polinomi di Lagrange sono definiti dalla relazione: 6L j (x) =n∏k=0k≠j(x − x k )(x j − x k )Introduciamo anche il polinomio F (x) di grado n + 1 (che ci servirà in seguito), che si annulla nelle n + 1ascisse dei dati assegnati.F (x) =n∏(x − x k )k=0In forma estesa abbiamoL j (x) = (x − x 0)···(x − x j −1 )(x − x j +1 )···(x − x n )(x j − x 0 )···(x j − x j −1 )(x j − x j +1 )···(x j − x n ) = n∏k=0k≠jx − x kx j − x kEsempio 5.3.3 Siano date le tre coppie di punti dell’esempio precedente (1,1), (2,3), (4,3). I polinomi diLagrange sono:(x − 2)(x − 4) (x − 2)(x − 4)L 0 (x) = =(1 − 2)(1 − 4) 3(x − 1)(x − 4) (x − 1)(x − 4)L 1 (x) = = −(2 − 1)(2 − 4) 2(x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2)L 2 (x) = =(4 − 1)(4 − 2) 6Il polinomio si scrive, quindi comep 2 (x) = L 0 (x) · 1 + L 1 (x) · 3 + L 2 (x) · 3 = 1 3 (x − 2)(x − 4) − 3 2 (x − 1)(x − 4) + 3 (x − 1)(x − 2)6Raccogliendo i termini ritroviamo p 2 (x) = (−2x 2 + 12x − 7)/3, lo stesso polinomio ottenuto con le funzionibase monomiali, e ciò è dovuto all’unicità del polinomio interpolatore.Formuladell’errore5.3.3 Formula dell’erroreSupponiamo, ora, che le ordinate y i siano i valori di una funzione f valutata nei punti di appoggio x i . Conosciamo,quindi, una funzione f e di questa funzione vogliamo fare l’interpolazione sostituendola medianteun polinomio di grado n tale che p(x i ) = f (x i ) = y i , i = 0,...,n.Quale errore si commette interpolando la funzione f con un polinomio di grado n?Consideriamo un ulteriore punto t distinto dai punti di appoggio e compreso nell’intervallo I individuatodai valori minimo e massimo delle ascisse dei punti di appoggio.f (t) − p(t)Definiamo la quantità S che dipende da t, data da S = e la funzione G(x) = f (x)−p(x)−SF (x).F (t)6 Ricordiamo che, dati n valori w 1 , w 2 ,..., w n usiamo la seguente simbologia per indicare la loro somma e il loro prodotto, rispettivamente:.n∑w i = w 1 + w 2 + w 3 + ... + w ni=1n∏w i = w 1 · w 2 · w 3 · ... · w ni=166

5.3. Interpolazione polinomialeLa quantità chiamata c 2 prende il nome di differenza divisa del secondo ordine e si indica conf [x 0 , x 1 , x 2 ] = f [x 1, x 2 ] − f [x 0 , x 1 ]x 2 − x 0.Facendo le opportune sostituzioni si ricava c 2 = − 4 6 = − 2 3 .Quindi, p 2 (x) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) Nell’esempio considerato: p 2 (x) =1 + 2(x − 1) − 2 (x − 1)(x − 2)3Date le stesse coppie di punti, abbiamo visto come cambia la rappresentazione (usando come funzionibase i monomi, poi i polinomi di Lagrange e ora la formulazione di Newton) ma il polinomio finale è semprelo stesso essendo unico il polinomio interpolatore.Da questo esempio, si può vedere come la rappresentazione secondo Newton sia di tipo ricorsivo: il polinomiop 1 (x) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) (che si ha arrestandosi ai primi due passi del procedimento appenaeffettuato) è un polinomio, in tal caso una retta, che interpola i dati (x 0 , y 0 ), e (x 1 , y 1 ). Il polinomio p 2 (x) è datodalla somma di p 1 (x) e del termine f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ). Quindi, una volta determinato il polinomiop n−1 che interpola i primi n dati, possiamo usare questa rappresentazione per costruire p n che interpola idati precedenti cui si aggiunge la coppia (x n , y n ).Il coefficiente c j del polinomio interpolatore di Newton si chiama differenza divisa di ordine j e vieneindicata con f [x 0 , x 1 ,..., x j ].Perciò:f [x 0 ] = c 0 , f [x 0 , x 1 ] = c 1 , ..., f [x 0 , x 1 ,..., x n ] = c nLa notazione utilizzata ci permette di capire anche da quali coppie di punti dipende il coefficiente c j .Dati i punti x 0 , x 1 ,..., x n , per indici i e j arbitrari con 0 ≤ i ≤ j ≤ n, si haf [x i ] = f (x i )f [x i ,..., x j ] = f [x i+1,... x j ] − f [x i ,..., x j −1 ]x j − x iLa formula interpolatoria alle differenze divise di Newton è dunque data dap n (x) = f [x 0 ] + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) + ...+ f [x 0 , x 1 ,..., x n ](x − x 0 )(x − x 1 )···(x − x n−1 )Da un punto di vista computazionale i coefficienti si ricavano mediante la tabella delle differenze divise,tenendo presente che per calcolare f [x 0 , x 1 ,..., x n ] dobbiamo aver calcolato tutte le differenze divisef [x j −k ,..., x j ], con 0 ≤ k ≤ j ≤ n.69

5. INTERPOLAZIONEx i f [·] f [·,·] f [·,·,·] f [·,·,·,·] f [·,·,·,·,·]x 0 f (x 0 )f [x 0 , x 1 ]x 1 f (x 1 ) f [x 0 , x 1 , x 2 ]f [x 1 , x 2 ] f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ]x 2 f (x 2 ) f [x 1 , x 2 , x 3 ] f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]f [x 2 , x 3 ] f [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]x 3 f (x 3 ) f [x 2 , x 3 , x 4 ]x 4 f (x 4 )..f [x 3 , x 4 ]..I coefficienti della diagonale principale sono i coefficienti c j del polinomio interpolatore di Newton...Esempio 5.3.5 Costruiamo la tabella delle differenze divise per i dati (1,1), (2,3) e (4,3).x i f [·] f [·,·] f [·,·,·]1 122 3 − 2 304 3Il polinomio p 2 (x) si scrive: p 2 (x) = 1 + 2(x − 1) − 2 (x − 1)(x − 2).3Se vogliamo aggiungere altri dati, per esempio, la coppia (5,4), dobbiamo aggiungere una riga alla tabelladella differenza divisa e un termine al polinomio che abbiamo già ricavato per ottenere quello di gradosuperiore interpolante tutti i dati che abbiamo a disposizione.x i f [·] f [·,·] f [·,·,·] f [·,·,·,·]1 122 3 − 2 3014 3315 414Il polinomio p 3 (x) è p 3 (x) = p 2 (x) + 1 (x − 1)(x − 2)(x − 4).4Il concetto di differenza divisa può essere visto come un’estensione del concetto di derivata di unafunzione.Si ha, infatti, che, per f derivabile, la diffenza divisa del primo ordine f [x 0 , x 1 ] può essere vista come unrapporto incrementale e quindi, al limite per x 1 → x 0 , si ha f ′ (x 0 ).70

5.4. Considerazioni sull’interpolazione polinomialeLa differenza divisa k-sima e la derivata k-sima di f sono legate tra loro. Si può provare, infatti, per k ≥ 1che vale la relazionef [x 0 , x 1 ,..., x k ] = f (k) (ξ)k!dove ξ è un punto appartente all’interno dell’intervallo individuato dagli estremi di x 0 ,..., x k . Quando i punticoincidono, si haf [ x 0,x 0 ,...,x 0} {{ }] = f (k) (x 0 )k!k+1 volteQuesta formula serve per calcolare il polinomio di interpolazione che interpola non solo una certa funzionef ma anche le sue derivate in alcuni punti assegnati (si veda l’esercizio 5.5.3 a fine Capitolo).Se al polinomio p n (x) aggiungiamo la coppia di dati (x, f (x)) si ha p n+1 (x) = f (x) = p n (x) +f [x 0 , x 1 ,..., x n , x](x − x 0 )(x − x 1 ) · ...(x − x n ). L’ultima differenza divisa non si può calcolare, poichè dipendeda x (che è la nostra variabile), ma ci è utile per capire quanto vale l’errore che commettiamo nell’approssimaref (x) mediante il polinomio interpolatore, applicando la rappresentazione di Newton. Inoltre, dato cheil polinomio interpolatore è unico (fissate le coppie di dati del problema), anche l’errore che si commette è lostesso, qualunque sia la strategia utilizzata per arrivare ad esso. Quindi possiamo eguagliare l’errore trovatoutilizzando i polinomi di Lagrange con l’errore trovato nella rappresentazione di Newton, ottenendo:f (n+1) (ξ(x)) n∏n∏(x − x i ) = f [x 0 , x 1 ,..., x n , x] (x − x i )(n + 1)!i=0i=0Derivatak-sima dellafFormuladell’errore5.4 Considerazioni sull’interpolazione polinomiale5.4.1 Fenomeno di RungeData una funzione f , si pensa che il polinomio di interpolazione possa approssimare bene la funzione,soprattutto se si aumenta il numero dei punti di appoggio. In realtà questo non è sempre vero e un semplicee famoso esempio ce lo fa capire. Sia data la funzione di Runge 8 1f (x) = e consideriamo il polino- Fenomeno di1 + x2 Rungemio di interpolazione di questa funzione per valori crescenti di n prendendo punti di appoggio equidistantinell’intervallo [−5,5]. Partiamo da n + 1 = 2 con i punti equidistanti x 0 = −5, x 1 = 0 e x 2 = 5. Si ha la tabellax i −5 0 5y i = f (x i ) 3.846154e − 2 1. 3.846154e − 2Costruiamo quindi il polinomio di interpolazione p 2 (x) (utilizzando l’approccio di Lagrange o di Newton, irisultati non cambiano). Raddoppiamo il numero dei punti aggiungendo un punto tra x 0 e x 1 e uno tra x 1 ex 2 . Abbiamo n + 1 = 5 e i valori della tabellax i −5 −2.5 0 2.5 5y i = f (x i ) 3.846154e − 2 1.379310e − 1 1. 1.379310e − 1 3.846154e − 2Con lo stesso procedimento, costruiamo i polinomi di interpolazione di grado 8 e 16. In Figura 5.4 sono riportatii grafici della funzione di Runge (in nero) e dei polinomi interpolanti di grado 2, 4 e 8. Si può osservareche solo in un sottointervallo di [−5,5] al crescere di n, i polinomi convergono alla funzione. Agli estremidell’intervallo [−5,5] si hanno oscillazioni che aumentano sempre più al crescere di n. Infatti in Figura 5.5(a sinistra) non si riesce più a distinguere il profilo della funzione di Runge perchè il polinomio di interpolazionedi grado 16 ha delle oscillazioni molto alte. Tuttavia, se restringiamo questo grafico in un intornodell’origine, possiamo vedere come il polinomio p 16 si avvicini bene alla funzione – si veda la Figura 5.5 (adestra)! L’esempio di Runge è utile per capire che la scelta dei nodi equidistanti non si rivela sempre la sceltagiusta e che altri tipi di interpolazione possono dare risultati migliori. Per indagare ulteriormente su questoproblema, si rimanda alla letteratura specializzata del settore.8 Carl Runge (1856-1927) fu un matematico tedesco. Fu studente di Weierstrass, Kirchhoff, Helmholtz. Iniziò poi a collaborare conKronecker e poi si dedicò in particolare allo studio della soluzione numerica di equazioni algebriche e alla spettroscopia.71

5. INTERPOLAZIONEFigura 5.4: Funzione di Runge e polinomi interpolanti di grado 2, 4 e 8.Figura 5.5: Funzione di Runge e polinomio interpolante di grado 16 su tutto l’intervallo [−5,5] (a sinistra) e inun sottointervallo (a destra)5.4.2 Malcondizionamento nell’interpolazione con funzioni base monomialiAll’inizio di questo Capitolo, abbiamo introdotto il polinomio di interpolazione mediante funzioni basemonomiali: il problema dell’interpolazione veniva risolto mediante un sistema lineare la cui matrice, diVandermonde, è malcondizionata.Vediamo di capire questo malcondizionamento mediante un esempio. Si voglia studiare l’interpolazionedei seguenti datix i 1010.5 1011.5 1012.5 1013 1014 1015y i 4 2.5 2.5 2 2 0Confrontando i vari algoritmi di interpolazione, osserveremo che gli algoritmi di Lagrange e delle differenzedivise di Newton danno buoni risultati. Al contrario, il metodo che porta alla costruzione della matricedi Vandermonde porta a risultati disastrosi, come si può vedere in Figura 5.6. Eppure, dal punto di vistateorico i risultati dovrebbero essere identici.72

5.5. EserciziFigura 5.6: Effetti del malcondizionamentoPerchè si hanno questi risultati? Bisogna tener conto di tre aspetti: il calcolo della matrice del sistema V ;la soluzione del sistema lineare V c = y; il calcolo dei valori del polinomio.La matrice di Vandermonde consiste di colonne che crescono di colonna in colonna - 1, x i , x 2 i , x3 i , ...,x 5 i . Per questo caso test, si va da 1 a elementi dell’ordine di 1015 . La matrice è molto mal condizionata.Perciò la soluzione del sistema lineare non può dare risultati affidabili e il vettore che fornisce i coefficienti delpolinomio interpolatore è completamente errato. Ciò porta anche al fenomeno della cancellazione numericanel calcolo del polinomio di interpolazione, per cui si ha una significativa perdita di accuratezza e il graficorisultante presenta un profilo altamente oscillante.5.5 EserciziEsercizio 5.5.1 Sia data la tabella seguente:x i -1 0 2 3 4f (x i ) 9 0 0 15 84(a) Scrivere la tabella delle differenze divise.(b) Trovare il polinomio interpolatore (con la formula di Newton) di grado non superiore a 4.Svolgimento(a) La tabella delle differenza divise è:(b) Il polinomio di Newton di grado 4 che interpola i dati assegnati è dunque (prendendo i valori delladiagonale principale della tabella)p(x) = 9 − 9(x + 1) + 3(x + 1)x + 0.5(x + 1)x(x − 2) + (x + 1)x(x − 2)(x − 3) == x 4 − 3.5x 3 + 3.5x 2 − x73

5. INTERPOLAZIONEx i f (x i ) f (·,·) f (·,·,·) f (·,·,·,·) f (·,·,·,·,·)-1 90 00 − 90 − (−1) = −92 03 154 840 − 02 − 0 = 0 0 + 92 − (−1) = 315 − 03 − 2 = 15 15 − 03 − 0 = 5 5 − 33 − (−1) = 0.584 − 154 − 3 = 69 69 − 154 − 2 = 27 27 − 54 − 0 = 11 211/2 − 1/2= 14 − (−1)Esercizio 5.5.2 Sia data la tabella seguente:x i 0 0.1 0.8 1.2f (x i ) 1 0.48 1.32 5.32(a) Scrivere la tabella delle differenze divise.(b) Usando i quattro punti in successione, scrivere i polinomi interpolanti (di Newton) p n (x) di gradonon superiore ad n (con n=0,1,2,3); commentare il risultato.(c) Usando p n (x) stimare, per ogni n, f (0.6) e f ′ (0.6).(d) scrivere il polinomio p 2 (x) con la formula di Lagrange.Svolgimento(a) La tabella delle differenza divise è:x i f (x i ) f (·,·) f (·,·,·) f (·,·,·,·)0 10.1 0.480.48 − 1= −5.20.10.8 1.321.32 − 0.48= 1.20.71.2 + 5.2= 80.81.2 5.325.32 − 1.32= 100.410 − 1.2= 81.18 − 81.2 = 0(b) I polinomi di Newton di grado 0,1,2 e 3 sono:p 0 (x) = 1p 1 (x) = 1 − 5.2xp 2 (x) = 1 − 5.2x + 8x(x − 0.1) = 8x 2 − 6x + 1p 3 (x) = 1 − 5.2x + 8x(x − 0.1) + 0x(x − 0.1)(x − 0.8) = 1 − 5.2x + 8x(x − 0.1) = p 2 (x)74

5.5. EserciziIl polinomio p 3 (x) coincide con p 2 (x) in quanto p 2 (x 3 ) = p 2 (1.2) = f (1.2) = f (x 3 ) cioè il polinomiodi grado 2 interpola non solo i dati (x 0 , f (x 0 )), (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )) ma anche (x 3 , f (x 3 )).(c) Per le derivate di p n (x), n = 0,1,2 si hap ′ 0 (x) = 0p 1 ′ (x) = −5.2p 2 ′ (x) = 16x − 6La stima di f (0.6) e f ′ (0.6) è:n p n (0.6) p n ′ (0.6)0 1 01 -2.12 -5.22 0.28 3.6(d) I polimoni di Lagrange per ricavare il polinomio p 2 sono dati considerando i valori x 0 , x 1 e x 2 :(x − 0.1)(x − 0.8)L 0 (x) =(−0.1)(−0.8)L 1 (x) =L 2 (x) =x(x − 0.8)0.1(0.1 − 0.8) = x2 − 0.8x−0.07x(x − 0.1)0.8(0.8 − 0.1) = x2 − 0.1x0.56= x2 − 0.9x + 0.080.08Il polinomio è:p 2 (x) = 1L 0 (x) + 0.48L 1 (x) + 1.32L 2 (x)= x2 − 0.9x + 0.08− 0.48 x2 − 0.8x+ 1.32 x2 − 0.1x0.080.070.56= 12.5(x 2 − 0.9x + 0.08) − 6.857142857(x 2 − 0.8x) + 2.357142857(x 2 − 0.1x)e raccogliendo i terminip 2 (x) = 8x 2 − 6x + 1Esercizio 5.5.3 Trovare il polinomio di grado non superiore a 4 che interpola i dati seguenti: f (0) =2, f ′ (0) = 7, f ′′ (0) = 18, f (1) = 27 f ′ (1) = 60. Stimare f (0.2) e f ′ (0.2).SvolgimentoCostruiamo la tabella delle differenze divise tenendo presente che le derivate di una funzione f si possonoavere come limite delle differenze divise:f [0,0] = f ′ (0) = 7 f [0,0,0] = f ′′ (0)2!Si ottiene, dunque,= 9 f [1,1] = f ′ (1) = 6075

5. INTERPOLAZIONE0 270 2 97 90 2 18 825 171 27 35601 27Il polinomio è dunque p(x) = 2 + 7x + 9x 2 + 9x 3 + 8x 3 (x − 1), vale a direp(x) = 8x 4 + x 3 + 9x 2 + 7x + 2.La stima di f (0.2) è data da: f (0.2) ≈ p(0.2) = 3.7808.Per stimare f ′ (0.2) dobbiamo prima calcolare la derivata prima di p. Si hap ′ (x) = 32x 3 + 3x 2 + 18x + 7,da cui f ′ (0.2) ≈ p ′ (0.2) = 12.056.76

C A P I T O L O6APPROSSIMAZIONEI numeri governano il mondo.Platone6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Retta di regressione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4 Approssimazioni di tipo esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.1 IntroduzioneLa legge di Hooke stabilisce che l’allungamento subito da una molla, costruita con materiale uniforme,è direttamente proporzionale alla forza applicata: F (x) = kx dove k è la costante di proporzionalità, dettacostante elastica, e x rappresenta l’allungamento della molla.Supponiamo di voler determinare k per una molla che, quando è a riposo, esercita una forza di1,4724811N . Se applichiamo una forza pari a 2.418165N si misura un allungamento pari a 0.042m. Sianoeffettuate diverse misure, ricavando i dati di Tabella 6.1. I dati raccolti non giacciono esattamente su unax 0.00000 0.04200 0.08000 0.11800 0.15600F 1.472481 2.418165 3.363849 4.309533 5.255217Tabella 6.1: Dati sperimentali per la legge di Hookelinea retta. Per approssimare la costante elastica k, potremmo prendere una qualunque coppia di dati e fareil rapporto tra la forza e l’allungamento. In questo modo, tuttavia, non terremmo conto di tutte le misureeffettuate. È più ragionevole trovare la linea retta che meglio approssima tutti i dati sperimentali e utilizzarlaper approssimare il valore di k. Questo tipo di approssimazione sarà l’argomento di questo Capitolo.A differenza dell’interpolazione, in cui si cerca una funzione che passi esattamente per i dati assegnati,nell’approssimazione si cerca una funzione (più semplice di quella data, se vi è una funzione di partenza) cheapprossimi al meglio i dati assegnati, senza passare esattamente per questi.Alcuni dei motivi che spingono a cercare una funzione di approssimazione piuttosto che di interpolazionesono questi:77

6. APPROSSIMAZIONEFigura 6.1: Legge di Hooke: i dati sperimentalix i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y i 1.2 2.3 4.5 5.1 7 8.5 10.2 13.1 12.5 16.5Tabella 6.2: Dati sperimentaliG i dati a disposizione sono affetti da errore;G siamo interessati a vedere l’andamento dei dati su lunga scala, in una visione globale 1G vogliamo che la funzione dipenda da pochi parametri, sebbene questi siano determinati considerandotutti i dati a disposizione.Nel seguito studieremo l’approssimazione ai minimi quadrati.6.2 Retta di regressione lineareSupponiamo di avere i 10 dati sperimentali della Tabella 6.2 (quindi n + 1 = 10). La Figura 6.2 (a sinistra)mostra il grafico delle coppie di punti: appare evidente che la relazione tra x e y è di tipo lineare. Il motivoper cui i dati non sono esattamente su una retta è dovuto ad errori nei dati. Non ha senso, quindi, cercare unafunzione che passi esattamente per i dati assegnati (come accade nell’interpolazione), perchè una funzionedel genere introdurrebbe oscillazioni prive di significato fisico: lo vediamo andando a costruire il polinomiodi interpolazione di grado 9 che passa esattamente per i dati e che vediamo in Figura 6.2 (a destra). Cerchiamoallora una retta (funzione lineare, poichè abbiamo visto che i dati hanno una relazione di tipo lineare) chemeglio approssima i dati senza dover coincidere con essi. Sia p 1 (x) = a 0 + a 1 x la retta che andiamo cercando(dobbiamo quindi capire come trovare i due coefficienti a 0 e a 1 ). Allora p 1 (x i ) = a 0 + a 1 x i , per i = 0,1,...,nrappresenta il valore sulla retta che deve approssimare il valore y i dato dal problema. Per ogni dato sperimentale,per i = 0,1,...,n, possiamo misurare lo scarto che scaturisce dall’approssimare y i mediante a 0 + a 1 x i .Nell’approccio ai minimi quadrati, si cerca di minimizzare la somma dei quadrati delle differenze tra i valoridati y i e i valori corrispondenti p 1 (x i ) sulla retta; si cerca, cioè, di minimizzare la somma dei quadrati degli1 Se si hanno a disposizione n = 100 dati, anche molto accurati, una funzione interpolante può dare una buona idea localmente,mentre una funzione approssimante data da una retta fornisce una migliore idea del comportamento su lunga scala dei dati.78

6.2. Retta di regressione lineareFigura 6.2: Dati sperimentali (a sinistra) della Tabella 6.2 e polinomio di interpolazione (a destra).scarti. Introduciamo, quindi la funzione che dipende dai coefficienti incogniti a 0 e a 1 .S(a 0 , a 1 ) =n∑ [ ] 2(a0 + a 1 x i ) − y ii=0Per minimizzare questa funzione, occorre porre le derivate parziali della S rispetto ad a 0 e a 1 uguali a zero. 2Si pone dunque0 = ∂S(a 0, a 1 )∂a 0= ∂∂a 00 = ∂S(a 0, a 1 )∂a 1= ∂∂a 1n∑ [ ] 2n∑ [ ](a0 + a 1 x i ) − y i = 2 (a0 + a 1 x i ) − y ii=0i=0n∑ [ ] 2n∑ [ ](a0 + a 1 x i ) − y i = 2 (a0 + a 1 x i ) − y i xii=0Queste equazioni si semplificano nel sistema delle cosiddette equazioni normali:{(n + 1)a0 + a 1∑ ni=0 x i = ∑ ni=0 y ia 0∑ ni=0 x i + a 1∑ ni=0 x2 i = ∑ ni=0 x i y ii=0Introducendo la notazione A 12 = ∑ ni=0 x i , A 22 = ∑ ni=0 x2 i , b 1 = ∑ ni=0 y i e b 2 = ∑ ni=0 x i y i e osservando che lamatrice del sistema è simmetrica (A 12 = A 21 ), la soluzione è data da:a 0 = A 22b 1 − A 12 b 2(n + 1)A 22 − A 2 12a 1 = (n + 1)b 2 − A 12 b 1(n + 1)A 22 − A 2 12Nell’esempio proposto, per calcolare la retta di approssimazione ai minimi quadrati, dobbiamo calcolarei coefficienti delle equazioni normali. In Tabella 6.2 poniamo i valori che servono per risolvere il sistema: lasoluzione è a 0 = −0.87333333 e a 1 = 1.62969697. La retta è rappresentata in Figura 6.3.La retta che abbiamo appena costruito è la retta che minimizza gli scarti verticali, supponendo affettida errore le ordinate delle coppie di punti a disposizione. Essa prende pure il nome di retta di regressionelineare sugli scarti verticali.Osserviamo che il baricentro dei punti assegnati giace sulla retta ai minimi quadrati, in quanto considerandola prima equazione del sistema si ha, per X = ∑ ni=0 x i /(n + 1) e Y = ∑ ni=0 y i /(n + 1) (le coordinate delbaricentro dei punti assegnati):Sulbaricentroa 0 + a 1 X = Y2 Per funzioni f (x) di una variabile reale, i punti di massimo o minimo si trovano tra i punti critici della f , per i quali f ′ (x) = 0,studiando il segno della f ′′ . Analogo procedimento si segue per funzioni di due variabili. Per la funzione S(a 0 , a 1 ) che stiamo studiando,si può provare che i valori (a 0 , a 1 ) che annullano le derivate parziali della S rappresentano i valori che minimizzano la S stessa. Questoargomento viene approfondito nei corsi di Analisi Matematica.79

6. APPROSSIMAZIONEx i y i x 2 xi i y i1 1.2 1 1.22 2.3 4 4.63 4.5 9 13.54 5.1 16 20.45 7 25 356 8.5 36 517 10.2 49 71.48 13.1 64 104.89 12.5 81 112.510 16.5 100 165A 12 = 55 b 1 = 80.9 A 22 = 385 b 2 = 579.4Tabella 6.3: Tabella per il calcolo della retta di approssimazione ai minimi quadratiFigura 6.3: Retta di approssimazione sugli scarti verticali.Se invece sono affetti da errore le ascisse delle coppie di punti, si può cercare la retta che minimizza gliscarti orizzontali, detta anche retta di regressione lineare sugli scarti orizzontali, (basta scambiare il ruolodelle x con quello delle y per ricavare, con lo stesso procedimento, la retta p 1 (y) = b 0 + b 1 y). Il baricentro deipunti assegnati giace anche su questa retta, da cui possiamo concludere che esso è il punto di intersezionedelle due rette che minimizzano gli scarti verticali e orizzontali.6.3 Approssimazione polinomiale ai minimi quadratiIn generale, avendo a disposizione n+1 coppie di punti, il problema di approssimazione si può ricondurrealla ricerca di un polinomio di approssimazione di grado m, p m (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...+ a m x m con m < n.Quando n = m il polinomio d’approssimazione coincide con quello d’interpolazione.La funzione da minimizzare è80S(a 0 , a 1 ,..., a m ) =n∑ [(a0 + a 1 x i + a 2 x 2 i + ... + a m x m ] 2i) − y ii=0

6.4. Approssimazioni di tipo esponenzialeLa procedura seguita per la retta viene generalizzata. Questa volta bisogna porre uguali a zero le m+1 derivateparziali della S rispetto ai coefficienti del polinomio p m .∂S∂a j= 0j = 0,1,...,mRicaviamo, quindin∑2 (a 0 + a 1 x i + ... + a m x m i− y i )x j ii=0= 0 per j = 0,1,...,mIn forma estesa possiamo scriveren∑n∑x j i + a 1a 0i=0x j +1i=0i+ ... + a mn∑x j +m =ii=0i=0n∑x j i y iper j = 0,1,...,mPoichè queste equazioni si hanno per j = 0,1...,m, si ha da risolvere un sistema, che, scritto in formamatriciale, è:A T Aa = A T bdove A è una matrice rettangolare (n + 1) × (m + 1), data da⎛1 x 0 x0 2 ... x m ⎞01 x 1 x1 2 ... x m 1A =⎜⎝...⎟. ⎠1 x n xn 2 ... xnmLe equazioni del sistema sono dette equazioni normali. Si può provare che la matrice Q = A T A èsimmetrica, definita positiva 3 ed è non singolare, quindi il sistema ammette soluzione.6.4 Approssimazioni di tipo esponenzialePuò capitare che i dati sperimentali abbiano un andamento di tipo esponenziale o ricordino una funzionepotenza della variabile x. Allora si può richiedere che la funzione approssimante abbia una delle due formeseguenti (e, a seconda della rappresentazione, si ha un diverso modello):y(x) = ae bxy(x) = ax bmodello esponenzialemodello potenzacon a e b opportune costanti. Per ricavare a e b si passa ai logaritmi ricavando l’equazione di una retta i cuicoefficienti sono ottenuti con la procedura di minimizzazione ai minimi quadrati. Da questi, si ritorna poi aicoefficienti delle funzioni di partenza. Vediamo come.G Nel caso del modello esponenziale, passando ai logaritmi (in base naturale) si ha:ln(y) = ln(a) + bxPonendo X = x, Y = ln(y), a 0 = ln(a) e a 1 = b, si ha un’equazione del tipo Y = a 0 + a 1 X .Quindi, dalle coppie di dati (x i , y i ) i = 0,1,...,n, si deve passare alle coppie (X i = x i , Y i = ln(y i ))e su queste coppie si costruisce la retta di approssimazione ai minimi quadrati con la procedura cheabbiamo studiato in Sezione 6.2. Una volta ricavati i coefficienti a 0 e a 1 , si ha a = e a 0e b = a 1 .3 Le definizioni di matrice simmetrica e matrice definita positiva sono date nel Capitolo 7.81

6. APPROSSIMAZIONEG Nel caso del modello potenza, passando ai logaritmi (qualunque sia la base usata, il risultato noncambia) si ha:log(y) = log(a) + b log(x)Ponendo X = log(x), Y = log(y), a 0 = log(a) e a 1 = b, si ha un’equazione del tipo Y = a 0 + a 1 X .Quindi, dalle coppie di dati (x i , y i ) i = 0,1,...,n, si deve passare alle coppie (X i = log(x i ), Y i =log(y i )) e su queste coppie si costruisce la retta di approssimazione ai minimi quadrati. Una voltaricavati i coefficienti a 0 e a 1 , si ha b = a 1 mentre, con gli opportuni passaggi, si trova il valore di a.6.5 EserciziEsercizio 6.5.1 Sia data la tabella seguente:x i -1 0 2 3 4f (x i ) 9 0 0 15 84(a) Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali.(b) Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti orizzontali.(c) Calcolare il punto di intersezione delle due rette e dire di che punto si tratta.Svolgimento(a) Il sistema da risolvere per ottenere la retta di approssimazione ai minimi quadrati è:{na0 + ∑ ni=1 x i a 1 = ∑ ni=1 y i∑ ni=1 x i a 0 + ∑ ni=1 x2 i a 1 = ∑ ni=1 x i y idove n = 5. Poichè ∑ ni=1 x i = 8, ∑ 5i=1 x2 i = 30, ∑ 5i=1 y i = 108 e ∑ 5i=1 x i y i = 372, si ha il sistema{5a0 + 8a 1 = 1088a 0 + 30a 1 = 372La soluzione è a 0 = 3.069767442, a 1 = 11.581395349. La retta ai minimi quadrati che minimizza gliscarti verticali è: y = 3.069767442 + 11.581395349x.(b) Ricaviamo la retta di approssimazione che minimizza gli scarti orizzontali.{nb0 + ∑ ni=1 y i b 1 = ∑ ni=1 x i∑ ni=1 y i b 0 + ∑ ni=1 y 2 i b 1 = ∑ ni=1 y i x idove n = 5. Poichè ∑ ni=1 y i = 108, ∑ 5i=1 y 2 i = 7362, ∑ 5i=1 x i = 8 e ∑ 5i=1 x i y i = 372, si ha il sistema{5b0 + 108b 1 = 8108b 0 + 7362b 1 = 372La soluzione è b 0 = 0.744452398, b 1 = 0.03960868528. La retta ai minimi quadrati che minimizza gliscarti orizzontali è: x = 0.744452398 + 0.03960868528y.82

6.5. Esercizi(c) Troviamo il punto di intersezione delle due rette:{y = 3.069767442 + 11.581395349xx = 0.744452398 + 0.03960868528yRicaviamo x = 1.6 e y = 21.6Se calcoliamo il baricentro dei punti assegnati, troviamo∑ 5i=1X =x i= −1 + 2 + 3 + 4∑ 5i=1= 1.6 Y =y i 9 + 15 + 84= ) = 21.65555Il punto di intersezione delle due rette è il baricentro dei punti assegnati.Esercizio 6.5.2 Sono assegnati i seguenti dati sperimentalix i 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1y i 102.56 113.18 131.2 142 168 196.2 225 256.8 299.51 325.6Costruire la curva di approssimazione ai minimi quadrati della forma ax b .Svolgimento Per trovare la curva di approssimazione del tipo y = ax b , dobbiamo prima passare ai logaritmi:log(y) = log(ax b ) = log(a) + b log(x)In questo modo ci riconduciamo ad una retta di approssimazione ai minimi quadrati sui logaritmi dei puntiassegnati. Consideriamo il logaritmo naturale (ma i risultati non cambiano con i logaritmi in un’altra base).I dati su cui lavorare sono dunque:log(x i ) log(y i )1.386294361 4.6304479931.435084525 4.7289794721.504077397 4.8767228761.547562509 4.9558270583.931825633 5.1239639801.704748092 5.2791345471.774952351 5.4161004021.840549633 5.5482975721.916922612 5.7021478061.960094784 5.785669634Calcoliamo la retta di approssimazione ai minimi quadrati, ponendo X i = log(x i ) e Y i = log(y i ). Il sistemada risolvere è{na0 + ∑ ni=1 X i a 1 = ∑ ni=1 Y i∑ ni=1 X i a 0 + ∑ ni=1 X 2 i a 1 = ∑ ni=1 X i Y idove n = 10.Si ha ∑ ni=1 X i = 16.6995268, ∑ ni=1 X 2 = 28.2537116, ∑ ni i=1 Y i = 52.0472913, ∑ ni=1 X i Y i = 87.6541085Il sistema da risolvere diventa{10a0 + 16.6995268a 1 = 52.047291316.6995268a 0 + 28.2537116a 1 = 87.6541085che ha come soluzione a 0 = 1.84197978 e a 1 = 2.013679425.Ora a 0 = log(a) da cui a = e a 0= 6.30901637 Invece a 1 = b. Il modello y = ax b diventa quindi y =6.30901637x 2.013679425 .83

C A P I T O L O7METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIAll’inizio e alla fine abbiamo ilmistero. Potremmo dire cheabbiamo il disegno di Dio. A questomistero la matematica si avvicina,senza penetrarlo.Ennio De Giorgi7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Elementi di Algebra Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3 Metodo di eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3.1 Sostituzione all’indietro e in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3.2 Eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4 Strategie di pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.5 Fattorizzazione triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.1 Fattorizzazione LDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5.3 Fattorizzazione di Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.1 IntroduzioneSi consideri la capacità C di un conduttore. Dall’elettrostatica, sappiamo che vale q = Cφ dove q rappresentala carica del conduttore e φ il suo potenziale elettrostatico, quando il conduttore è isolato. Nel caso incui il conduttore non sia isolato, la situazione cambia. Supponiamo di avere 4 conduttori in equilibrio elettrostaticoall’interno di una cavità collegata a terra (a terra il potenziale elettrostatico vale zero). Supponendodi collegare i conduttori 2, 3 e 4 a terra, si ha φ 2 = φ 3 = φ 4 = 0 e φ 1 ≠ 0. Il conduttore 1 induce carica sugli altriconduttori, per cui, per ciascun conduttore vale, rispettivamente:85

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIq 1 = C 11 φ 1q 2 = C 21 φ 1q 3 = C 31 φ 1q 4 = C 41 φ 1Si ripete lo stesso discorso supponendo φ 2 ≠ 0 e tutti gli altri potenziali nulli. Poi sia φ 3 ≠ 0 e gli altri potenzialinulli. Infine φ 4 ≠ 0 e tutti gli altri nulli.La sovrapposizione dei 4 stati considerati corrisponde alla situazione in cui φ 1 ,φ 2 ,φ 3 ,φ 4 sono tutti diversida zero. Si ha perciò:q 1 = C 11 φ 1 +C 12 φ 2 +C 13 φ 3 +C 14 φ 4q 2 = C 21 φ 1 +C 22 φ 2 +C 23 φ 3 +C 24 φ 4q 3 = C 31 φ 1 +C 32 φ 2 +C 33 φ 3 +C 34 φ 4q 4 = C 41 φ 1 +C 42 φ 2 +C 43 φ 3 +C 44 φ 4I coefficienti C i i si chiamano coefficienti di capacità, mentre i coefficienti C i j , con j ≠ i si chiamanocoefficienti di induzione.Si può presentare il problema inverso: note le cariche q i , si vuole determinare il valore dei φ i . Si devequindi risolvere un sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite.In questo Capitolo studieremo metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari del tipo⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1a ⎪⎨ 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2a 31 x 1 + a 32 x 2 + ... + a 3n x n = b 3(7.1). = . .⎪⎩a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n = b ndove a i j , per i , j = 1,2,...,n e b i , per i = 1,2,...,n sono assegnati e le incognite da determinare sonox 1 , x 2 ,..., x n . I metodi diretti sono metodi che risolvono il problema in un numero fissato di passi,introducendo un errore dovuto solo all’arrotondamento.7.2 Elementi di Algebra LineareMatriceSia dato un sistema lineare come in (7.1). Per poterlo semplificare, possiamo eseguire le seguentioperazioni (trasformazioni elementari) :G L’i -sima equazione del sistema può essere moltiplicata per una qualunque costante λ ≠ 0 e l’equazionerisultante può essere usata al posto di quella di partenza: la soluzione del sistema non cambia.G L’equazione j -sima, moltiplicata per una qualunque costante λ ≠ 0 e sommata all’equazione i -sima,può essere usata al posto dell’equazione i -sima di partenza: la soluzione del sistema non cambia.G Le equazione i -sime e j -sime possono essere scambiate: la soluzione del sistema non cambia.In questa maniera, un sistema lineare può essere trasformato in uno di più facile soluzione, comevedremo nell’algoritmo di eliminazione di Gauss.Poichè le operazioni da fare coinvolgono i coefficienti a i j e b i , conviene scrivere il sistema di equazionilineari utilizzando una forma compatta mediante matrici e vettori.Definizione 7.2.1 Una matrice n × m è una griglia rettangolare (o array) di elementi disposti su n righe e mcolonne.86

7.2. Elementi di Algebra LineareGeneralmente, una matrice si denota con una lettera maiuscola, per esempio A, mentre i suoi valori siindicano con la corrispondente lettera minuscola e i pedici che si riferiscono alla riga e colonna in cui si trovaquel valore, per esempio a i j si riferisce all’elemento di riga i e colonna j della matrice A.⎛⎞a 11 a 12 a 13 ... a 1nA = [ a 21 a 22 a 23 ... a 2n] a i j = a 31 a 32 a 33 ... a 3n⎜⎝... ...⎟. ⎠a n1 a n2 a n3 ... a nnEsempio 7.2.1( )2 10 5A =3 1 0è una matrice 2 × 3 con elementi a 11 = 2, a 12 = 10, a 13 = 5, a 21 = 3, a 22 = 1 e a 23 = 0.Per indicare che una matrice A ha n righe e m colonne, diremo che A ha dimensione n × m. Quandolavoreremo con matrici quadrate di n righe e n colonne, parleremo di dimensione n della matrice per indicareche il numero di righe è uguale al numero di colonne e vale n.I vettori si possono vedere come un caso particolare delle matrici. Si parla di vettore riga se ci riferiamo auna matrice 1 × n e si parla di vettore colonna se ci si riferisce a una matrice n × 1.Per indicare un vettore colonna e un vettore riga si usa, rispettivamente, la notazione⎛ ⎞x 1x 2x =x 3⎜⎝⎟. ⎠x nx = ( x 1 x 2 x 3 ... x n)VettoriVediamo, nel seguito, alcune importanti definizioni e proprietà delle matrici.G Due matrici A e B, di dimensione n × m, sono uguali se hanno lo stesso numero di righe e di colonne,e, inoltre, vale, a i j = b i j per i ,= 1,2,...,n e j = 1,2,...,m.G Date due matrici A e B, entrambe n × m, si definisce la matrice somma di A e B la matrice n × m A + Bi cui elementi sono dati da a i j + b i j , per i ,= 1,2,...,n e j = 1,2,...,m.G Se A è una matrice n ×m e λ è un numero reale, la moltiplicazione scalare di λ per A, denotata con λA,è una matrice n × m i cui elementi sono λa i j per i ,= 1,2,...,n e j = 1,2,...,m.G Indichiamo con O la matrice i cui elementi sono tutti uguali a zero.G Data la matrice A, n × m, indichiamo con −A la matrice i cui elementi sono −a i j .Teorema 7.2.1 Date A, B e C tre matrici n × m, e λ e µ due numeri reali, valgono le seguenti proprietà:G A + B = B + A G(A + B) +C = A + (B +C )G A +O = O + A = A G A + (−A) = −A + A = OGλ(A + B) = λA + λB G(λ + µ)A = λA + µAGλ(µA) = (λµ)A G1A = A87

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIMatriceprodottoG Date due matrici A di dimensione n×m e B di dimensione m×p, la matrice prodotto di A e B, denotatacon C = AB, è una matrice i cui elementi c i j sono dati da:c i j =m∑a i k b k j = a i 1 b 1j + a i 2 b 2j + ... + a i m b m jk=1per i = 1,2,...,n e j = 1,2,..., p.ProdottomatricevettoreG Data una matrice A di dimensione n e un vettore colonna x di lunghezza n, si definisce il vettore y = Axprodotto della matrice A per il vettore x, il vettore le cui componenti sono date dan∑y i = a i j x j per i = 2,...,nj =1Dati due vettori x e y si definisce prodotto scalare x T y = ∑ nProdottoi=1 x i y i .scalare traG In generale, AB ≠ B A.vettoriMatricediagonaleG Una matrice D si dice diagonale se è quadrata con d i j = 0 per i ≠ j . Gli elementi diversi da zero sitrovano quindi sulla diagonale (detta diagonale principale) che si può tracciare partendo dall’elementoin alto a sinistra (di posto 11) e arrivando all’elemento in basso a destra (di posto nn).Esempio:⎛⎞1 0 0 0D = ⎜0 2 0 0⎟⎝0 0 5 0 ⎠0 0 0 −1MatriceIdentitàMatricetridiagonaleMatricetriangolaresuperioreMatricetriangolareinferioreG Si chiama matrice identità e si indica con I , una matrice diagonale i cui elementi diagonali valgono 1.Esempio:⎛⎞1 0 0 0I = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 1 0⎠0 0 0 1G Una matrice si dice tridiagonale se gli elementi non nulli si trovano sulla diagonale principale e suglielementi delle diagonali che si trovano sopra e sotto la diagonale principale.Esempio:⎛⎞−2 1 0 0 01 −2 1 0 0A =⎜ 0 1 −2 1 0⎟⎝ 0 0 1 −2 1 ⎠0 0 0 1 −2G Una matrice si dice triangolare se ha tutti gli elementi nulli a parte quelli che si trovano sopra o sotto ladiagonale principale.– Si definisce matrice triangolare superiore U (U sta per upper) di dimensione n, la matrice per laquale, per j = 1,2,...,n, si hau i j = 0 per i = j + 1, j + 2,...,n– Si definisce matrice triangolare inferiore L (L sta per lower) di dimensione n, la matrice per laquale, per i = 1,2,...,n, si hal i j = 0 per j = i + 1,i + 2,...,n88

7.2. Elementi di Algebra LineareEsempi⎛1 −2⎞5.3⎛1 0⎞0U = ⎝0 3.2 −4⎠ L = ⎝ 2 −21 0 ⎠0 0 10−3.4 5.7 −4Teorema 7.2.2 Date A matrice n × m, B matrice m × s, C matrice s × p, D matrice m × s, I m e I s le matriciidentità, rispettivamente di dimensione m e s, e λ e µ due numeri reali, valgono le seguenti proprietà:G A(BC ) = (AB)C G A(B + D) = AB + ADGI m B = B B I s = B Gλ(AB) = (λA)B = A(λB).A questo punto, il sistema lineare (7.1) può essere scritto in forma matriciale comeAx = bCollegata alla soluzione di un sistema lineare è l’inversa di una matrice.Definizione 7.2.2 Data una matrice A di dimensione n, A si dice nonsingolare (o invertibile o regolare) seesiste una matrice, che indichiamo come A −1 di dimensione n tale cheMatriceinversaA A −1 = A −1 A = ILa matrice A −1 si chiama matrice inversa della A. Una matrice che non ha inversa si dice, invece, singolare (onon invertibile).Teorema 7.2.3 Per ogni matrice A di dimensione n nonsingolare si ha:G A −1 è unicaG A −1 è nonsigolare e (A −1 ) −1 = AG Se B è non singolare, di dimensione n, allora (AB) −1 = B −1 A −1Dato il sistema Ax = b, se A è nonsingolare, si ha x = A −1 b.Un’altra importante matrice associata ad un’assegnata matrice A è la sua trasposta.Definizione 7.2.3 La trasposta di una matrice A di dimensione n × m è una matrice A T di dimensione m × nper cui la colonna i della trasposta coincide con la riga i della matrice A di partenza: a T i j = a j i .Trasposta diuna matriceEsempio:A =( 1 2) 32 5 6⎛1⎞2A T = ⎝2 5⎠3 6Legata alla trasposta di una matrice è la seguente definizione.Definizione 7.2.4 Una matrice quadrata si dice simmetrica se A = A T .Esempio:⎛1 4⎞8⎛1 4⎞8A = ⎝4 2 6⎠ A T = ⎝4 2 6⎠8 6 58 6 5Teorema 7.2.4 Valgono le seguenti proprietà (per matrici per cui è possibili eseguire le seguenti operazioni):89

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIDeterminantedi unamatriceG(A T ) T = AG(AB) T = B T A TG(A + B) T = A T + B TGSe esiste A −1 allora (A −1 ) T = (A T ) −1Il determinante di una matrice permette di stabilire esistenza e unicità della soluzione nei sistemi lineari.Data una matrice quadrata A, il suo determinante si indica mediante la notazione det(A) o |A|.G Se A = [a] è una matrice 1 × 1, allora det(A) = a.G Se A è una matrice di dimensione n, si definisce minore M i j il determinante della sottomatrice didimensione n − 1 ottenuta cancellando la i -sima riga e la j -sima colonna da A.G Il determinante di A è dato dalla formuladet(A) =det(A) =n∑(−1) i+j a i j M i jj =1n∑(−1) i+j a i j M i ji=1(fissato un qualunque i = 1,2,...,n)(fissato un qualunque j = 1,2,...,n)Il calcolo del determinante di una matrice di dimensione n richiede O (n!) moltiplicazioni. Quindi, anche pervalori piccoli di n, le operazioni da fare diventanto proibitive.Teorema 7.2.5 Sia assegnata A una matrice quadrata di dimensione n.Se una riga o una colonna di A ha elementi tutti nulli, allora det(A) = 0.Se A ha due righe o due colonne con gli stessi elementi, allora det(A) = 0.G Denotata con à la matrice ottenuta scambiando due righe di A, si ha det(Ã) = −det(A).G Denotata con à la matrice ottenuta da A moltiplicando una sua riga per un numero reale λ, si hadet(Ã) = λdet(A).G Denotata con à la matrice ottenuta da A sommando una sua riga per un’altra che è stata moltiplicataper λ, si ha det(Ã) = det(A).G Se B è un’altra matrice di dimensione n, si ha det(AB) = det(A)det(B)G det(A T ) = det(A)G Se esiste A −1 , si ha det(A −1 1) =det(A)G Se A è una matrice trangolare superiore o trangolare inferiore o diagonale, allora det(A) = ∏ ni=1 a i i7.3 Metodo di eliminazione di GaussRitorniamo al sistema di equazioni (7.1), che possiamo scrivere in forma matriciale come Ax = b.Nel metodo di eliminazione di Gauss 1 il sistema lineare di partenza viene trasformato in uno equivalentedi più facile soluzione in quanto la matrice del nuovo sistema ha forma triangolare (superiore o inferiore) epuò essere risolto facilmente mediante sostituzione (all’indietro o in avanti).Vediamo nel dettaglio come si risolve un sistema lineare con queste tecniche.7.3.1 Sostituzione all’indietro e in avantiLa matrice A sia nonsingolare e triangolare superiore, cioè⎛⎞a 11 a 12 ... a 1n. a .. 22 a2nA =⎜.⎝... .. ⎟⎠a nn1 Carl Friedrich Gauss fu un matematico e fisico tedesco (1777-1855) che ha dato il suo contribuito in maniera significativa innumerosi campi: teoria dei numeri, analisi, geometria differenziale, geodesia, magnetismo, astronomia, ottica. Al pari di Eulero, Newtone Archimede è considerato uno dei più grandi matematici della storia.In suo onore è stato dato il suo nome a una nave di ricerca tedesca, a una montagna (Gaussberg) in Antartide, a un cratere sulla luna,e all’unità di misura della densità di flusso magnetico o di induzione magnetica.90

7.3. Metodo di eliminazione di GaussLa soluzione del sistema Ax = b può dunque procedere dal basso verso l’alto, a partire dall’ultima riga. Leequazioni, infatti, sonoa 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... a 1n x n = b 1a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... a 2n x n = b 2a 33 x 3 + ... a 3n x n = b 2. = . . .a nn x n = b nL’ultima riga si legge come a nn x n = b n . Quindi possiamo ricavare x n = b n /a nn .Noto il valore di x n , possiamo ricavare x n−1 dalla riga n − 1 del sistema:1a n−1n−1 x n−1 + a n−1n x n = b n−1 . Si ha x n−1 = (b n−1 − a n−1n x n ).a n−1n−1Si procede a ritroso in questo modo arrivando fino alla prima equazione che ci permette di calcolare il valoredi x 1 . Osserviamo che tutte le divisioni per i coefficienti a i i sono possibili in quanto stiamo supponendoA non singolare e, poichè det A = ∏ ni=1 a i i ≠ 0, necessariamente ciascun a i i ≠ 0.Possiamo dunque scrivere l’algoritmo di sostituzione all’indietro:Per i = n fino a i = 1, procedendo all’indietro con passo −1x i =b i − ∑ nj =i+1 a i j x ja i iUn analogo algoritmo si ricava quando la matrice è triangolare inferiore. In tal caso, si parte dalla primaequazione per ricavare x 1 e poi si va avanti nell’equazione successiva.Si ha l’algoritmo di sostituzione in avanti:Per i = 1 fino a i = n, procedendo in avanti con passo 1x i =b i − ∑ i−1j =1 a i j x ja i i7.3.2 Eliminazione di GaussAssumiamo, ora, che la matrice A sia piena (o densa, cioè abbia quasi tutti gli elementi non nulli). Applichiamotrasformazioni elementari per riga in modo da ridurre il sistema di partenza in uno equivalente diforma triangolare superiore, che potremo risolvere mediante sostituzione all’indietro.La soluzione del problema Ax = b, infatti, non cambia se moltiplichiamo una riga per una costante, sesottraiamo il multiplo di una riga da un’altra riga o se facciamo scambi di righe, come abbiamo detto all’iniziodella Sezione 7.2.Supponiamo, per il momento, che tutti gli elementi della diagonale principale di A siano non nulli.G Al primo passo vogliamo eliminare gli elementi della prima colonna al di sotto della diagonaleprincipale:91

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI– sottraiamo la prima equazione moltiplicata per a 21a 11dalla seconda equazione:a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2a 21a 11(a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n ) = a 21a 11b 1(a 22 − a 21a 11a 12 )x 2 + (a 23 − a 21a 11a 13 )x 3 + ... + (a 2n − a 21a 11a 1n )x n = b 2 − a 21a 11b 1– sottraiamo la prima equazione moltiplicata per a 31a 11dalla terza equazione.– ...– sottraiamo la prima equazione moltiplicata per a n1a 11dalla n-sima equazione.Come risultato di questa operazione avremo una nuova matrice con gli elementi della primacolonna, eccetto quello di posto 11, tutti uguali a zero.⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞a 11 a 12 ... a 1n x 1 b 10 a (1)22... a (1)2nx 2⎜⎝.. ...⎟⎜. ⎠⎝⎟. ⎠ = b (1)2 ⎜ ...⎟⎝ ⎠0 a (1)n2... a nn(1) x n b n(1)G Al secondo passo, consideriamo il sistema ridotto che si ha ignorando la prima equazione del sistemae la prima colonna della nuova matrice che abbiamo ottenuta (che ha tutti 0 al di sotto dell’elementodiagonale).A questa sottomatrice applichiamo lo stesso procedimento di prima, sottraendo, quindi, la primaequazione della sottomatrice moltiplicata per a(1) 32a (1)22via.Dopo questo passo, il sistema sarà equivalente a:⎛⎞a 11 a 12 ... ... a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1n0 a (1)22a (1)23... a (1) x 1b 12nx 2b (1)2. 0 a (2)33... a (2)3nx 3⎜⎝... ...⎟⎜=b (2)3 . ⎠⎝⎟ ⎜ ... ⎟. ⎠ ⎝ ⎠0 0 a (2)n3... a nn(2) x n b n(1)dalla seconda equazione della sottomatrice, e cosìG Dopo aver applicato questo procedimento n − 1 volte, avremo un sistema triangolare superioresemplice da risolvere utilizzando l’algoritmo di sostituzione all’indietro.⎛⎞a 11 a 12 ... ... a ⎛ ⎞ ⎛1n0 a (1)22a (1)23... a (1) x 12nx 2. 0 a (2)33... a (2)3nx 3⎜⎝.. ... ...⎟⎜=. ⎠⎝⎟ ⎜. ⎠ ⎝0 0 ... 0 a nn(n−1) x nb 1b (1)2b (2)3...b (n−1)n⎞⎟⎠92

7.4. Strategie di pivotingEsempio 7.3.1 Sia A =( ) ( )2 1 2e .3 2=¯ 3.5Per applicare il metodo di Gauss, dobbiamo moltiplicare la prima equazione per 3 e sottrarla dalla seconda23x 1 + 2x 2 = 3.5−32 (2x 1 + 1x 2 ) = 3 2 2 =0x 1 + 0.5x 2 = 0.5Il sistema(equivalente)( ) (diventa)2 1 x1 2=0 0.5 x 2 0.57.4 Strategie di pivotingGli elementi diagonali generati ad ogni passo del metodo di eliminazione a (k) sono detti elementii ipivotali.Nel descrivere il metodo di eliminazione di Gauss abbiamo supposto, per semplicità, che tutti gli elementidiagonali fossero diversi da zero. Ma una matrice può essere non singolare senza che gli elementi delladiagonale principale siano tutti diversi da zero.Inoltre, andando avanti nel procedimento di eliminazione, può succedere che un elemento pivotale diventinullo – e quindi la corrispondente incognita non può essere eliminata attraverso quella equazione nelprocedimento di sostituzione all’indietro.C’è, infine, da considerare il fatto che si possono avere grossi errori numerici quando un elementopivotale è molto piccolo.Cosa fare in queste circostanze? In che modo applicare l’eliminazione di Gauss?Si hanno le cosiddette strategie di pivoting:G pivoting parzialeMano mano che si va avanti nell’eliminazione, per i = 1,2,...,n −1 a ciascuno stadio si sceglie il piùpiccolo intero q tale che|a (i−1) | = maxqii≤j ≤n |a(i−1) |j ie si scambiano le righe i e q.Si opera, dunque, un controllo sulla colonna i -sima dalla posizione i fino alla posizione n, andandoa cercare il coefficiente massimo in modulo.G pivoting totaleNel pivoting totale, invece, la ricerca dell’elemento più grande avviene in tutta la sottomatrice adestra e sotto l’elemento diagonale i -simo. Si vanno quindi a cercare i più piccoli interi q e r tali che|a qr(i−1) | = maxi≤k,j ≤n |a(i−1) j k|Si opera, quindi, uno scambio non solo di righe ma anche di colonne in modo da portare l’elementopivotale dalla riga e colonna qr al posto i i . Di questo scambio di colonne bisogna conservaretraccia perchè vengono scambiate anche le componenti del vettore soluzione, in modo da effettuare loscambio inverso una volta risolto il sistema.93

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIIl maggiore sforzo computazionale garantisce maggiore accuratezza e stabilità nei risultati, nel senso chegli errori di arrotondamento non sono così amplificati come potrebbe succedere senza l’adozione di unatecnica di pivoting.Esempio 7.4.1 Consideriamo il sistemax 1 + x 2 +x 3 = 1x 1 + 1.0001x 2 + 2x 3 = 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 1L’esatta soluzione, corretta a 4 cifre decimali, è x = (1, −1.0001, 1.0001) T .L’eliminazione di Gauss senza pivoting porta al sistemax 1 + x 2 +x 3 = 10.0001x 2 + 1x 3 = 11x 2 + 1x 3 = 0e, infine, ax 1 + x 2 +x 3 = 10.0001x 2 + 1x 3 = 1−9999x 3 = −10000Se usiamo un’aritmetica in base 10 con 3 cifre decimali, allora la sostituzione all’indietro ci darà: x 3 =−10000/ − 9999 = 1.000, x 2 = 1 − 10.0001 = 0 e x 1 = 0.La soluzione è completamente sbagliata.Se, invece, facciamo lo scambio della seconda e terza riga adottando il pivoting parziale, allora avremo ilsistema:x 1 + x 2 +x 3 = 11x 2 + 1x 3 = 00.0001x 2 + 1x 3 = 1e, infine,x 1 + x 2 +x 3 = 11x 2 + 1x 3 = 00.9999x 3 = 1Questa volta si ha (sempre lavorando con 3 cifre decimali) x 3 = 1.000, x 2 = −1.000, x 1 = 1.000, che è lasoluzione corretta a 3 cifre decimali.7.5 Fattorizzazione triangolareIl metodo di eliminazione di Gauss, visto in forma matriciale, decompone la matrice A nel prodotto LUdi due matrici L, trangolare inferiore, e U , triangolare superiore.94

7.5. Fattorizzazione triangolareBasta considerare, ad ogni passo, la matrice⎛10 1. 0 1.. 0 1M (k) ... − a(k−1) k+1k=a (k−1)kk... − a(k−1) k+2ka (k−1)kk....⎜⎝... − a(k−1) n ka (k−1)kk1. ... ..⎞⎟1⎠Si considera quindi la matrice A (k) = M (k) A (k−1) = M (k) M (k−1) ... M (1) A e il vettore b (k) = M (k) b (k−1) =M (k) M (k−1) ... M (1) b.Dopo n − 1 passi, avremoU = A (n−1) = M (n−1) ... M (2) M (1) Acon U matrice triangolare superiore. Otteniamo quindi A = LU , conL = (M (n−1) ... M (2) M (1) ) −1 = [M (1) ] −1 ...[M (n−2) ] −1 [M (n−1) ] −1L è triangolare inferiore con elementi dati dal prodotto delle matrici M (k) generate durante l’eliminazione diGauss.7.5.1 Fattorizzazione LDUL’eliminazione di Gauss è un caso particolare di fattorizzazione LDU , nella quale la matrice A viene decompostanel prodotto di 3 matrici, la L che è triangolare inferiore con elementi sulla diagonale principale(elementi diagonali) uguali a 1, la D che è una matrice diagonale e la U che è una triangolare superiore conelementi diagonali uguali a 1.Nell’eliminazione di Gauss vista prima, nella U abbiamo inglobato anche la matrice D, per cui abbiamouna fattorizzazione LU .La decomposizione LDU è assicurata dal teorema LDU . Prima di vedere il teorema, definiamo i minoriprincipali di una matrice A.Definizione 7.5.1 Data una matrice A si definisce minore principale di dimensione k (con 1 ≤ k ≤ n), lasottomatrice che si ha prendendo le prime k righe e k colonne di A.⎡⎤a 11 ... a 1k⎢⎣.⎥. ⎦a k1 ... a kkMinoreprincipaleTeorema 7.5.1 (LDU ) Nell’ipotesi che tutti i minori principali di A, (per i = 1,2,...,n) siano non-singolari,allora la matrice A è decomponibile in maniera univoca nel prodotto A = LDUQualsiasi matrice non singolare può essere condotta sotto una forma tale da soddisfare il teorema LDUmediante opportuni scambi di righe e di colonne (abbiamo visto cosa fare quando un elemento pivotale è95

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIMatrice dipermutazionenullo). Fare uno scambio di righe o di colonne significa moltiplicare la matrice A con un’opportuna matricedi permutazione.Una matrice di permutazione P è una matrice ottenuta dalla matrice identità operando scambi di righe odi colonne in modo che la matrice risultante abbia esattamente un unico valore diverso da zero su ogni rigae colonna, e tale valore sia uguale a 1.Esempio 7.5.1 Si consideri la matrice di permutazione P di dimensione 3 data da⎛ ⎞1 0 0P = ⎝0 0 1⎠0 1 0Qualunque sia la matrice A, di dimensione 3, moltiplicandola a sinistra per P si ottiene lo scambio dellaseconda e terza riga di A; invece, moltiplicandola a destra per P si ottiene lo scambio della seconda e terzacolonna di A:⎛ ⎞⎛⎞ ⎛⎞1 0 0 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13PA = ⎝0 0 1⎠⎝a 21 a 22 a 23⎠ = ⎝a 31 a 32 a 33⎠0 1 0 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞a 11 a 12 a 13 1 0 0 a 11 a 13 a 12AP = ⎝a 21 a 22 a 23⎠⎝0 0 1⎠ = ⎝a 21 a 23 a 22⎠a 31 a 32 a 33 0 1 0 a 31 a 33 a 32Quindi, il teorema LDU si può applicare alla matrice A o ad un’opportuna matrice PA, se si effettua il pivotingparziale, o a PAQ se si effettua il pivoting totale (e quindi si considerano due matrici di permutazioni P e Q).In genere, la matrice D viene inglobata nella L o nella U (post-moltiplicando o pre-moltiplicando le L e leU definite prima per la D).G Nel caso in cui la matrice D viene inglobata nella matrice L, la L ha elementi diagonali l i i ≠ 0, mentrela U ha elementi diagonali unitari. Si parla di fattorizzazione di Crout.G Nel caso in cui la matrice D viene inglobata nella matrice U , la U ha elementi diagonali u i i ≠ 0, mentrela L ha elementi diagonali unitari. Si parla di fattorizzazione di Doolittle.Scriviamo in forma estesa il prodotto tra matrici, nell’ipotesi di operare la fattorizzazione di Crout:⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞a 11 a 12 ... a 1n l 11 0 ... 0 1 u 12 ... u 1na 21 a 22 ... a 2n⎜⎝..⎟. ⎠ = l 21 l 22 ... 00 1 ... u 2n⎜⎝..⎟⎜. ⎠⎝..⎟. ⎠a n1 a n2 ... a nn l n1 l n2 ... l nn 0 0 ... 1Moltiplichiamo la prima riga di L per le colonne di U ed eguagliamo i termini con gli elementi della primariga di A. Otteniamo:l 11 · 1 = a 11l 11 · u 1k = a 1k , k = 2,...,nQuindi: l 11 = a 11 e u 1k = a 1k /l 11 . Abbiamo ricavato gli elementi della prima riga di L e U .Moltiplicando le successive righe di L per le colonne di U ed uguagliando i termini ai corrispondentitermini di A, abbiamo:l i j = a i j −j −1 ∑m=1u i j = 1 (a i j −l i il i m u m j i = 1,2,...n j = 1,2,...,ii−1 ∑m=1l i m u m j ) i = 1,2,...,n − 1 j = i + 1,...n96

7.5. Fattorizzazione triangolareSi calcolano prima gli elementi della riga i -sima di L e poi quelli della riga i -sima di U , per i = 1,2,...,n.Trovate le matrici L e U , il sistema di partenza Ax = b è equivalente a LU x = b.Si pone, dunque, y = U x, ottenendo il sistema Ly = b. Si ricava facilmente y mediante sostituzione inavanti e da U x = y si ricava x mediante sostituzione all’indietro.Lo sforzo computazionale maggiore è quindi quello per il calcolo dei coefficienti di L e U .Nell’eliminazione di Gauss noi ricaviamo espressamente solo la U mentre le modifiche operate sullacolonna dei termini noti è equivalente al prodotto L −1 b (quindi da LU x = b risolviamo U x = L −1 b).7.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivotingAbbiamo visto che, a volte, il metodo di eliminazione di Gauss richiede scambi di righe per evitare divisioniper zero. Allo stesso modo, il teorema di fattorizzazione LDU vale su matrici A non singolari o su matriciottenute da A mediante moltiplicazioni a sinistra o a destra con opportune matrici di permutazione.Ci chiediamo se esistono matrici per le quali il metodo di eliminazione di Gauss possa essere implementatosenza scambi di righe e per le quali l’algoritmo di eliminazione di Gauss sia stabile rispetto ad una crescitadi errori di arrotondamento.Vediamo, nel seguito, alcune speciali classi di matrici per cui valgono le nostre richieste.Una matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante in senso stretto per righe se vale larelazione|a i i | >n∑|a i j | per ogni i = 1,2,...,n.j =0j ≠iUna matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante in senso stretto per colonne se vale larelazione|a j j | >n∑|a i j | per ogni j = 1,2,...,n.i=0i≠jMatrice diagonalmentedominante insenso strettoper righeMatrice diagonalmentedominante insenso strettoper colonneEsempio 7.5.2⎛⎞7 3 1A = ⎝2 10 −2⎠5 0 6A è una matrice diagonalmente dominante in senso stretto per righe poichè vale:|7| > |3| + |1| = 4, |10| >|2| + | − 2| = 4 e |6| > |5| + |0|. Non è diagonalmente dominante in senso stretto per colonne in quanto sullaprima colonna si ha |7| = |2| + |5|.Esempio 7.5.3⎛⎞6 3 −4A = ⎝ 3 9 5 ⎠−4 5 11A non è diagonalmente dominante in senso stretto per righe poichè, sulla prima riga si ha |6| < |3| + | − 4| =7. Essendo simmetrica, la matrice non può essere neanche diagonalmente dominante in senso stretto percolonne, perchè la relazione che abbiamo sulla prima riga vale sulla prima colonna.Le definizioni appena date si possono rilassare, definendo le matrici diagonalmente dominanti.97

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIUna matrice A di dimensione n si dice diagonalmente dominante per righe se vale la relazioneMatrice diagonalmentedominante|a i i | ≥n∑|a i j | per ogni i = 1,2,...,n.j =0j ≠iAnaloga è la definizione di matrice diagonalmente dominante per colonne (basta applicare la definizionedi matrice diagonalmente dominante per righe sulla matrice A T )Si hanno i seguenti teoremi.Teorema 7.5.2 Se A è una matrice diagonalmente dominante e non singolare, allora il metodo di eliminazionedi Gauss può essere implementato senza alcuno scambio di righe e di colonne e i calcoli sono stabili rispettoalla crescita degli errori di arrotondamento.Teorema 7.5.3 Se A è una matrice diagonalmente dominante in senso stretto (per righe o per colonne), alloraA è non singolare. In questo caso il metodo di eliminazione di Gauss può essere implementato senza alcunoscambio di righe e di colonne e i calcoli sono stabili rispetto alla crescita degli errori di arrotondamento.Un’altra importante classe di matrici è data dalle matrici definite positive.Una matrice A di dimensione n si diceG definita positiva se è simmetrica e vale x T Ax > 0 qualunque sia il vettore x ≠ 0MatricedefinitapositivaG semidefinita positiva se x T Ax ≥ 0 qualunque sia il vettore x,G indefinita altrimenti. 2Si ha un’analoga definizione per matrici definite negative e semidefinite negative. Una matrice A didimensione n si diceMatricedefinita negativa se è simmetrica e vale x T Ax < 0 qualunque sia il vettore x ≠ 0,definitaG semidefinita negativa se x T Ax ≤ 0 qualunque sia il vettore x.negativaDalla definizione di matrice definita positiva, deve essere x T Ax > 0 qualunque sia il vettore x, vale a dire:⎛⎞⎛⎞a 11 a 12 ... a 1n x 1( )a 21 a 22 ... a 2nx 2x1 x 2 ... x m ⎜⎝.. ...⎟⎜. ⎠⎝⎟. ⎠a n1 a n2 ... a nn x m⎛∑ nj =1 a ⎞1j x j= ( ∑ n)j =1x 1 x 2 ... x m a 2j x jn∑ n∑⎜⎝⎟. ⎠ = a i j x i x j > 0i=1 j =1∑ nj =1 a n j x jBasarsi sulla definizione per verificare che una matrice sia o meno definita positiva può essere moltodifficile. Fortunatamente, ci sono molti criteri che ci permettono di dire se una matrice è definita positiva ono.IL seguente risultato ci permette di eliminare certe matrici dalla classe delle matrici definite positive, senon soddisfano certi requisiti.Teorema 7.5.4 Se una matrice A di dimensione n è definita positiva, alloraG A ammette la matrice inversa;G a i i > 0 per ogni i = 1,2,...,nVediamo ora una condizione necessaria e sufficiente per matrici definite positive.2 Osserviamo che non tutti gli autori richiedono la simmetria per definire una matrice definita positiva, e distinguono tra matricidefinite positive e matrici simmetriche definite positive.98

7.5. Fattorizzazione triangolareTeorema 7.5.5 Una matrice A simmetrica di dimensione n è definita positiva se e solo se tutti i suoi minoriprincipali hanno determinante positivo.Teorema 7.5.6 Una matrice A simmetrica di dimensione n con elementi diagonali tutti positivi ediagonalmente dominante è definita positiva.Anche per matrici simmetriche definite positive, si può applicare il metodo di eliminazione di Gausssenza operare scambi di righe e di colonne e i calcoli rimangono stabili rispetto alla crescita degli errori diarrotondamento. Questo risultato ci serve per la fattorizzazione di Cholesky.7.5.3 Fattorizzazione di CholeskyNel caso in cui la matrice A sia simmetrica, il teorema LDU si presenta nel seguente modoTeorema 7.5.7 (LDU per matrici simmetriche) Se A è una matrice simmetrica e nessuno dei suoi minoriprincipali è singolare, allora A si può decomporre nel prodotto A = LDL T , dove L è triangolare inferiore conelementi diagonali unitari ed è univocamente determinata, L T è la sua trasposta e D è matrice diagonale.Dimostrazione. Poichè A è simmetrica, si ha A = A T , quindi LDU = (LDU ) T = U T D T L T = U T DL T . Sideduce quindi, dall’uguaglianza, che U = L T e la decomposizione diventa A = LDL T . ✔Nel caso particolare in cui A sia simmetrica e definita positiva, deve valerex T Ax = x T LDL T x = (L T x) T DL T x = y T Dy > 0 con y = L T x per ogni x > 0.Perciò gli elementi di D (che è una matrice diagonale) devono necessariamente essere tutti positivi – essendoA definita positiva. In tal caso, posto M = LD 1/2 si ha A = M M T , il prodotto di una matrice triangolareinferiore con coefficienti tutti reali per la sua trasposta. Se D non fosse definita positiva (ma avesse qualcheelemento negativo), allora neanche A sarebbe definita positiva e la matrice M sarebbe non reale.Quindi se A è simmetrica, si ha la decomposizione nel prodotto LL T (chiamiamo di nuovo con L lamatrice M) con L reale se e solo se A è definita positiva.I coefficienti della matrice L si trovano facendo il prodotto righe per colonne ed eguagliando i termini aicorrispondenti elementi di A.Si ricava:l 11 = a 11l i 1 = a i 1 /l 11 i = 2,3,...,ni−1 ∑l i i = √ (ai i − l 2 i k ) i = 2,3,...,nk=1l i j = 1 j∑−1(a i j − l i k l j k ) j = 2,...,n i = j + 1,...,nl i ik=1Tale fattorizzazione prende il nome di fattorizzazione di Cholesky 3 .3 André-Louis Cholesky (1875-1918) fu un matematico francese. Fu ufficiale ingegnere e morì alla fine della prima guerra mondiale.99

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI7.6 EserciziEsercizio 7.6.1 ⎛ Sia data ⎞ la matrice1 0 2A = ⎝0 4 8 ⎠2 8 29Provare che verifica le condizioni del teorema LDU e trovare i fattori L e L T tali che A = LL T .( ) 1 0Svolgimento La matrice A è simmetrica e soddisfa le ipotesi del teorema LDU ( infatti |a 11 | = 1, det =0 44 e det(A) = 116 − 16 − 64 = 36) per cui è possibile scrivere la matrice A come A = LL T . Si ha, quindi:⎛⎞⎛⎞ ⎛l 11 0 0 l 11 l 21 l 31 l 2 ⎞11l 11 l 21 l 11 l 31⎝l 21 l 22 0 ⎠⎝0 l 22 l 32⎠ = ⎝l 21 l 11 l21 2 + l 22 2 l 21 l 31 + l 22 l 32⎠l 31 l 32 l 33 0 0 l 33 l 31 l 11 l 31 l 21 + l 32 l 22 l31 2 + l 32 2 + l 332Devono quindi valere le relazioni:l 2 11 = 1 → l 11 = 1l 21 l 11 = 0 → l 21 = 0l 31 l 11 = 2 → l 31 = 2l 2 21 + l 2 22 = 4 → l 22 = 4 − 0 = 2l 21 l 31 + l 22 l 32 = 8 → l 32 = 8/2 = 4√l31 2 + l 32 2 + l 33 2 = 29 → l 33 = 29 − 2 2 − 4 2 = 29 − 4 − 16 = 9 = 3La matrice L è dunque⎛1 0⎞0⎝0 2 0⎠2 4 3Esercizio 7.6.2 ⎛ Data la matrice ⎞0.2 1 0.2A = ⎝ 1 6.5 1.75⎠0 2 2.25(a) verificare che A soddisfa le condizioni del teorema LDU ;(b) fattorizzare secondo Crout A = LU (prendendo u i i = 1);(c) usare la fattorizzazione per calcolare det(A −2 );(d) usare la fattorizzazione per risolvere il sistema Ax = b, con b T = (2.8 19.25 10.75) T .Svolgimento(a) La matrice verifica le condizioni del teorema LDU in quanto i minori principali costruiti a partiredall’angolo superiore sinistro hanno tutti determinante diverso da zero:a 11 = 0.2 ≠ 0( ) 0.2 1det = 0.3 ≠ 0 det A = 0.375 ≠ 01 6.5100

7.6. Esercizi(b) La fattorizzazione di A come A = LU si costruisce imponendo:⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞0.2 1 0.2l 11 0 0 1 u 12 u 13A = ⎝ 1 6.5 1.75⎠ = LU = ⎝l 21 l 22 0 ⎠⎝0 1 u 23⎠0 2 2.25l 31 l 32 l 33 0 0 1Usando le formule di pag. 96, si ottienel 11 = 0.20.2u 12 = 1 =⇒ u 12 = 50.2u 13 = 0.2 =⇒ u 13 = 1l 21 = 11 · 5 + l 22 = 6.5 =⇒ l 22 = 1.51 · 1 + 1.5u 23 = 1.75 =⇒ u 23 = 0.5l 31 = 00 · 5 + l 32 = 2 =⇒ l 32 = 20 · 1 + 2 · 0.5 + l 33 = 2.25 =⇒ l 33 = 1.25Le matrici L e U sono:⎛0.2 0 0⎞⎛1 5⎞1L = ⎝ 1 1.5 0 ⎠ U = ⎝0 1 0.5⎠0 2 1.250 0 1(c) Si ha det A = detLU = detL detU = detL = 0.375. Quindi det(A −2 ) = det(A) −2 = 0.375 −2 = 7.11111111.(d) Da Ax = b si ha LU x = b.Si pone U x = y e si hanno i due sistemi da risolvere per sostituzione in avanti e all’indietro: Ly = b eU x = y.⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎧0.2 0 0 y 1 2.8 ⎪⎨ y 1 = 2.8/0.2 = 14⎝ 1 1.5 0 ⎠⎝y 2⎠ = ⎝19.25⎠ =⇒ y 2 = (19.25 − 14)/1.5 = 3.50 2 1.25 y 3 10.75⎪⎩y 3 = (10.75 − 2 · 3.5)1.25 = 3⎛ ⎞⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎧1 5 1 x 1 14 ⎪⎨ x 3 = 3⎝0 1 0.5⎠⎝x 2⎠ = ⎝3.5⎠ =⇒ x 2 = 3.5 − 3 · 0.5 = 20 0 1 x 3 3⎪⎩x 1 = 14 − 3 − 5 · 2 = 1Quindi x = (1, 2, 3) T .Esercizio 7.6.3 ⎛ È dato il sistema ⎞ lineare ⎛ Ax = ⎞ b dove:16 −8 420A = ⎝−8 20 4 ⎠ b = ⎝ 28 ⎠4 4 12.2528.25(a) Provare che la matrice è definita positiva.(b) Fattorizzare la matrice secondo Cholesky: A = LL T .(c) Usare la fattorizzazione per risolvere il sistema Ax = b e per calcolare det(A 3 ).Soluzione101

7. METODI DIRETTI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI(a) La matrice è simmetrica, definita positiva in quanto gli elementi della diagonale principale sono tuttipositivi e la matrice è diagonalmente dominante in senso stretto:16 > | − 8| + |4| = 1220 > | − 8| + |4| = 1212.25 > |4| + |4| = 8(b) Ponendo A = LL T si ricava:l 2 11 = 16 → l 11 = 4l 21 l 11 = −8 → l 21 = −2l 31 l 11 = 4 → l 31 = 1l 2 21 + l 2 22 = 20 → l 22 = 20 − 4 = 4l 21 l 31 + l 22 l 32 = 4 → l 32 = (4 + 2)/4 = 1.5l 2 31 + l 2 32 + l 2 33 = 12.25 → l 33 = 12.25 − 1 − 2.25 = 9 = 3La matrice L è dunque⎛4 0⎞0L = ⎝−2 4 0⎠1 1.5 3(c) Per risolvere il sistema Ax = b, adoperiamo il metodo di sostituzione in avanti e all’indietro risolvendoi sistemi: Ly = b e poi L T x = y.Il primo sistema dà:⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞4 0 0 y 1 20⎝−2 4 0⎠⎝y 2⎠ = ⎝ 28 ⎠1 1.5 3 y 3 28.25e otteniamo y 1 = 20/4 = 5, y 2 = (28 + 10)/4 = 9.5, y 3 = (28.25 − 5 − 14.25)/3 = 3.Nel risolvere il sistema L T x = y si ha⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞4 −2 1 x 1 5⎝0 4 1.5⎠⎝x 2⎠ = ⎝9.5⎠0 0 3 x 3 3da cui x 3 = 1, x 2 = (9.5 − 1.5)/4 = 2, x 1 = (5 − 1 + 4)/4 = 2, quindi x = (2, 2, 1).Inoltre, da det(A) = det(LL T ) = det(L) 2 = (4 · 4 · 3) 2 = 48 2 = 2304 e da det(A 3 ) = (det(A)) 3 si hadet(A 3 ) = 2304 3 = 12230590464.102

C A P I T O L O8METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIMi spiace ammettere che la materiache mi è piaciuta di meno è stata lamatematica. Ci ho pensato su, ecredo che la ragione sia che lamatematica non lascia spazio allediscussioni. Se fai un errore, nonpuoi scamparla.Malcom X8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2 Metodi iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.3 Norme di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.4 Norme di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.5 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.6 Metodi classici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.6.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.6.2 Controllo della convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.6.3 I metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.6.4 Convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.1 IntroduzioneL’equazione che governa la conduzione del calore in una piastra metallica piana, omogenea e isotropaprende il nome di equazione di Poisson e si scrive come∂ 2 T∂x 2 + ∂2 T f (x, y)=∂y2ρcK HSi tratta di un’equazione alle derivate parziali dove T [ o C ] è la temperatura, K H [m 2 /s] è il coefficiente di diffusivitàtermica, ρ [K g /m 2 ] è la densità della piastra, c [C al/K g o C ] è il calore specifico, f (x, y) [C al/m 2 s] è ilcalore aggiunto o sottratto alla piastra per unità di tempo e di area. In letteratura diverse tecniche numerichepermettono di risolvere il problema (ricordiamo i metodi alle differenze finite e i metodi agli elementi finiti),103

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIin determinati punti (detti nodi) della piastra. Qualunque sia il metodo utilizzato, si arriva ad un sistema diequazioni lineari del tipoHT = qdove H rappresenta la matrice di discretizzazione del metodo, T rappresenta il vettore delle temperature neinodi e q è il vettore dei termini noti che deriva dal metodo applicato.La matrice H puó avere una dimensione molto elevata ma ha la caratteristica di essere sparsa, cioè diavere pochi elementi diversi da zero per ogni riga.Per risolvere sistemi lineari di questo tipo, si preferisce usare metodi iterativi piuttosto che diretti. Inquesto Capitolo presentiamo alcuni dei metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.8.2 Metodi iterativiPer risolvere un sistema di equazioni lineari Ax = b, applicando un metodo diretto, e trascurando glierrori di arrotondamento, si ottiene la soluzione esatta del problema in un numero finito (e noto a priori)di operazioni. Nei metodi iterativi, invece, si parte da un’approssimazione iniziale che viene migliorata,mediante un procedimento iterativo, fino ad ottenere una approssimazione sufficientemente accurata dellasoluzione. L’idea di risolvere sistemi lineri con metodi iterativi risale ai tempi di Gauss (1823), ma solo conl’avvento dei computers (negli anni cinquanta) si può osservare il loro sviluppo, visto che diventa possibilerisolvere sistemi lineari dove la matrice A è sparsa e di grandi dimensioni – un particolare tipo di problemaimproponibile per i metodi diretti. Difatti, nei metodi diretti, il processo di eliminazione di Gauss (o ladecomposizione della matrice di partenza nel prodotto LU con L triangolare inferiore e U triangolare superiore)porta all’introduzione del cosiddetto fill-in, cioè a matrici L e U con elementi diversi da zero là dovela matrice di partenza A ha elementi nulli. I metodi diretti diventano quindi proibitivi perchè troppo costosiper quanto riguarda il numero di operazioni aritmetiche e l’occupazione di dati che devono essere salvati perl’implementazione numerica del metodo stesso. I metodi iterativi, al contrario, lavorano direttamente sullamatrice A e, dal momento che A viene coinvolta solo in termini di prodotti matrice-vettore, non c’è neanchebisogno di memorizzare tutta la matrice (in genere, quando la matrice è sparsa, si lavora su memorizzazioniin forma compatta delle matrici, memorizzando solo gli elementi non nulli che servono per il prodottomatrice-vettore).Quando abbiamo studiato gli zeri di funzione nel Capitolo 4, data un’approssimazione iniziale, si procedevanell’algoritmo iterativo fino a quando lo scarto tra due approssimazioni successive non diventavaminore di una prefissata tolleranza.Nel caso dei sistemi lineari, l’approccio è simile. Si parte da un vettore iniziale che approssima la soluzionedel sistema e, mediante un certo procedimento ricorsivo, si calcola una nuova approssimazione (unvettore). Dobbiamo dunque essere capaci di misurare lo scarto tra due vettori in modo da capire quando lasuccessione dei vettori generati dall’algoritmo tende al vettore soluzione del sistema lineare.A tal fine abbiamo bisogno di definire le norme di vettori e di matrici. Tratteremo solo norme di matrici evettori definite nello spazio dei numeri reali (e non complessi).NormaNorme 1, ∞,8.3 Norme di vettoriIl concetto di norma generalizza quello di valore assoluto (o modulo) di un numero reale (o complesso).Sia R n lo spazio dei vettori colonna di lunghezza n. La norma di un vettore x ∈ R n è una funzione, ‖ · ‖,definita in R n e a valori in R, che gode delle seguenti proprietà:‖x‖ > 0 per ogni x ≠ 0‖x‖ = 0 se e solo se x = 0‖αx‖ = |α|‖x‖ dove α è un reale (o complesso) arbitrarioG ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖Le principali norme vettoriali sono:2G Norma assoluta (o norma l 1 ), indicata con ‖ · ‖ 1 : ‖x‖ 1 = ∑ ni=1 |x i |G Norma massima (o norma infinito, l ∞ ), indicata con ‖ · ‖ ∞ : ‖x‖ ∞ = max 1≤i≤n |x i |104

8.3. Norme di vettoriFigura 8.1: Vettori in R 2 con norma unitaria nelle norme 1, ∞ e 2.G Norma euclidea (o norma l 2 ), indicata con ‖ · ‖ 2 : ‖x‖ 2 = √ ∑nx T x =i=1 |x i | 2Tra le norme 1, ∞ e 2 valgono le seguenti relazioni (che pongono un’equivalenza tra esse). Dato un vettorex ∈ R n :‖x‖ ∞ ≤ ‖x‖ 2 ≤ n‖x‖ ∞‖x‖ ∞ ≤ ‖x‖ 1 ≤ n‖x‖ ∞Esempio 8.3.1 Il vettore x = (1,5,−20) T ha norme:‖x‖ 1 = |1| + |5| + | − 20| = 26‖x‖ ∞ = max(|1|,|5|,| − 20|) = 20√‖x‖ 2 = (1 2 + 5 2 + (−20) 2 ) = 426 = 20.639767441Per la norma euclidea vale la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz:Diseguaglianzadi Cauchy-Schwarzx T y ≤ ‖x‖ 2 ‖y‖ 2Dati due vettori x e y ∈ R n , si definisce distanza tra i due vettori la norma della differenza tra i vettori.Quindi:Distanza travettori‖x − y‖ 1 =n∑|x i − y i |i=1‖x − y‖ ∞ = max |x i − y i |1≤i≤n√ n∑‖x − y‖ 2 = |x i − y i | 2i=1Il concetto di distanza serve per definire il limite di una successione di vettori.Data una successione di vettori in R n , x (k) , per k = 1,2,...,∞, si dice che la successione converge ad unvettore x di R n e si scrive lim k→∞ x (k) = x se, per ogni ɛ > 0, esiste un intero m tale che‖x (k) − x‖ < ɛ per tutti gli indici k ≥ mLimite di unasuccessionedi vettori105

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI8.4 Norme di matriciNormacompatibileNormanaturaletraccia di unamatriceAnalogamente alla definizione di norma vettoriale, la norma di matrici quadrate di dimensione n è unafunzione, che indichiamo con ‖ · ‖ che, per tutte le matrici A e B di dimensione n e per tutti i numeri reali (ocomplessi) α, soddisfa le seguenti proprietà:‖A‖ > 0 per ogni A ≠ 0‖A‖ = 0 se e solo se A = 0‖αA‖ = |α|‖A‖‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖G ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖Una proprietà importante che si richiede alle norme su matrici è che siano compatibili con norme vettoriali:la norma ‖A‖ di una matrice A si dice compatibile con la norma ‖x‖ di un vettore x se vale larelazione‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖Alcune norme su matrici sono generate da norme su vettori: si parla allora di norma naturale o indottadalla norma di vettori. In particolare, se ‖ · ‖ è una norma su vettori in R n , allora ‖A‖ = max ‖x‖=1 ‖Ax‖ è lanorma naturale o indotta dalla norma ‖ · ‖ su vettori.Le norme di matrici indotte dalla norma 1 e dalla norma infinito su vettori sono:G Norma 1: ‖A‖ 1 = max j∑ ni=1 |a i j | (data dal massimo sulla somma delle colonne)G Norma infinito: ‖A‖ ∞ = max i∑ nj =1 |a i j | (data dal massimo sulla somma delle righe)La norma di matrice indotta dalla norma 2 è più complicata e vedremo in seguito come è definita.È facile vedere che le norme naturali sono norme compatibili con la norma di vettori da cui sono costruite.Una norma di matrici, che non è indotta, ma compatibile con la norma 2 è la cosiddetta norma euclidea(o di Frobenius). Tenendo presente che, data una matrice A, si chiama traccia della matrice o tr (A) la sommadegli elementi della diagonale principale di A, la norma euclidea è data daG N (A) = √ tr (A T A) = √ √ ∑ntr (A A T ) =i=1|a i j | 2 .j =18.5 Autovalori e autovettoriData una matrice quadrata A di ordine n, se esiste un numero (reale o complesso) λ e un vettore x ≠ 0 talicheAx = λxAutovalore eautovettoreallora λ è un autovalore e x il corrispondente autovettore della matrice A.Scritta in maniera equivalente, la relazione definisce il sistema lineare(A − λI )x = 0Poichè x ≠ 0 e il termine noto del sistema è il vettore di tutti zeri, il determinante della matrice del sistemadeve necessariamente essere uguale a zero, cioè det(A − λI ) = 0.Lo sviluppo del determinante porta a un polinomio di grado n nell’incognita λ:λ n − tr (A)λ n−1 + ... + (−1) n det A = 0Polinomio Questo polinomio si chiama polinomio caratteristico. Le sue n radici, che chiamiamo λ 1 ,λ 2 ,...,λ n , sono glicaratteristico n autovalori della matrice A.Per le proprietà dei polinomi vale:106n∑λ i = tr (A) = a 11 + a 22 + ... + a nni=1en∏λ i = det AAlcune proprietà sugli autovalori e autovettori sono le seguenti:i=1

8.5. Autovalori e autovettoriFigura 8.2: Autovalori e autovettoriG Se λ è autovalore della matrice A, allora λ k è autovalore della matrice potenza A k (cioè A · A ··· A kvolte).G Gli autovalori di una matrice A e della sua trasposta A T sono gli stessi (ma gli autovettori sono, ingenere, diversi).G Se A e B sono due matrici arbitrarie regolari, allora gli autovalori di AB sono gli stessi di B A.Se x è un autovettore associato alla matrice A, allora Ax = λx: la matrice A trasforma il vettore x in unvettore le cui componenti sono moltiplicate per λ: se λ > 1, allora A ha l’effetto di allungare x di un fattore λ;se invece 0 < λ < 1, allora x si restringe di un fattore λ; gli effetti sono simili, ma il verso del vettore risultanteAx è opposto, quando λ < 0. I quattro casi che si possono presentare sono illustrati in Figura 8.2.Altre proprietà da tenere presenti sono le seguenti:G Se tutti gli n autovalori di una matrice A sono distinti, allora gli n autovettori u (1) , u (2) ,...u (n) sonolinearmente indipendenti 1G Se A è una matrice simmetrica reale definita positiva, allora i suoi autovalori sono tutti reali e positivi.Introduciamo ora il raggio spettrale di una matrice A .Definizione 8.5.1 Il raggio spettrale ρ(A) di una matrice A è definito daρ(A) = max |λ|λ autovalore di AQuindi il raggio spettrale è il massimo, in modulo, degli autovalori di A (ricordiamo che se λ è uncomplesso, λ = α + iβ, con i = −1, si ha |λ| = √ α 2 + β 2 ).Possiamo ora definire la norma 2 su matrici indotta dalla norma 2 su vettori. Si può, infatti, provare che√G ‖A‖ 2 = ρ(A T A).Inoltre, per ogni norma naturale, vale il risultatoρ(A) ≤ ‖A‖Nello studiare i metodi iterativi per risolvere i sistemi lineari, sarà di particolare importanza sapere quandole potenze di una matrice tendono alla matrice nulla. Matrici A, per cui (A k ) i j → 0 per k → ∞, qualunquesia i , j = 1,2,...,n, (consideriamo A · A ··· A k volte e gli elementi della matrice risultante tendono a zero perk → ∞) si dicono matrici convergenti. Diciamo che una matrice A di dimensione n è convergente selimk→∞ (Ak ) i j = 0, i , j = 1,2,...,nSi ha il seguente teorema.RaggiospettraleNorma 2 sumatriciMatriceconvergenteTeorema 8.5.1 Data una matrice A di dimensione n, sono equivalenti le seguenti proposizioni1. A è una matrice convergente.2. lim k→∞ ‖A k ‖ = 0, per qualche norma naturale.3. lim k→∞ ‖A k ‖ = 0, per tutte le norme naturali.4. ρ(A) < 1.5. lim k→∞ A k x = 0, qualunque sia il vettore x.1 Dati n vettori linearmente indipendenti di R n , u (1) , u (2) ,...u (n) , ogni vettore di R n si può scrivere come una loro combinazionelineare. Quindi esistono n coefficienti α 1 ,α 2 ,...,α n per cui x = α 1 u (1) +α 2 u (2) +...+α n u (n) . Inoltre, per vettori linearmente indipendentivale il risultato: α 1 u (1) + α 2 u (2) + ... + α n u (n) = 0 se e solo se tutti i coefficienti α i sono uguali a zero, per i = 1,2,...,n.107

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI8.6 Metodi classiciI metodi iterativi classici per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari del tipo Ax = b si basano suun’idea molto semplice.G Si parte da un’approssimazione iniziale x (0) , commettendo un’errore e (0) = x − x (0) . L’errore e (0) è soluzionedel sistema Ae (0) = b − Ax (0) = r (0) , dove r (0) è il residuo (ciò che resta fuori, ci dice di quanto ilvettore Ax (0) si discosta da b).G Successivamente si definisce il passo x (1) come x (1) = x (0) + p (0) , dove ora p (0) è soluzione del sistemaMp (0) = r 0 , in cui la matrice M sia più semplice della A e, allo stesso tempo, M −1 approssimi in qualchemodo A −1 .G Il procedimento viene iterato fino a convergenza.Da queste richieste tra loro contradditorie, si sviluppa una strategia che ci porta alla soluzione esatta x comelimite della successione dei valori approssimati x (k) .Il processo iterativo si legge, infatti, come:x (k+1) = x (k) + M −1 (b − Ax (k) ) k = 0,1,....O, equivalentemente,x (k+1) = (I − M −1 A)x (k) + M −1 b k = 0,1,...Notiamo che, ad ogni passo, non dobbiamo calcolare esplicitamente M −1 , perchè risolviamo problemi deltipo Mp (k) = r (k) = b − Ax (k) in modo da porre x (k+1) = x (k) + p (k) . La matrice E = I − M −1 A è detta matrice diiterazione del metodo. Nel seguito, per semplicità, poniamo q = M −1 b.Lo schema iterativo appena descritto è un metodo stazionario (cioè non dipende dall’iterazione k) epuò essere visto come caso particolare di uno schema di punto fisso per equazioni nonlineari: la funzioneg tale che x (k+1) = g (x (k) ) converga alla soluzione del sistema Ax = b, è data da g (x) = x + M −1 (b − Ax) oequivalentemente da g (x) = Ex (k) + q.8.6.1 ConvergenzaPer studiare la convergenza di un metodo iterativo, consideriamo, per ogni vettore x (k) , il residuo r (k) =b − Ax (k) e l’errore e (k) = x − x (k) . Osserviamo che si ha la relazione r (k) = Ae (k) . InfattiAe (k) = A(x − x (k) ) = Ax − Ax (k) = b − Ax (k) = r (k)Lo schema converge quando la successione x (k) converge alla soluzione x per k → ∞, ovvero quandolim k→∞ e (k) = 0 qualunque sia il vettore iniziale x (0) .Consideriamo lo schema iterativo x (k+1) = Ex (k) + q.È facile vedere che per la soluzione esatta x vale la relazione x = Ex + q.Consideriamo x − x (k) . Si hax = Ex + qx (k) = Ex k−1 + qe sottraendo si ricavae (k) = Ee (k−1)La relazione appena trovata vale, alla stessa maniera, tra l’errore e (k−1) e l’errore e (k−2) per cui possiamoscrivere e (k−1) = Ee (k−2) .Scriviamo queste relazioni dall’iterazione k fino ad arrivare all’iterazione 0.108

8.6. Metodi classicie (k) = Ee (k−1)e (k−1) = Ee (k−2)e (k−2) = Ee (k−3). = . . .e (2) = Ee (1)e (1) = Ee (0)Partendo, ora, dalla prima relazione e, andando a sostituire, ogni volta, a secondo membro, la relazionesuccessiva, si ha:e (k) = Ee (k−1) = E(Ee (k−2) ) = E 2 e (k−2) = E 2 (Ee (k−3) ) = E 3 e (k−3) = ... = E k e (0)Osserviamo che E k rappresenta la potenza k della matrice E, cioè la E · E ···E k volte.Il metodo converge se e (k) → 0 per k → ∞. Poichè l’errore iniziale è arbitrario, si ha che lim k→∞ e (k) =lim k→∞ E k e (0) = 0 se e solo se lim k→∞ E k = 0.Per il teorema sulla convergenza di matrici (si veda pag. 107), questo si ha se e solo se ρ(E) < 1. Si puòdunque stabilire il seguente teorema.Teorema 8.6.1 Lo schema iterativox (k+1) = Ex (k) + q k ≥ 0converge qualunque sia il vettore iniziale x 0 al vettore x = Ex + q = A −1 b se e solo se ρ(E) < 1.Questo risultato lo si può provare facilmente, nel caso in cui la matrice di iterazione E abbia n autovaloridistinti e, quindi, possieda n autovettori linearmente indipendenti, per cui l’errore iniziale e (0) si può scriverecome e (0) = α 1 u (1) + α 2 u (2) + ... + α n u (n) , dove α 1 ,α 2 ,...,α n sono delle costanti, mentre u (1) , u (2) ...u (n) sonogli autovettori associati, rispettivamente, a λ 1 , λ 2 ,...,λ n . Supponiamo che gli autovalori siano in ordine decrescentein modulo, cioè: |λ 1 | > |λ 2 | > ... > |λ n |, per cui ρ(E) = |λ 1 |. In tal caso si può scrivere (ricordandoche, se λ è un autovalore associato alla matrice A, con u un autovettore ad esso associato, si ha A k u = λ k u)e (k) = E k e (0) = E k (α 1 u (1) + α 2 u (2) + ... + α n u (n) )= α 1 E k u (1) + α 2 E k u (2) + ... + α n E k u (n)= α 1 λ k 1 u(1) + α 2 λ k 2 u(2) + ... + α n λ k n u(n)mettiamo in evidenza λ k 1(= λ k 1α 1 u (1) + α 2λ k 2λ k 1)u (2) λ k n+ ... + α nλ k u (n)1per k → ∞ si ha λk iλ k → 0 per i = 2,3,...,n1≈ λ k 1 α 1u (1)Perciò lim k→∞ e (k) = lim k→∞ λ k 1 α 1u (1) = 0 se e solo se λ k 1 → 0 e questo si ha se e solo se |λ 1| < 0. Ma |λ 1 | = ρ(E):ritroviamo il risultato visto prima.109

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI8.6.2 Controllo della convergenzaOltre a sapere che lo schema iterativo converge, è importante conoscere quanto velocemente lo schemaconverge. A tal proposito osserviamo che, in condizioni asintotiche (per k → +∞) vale il seguente risultato 2‖e (k) ‖ ≈ ρ(E) k ‖e (0) ‖ (8.1)Scrivendo l’equazione (8.1) per l’iterazione k − 1 e facendo il rapporto tra le norme degli errori a due passisuccessivi si ha:‖e (k) ‖‖e (k−1) ‖ ≈ ρ(E)Ricaviamo, quindi, che il metodo iterativo ha convergenza lineare con costante asintotica uguale al raggiospettrale della matrice di iterazione.Ci chiediamo se è possibile stabilire a priori quante iterazioni occorrono per ridurre la norma dell’erroreiniziale di un certo fattore, ad esempio 10 (il che vuol dire ridurre l’errore di un ordine di grandezza). Vogliamodunque capire quale deve essere il valore di k per cui ‖e (k) ‖ = ‖e(0) ‖10 . Ma ‖e(k) ‖ ≈ ρ(E) k ‖e (0) ‖ da cui‖e (0) ‖10 ≈ ρ(E)k ‖e (0) ‖ =⇒ 110 ≈ ρ(E)kApplicando il logaritmo in base 10 ad ambo i membri si ha1−1 ≈ k log 10 (ρ(E)) =⇒ k ≈ −log 10 (ρ(E))Velocitàasintotica diconvergenzacioè occorrono k iterazioni con k dato dal più piccolo intero che soddisfa la relazione appena scritta. Menoiterazioni occorrono fare, più veloce è il metodo.Si definisce perciò velocità asintotica di convergenzaR = −log 10 (ρ(E)) = −log 10 (ρ(E k ))kOsserviamo che, essendo ρ(E) < 1, nelle ipotesi in cui il metodo converge, log 10 (ρ(E)) < 0 e, di conseguenza,R > 0. Se vogliamo ridurre l’errore iniziale di una certa quantità ɛ, rifacendo i conti come prima, da una partevogliamo che sia ‖e (k) ‖ ≤ ɛ‖e (0) ‖, dall’altra sappiamo che ‖e (k) ‖ ≈ ρ(E) k ‖e (0) ‖. Uguagliando i termini abbiamoρ(E) k ‖e (0) ‖ ≤ ɛ‖e (0) ‖ =⇒ ρ(E) k ≤ ɛPassando ai logaritmi (di quantità minori di uno) si hak log 10 (ρ(E)) ≤ log 10 (ɛ) =⇒ −k log 10 (ρ(E)) ≥ −log 10 (ɛ) =⇒ k ≥ −log 10 (ɛ)RTroviamo in questo modo quante iterazioni (il primo intero k che verifica la relazione precedente) occorrefare per poter ridurre l’errore iniziale di ɛ.Se si traccia un grafico semilogaritmico del profilo di convergenza dello schema iterativo, ponendo sull’assedelle ascisse il numero delle iterazioni e sull’asse delle ordinate la norma dell’errore, si può vedere chela velocità asintotica di convergenza è legata alla pendenza della retta. Infatti, riconducendoci, per semplicità,al caso in cui la matrice di iterazione abbia n autovalori distinti tra loro e ordinati in senso crescente, dallarelazione (vista a pag. 109)e (k) ≈ λ k 1 α 1u (1)2 Questa relazione vale anche per matrici con autovalori non distinti tra loro.110

8.6. Metodi classiciFigura 8.3: La matrice A come somma delle matrici L, D e U .passando alle norme e ai logaritmi in base 10 si halog 10 ‖e (k) ‖ ≈ k log 10 |λ 1 | + costanteLa pendenza del grafico è l’opposto della velocità asintotica di convergenza R.Nel caso in cui non è nota la soluzione esatta x, poichè ‖e (k) ‖ ≈ ‖x (k) − x (k−1) ‖ = ‖d (k) ‖ (valgono le stesseconsiderazioni viste per gli schemi iterativi per funzioni non lineari a pag. 53), ritroviamo lo stesso risultatosul profilo di convergenza semilogaritmico in cui si pone sull’asse delle ascisse il numero delle iterazioni esull’asse delle ordinate la norma degli scarti.8.6.3 I metodiSi scriva la matrice A come somma della matrice che ha i soli elementi diagonali di A (che chiamiamoD), della matrice costituita dai soli elementi della parte triangolare bassa di A (che chiamiamo L) e dai solielementi della parte triangolare alta di A (che denotiamo con U ),A = L + D +UIn questo modo è facile ricavare i metodi iterativi di Jacobi, Gauss-Seidel e di rilassamento, che sono i metodiiterativi classici per la soluzione di sistemi lineari.Il metodo di JacobiIl metodo di Jacobi 3 (o degli spostamenti simultanei - o rilassamento simultaneo) si ha ponendo M = Dda cui la matrice di iterazione diventa E J = I − D −1 A = I − D −1 (L + D +U ) = −D −1 (L +U ).Scrivendo lo schema iterativo per Jacobi, si ha, in forma matriciale:x (k+1) = E J x (k) + D −1 bx (k+1) = −D −1 (L +U )x (k) + D −1 bComponente per componente, lo stesso metodo si scrive, per i = 1,2,...,n, comex (k+1)i=(D −1 ) i i1a i i⇑o, equivalentemente,⎡⎢⎣ b i −((L+U )x (k) ) in∑j =1,j ≠i⇑⎤a i j x (k)⎥j ⎦3 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) fu un grande matematico tedesco. Tra i suoi numerosi studi ricordiamo quelli sulle funzioniellittiche, sulla teoria dei numeri e sulla meccanica celeste.111

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIx (k+1)i=(D −1 ) i i1a i i⇑⎡⎢⎣ b i −(Lx (k) ) ii−1∑j =1a i j x (k)j⇑−n∑(U x (k) ) ij =i+1⇑⎤a i j x (k)⎥j ⎦per i = 1,...,nLa formula la si può ricavare direttamente, scrivendo, equazione per equazione, il sistema da risolvereAx = b:a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n = b 2. = . . .a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 + ... + a i n x n = b i. = . . .a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn x n = b nDalla prima equazione “isoliamo” la prima incognita rispetto a tutte le altre; dalla seconda equazione“isoliamo” la seconda incognita e così via per le altre equazioni, ottenendo:a 11 x 1 = b 1 − (a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n )a 22 x 2 = b 2 − (a 21 x 1 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n ). = . . .a i i x i = b i − (a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a i i−1 x i−1 + a i i+1 x i+1 + ... + a i n x n ). = . . .a nn x n = b n − (a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn−1 x n−1 )Dividendo l’i -sima equazione per il coefficiente a i i , per i = 1,2,...,n, ricaviamox 1 = 1 [b 1 − (a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1n x n )]a 11x 2 = 1 [b 2 − (a 21 x 1 + a 23 x 3 + ... + a 2n x n )]a 22 . = . .x i = 1 [b i − (a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ... + a i i−1 x i−1 + a i i+1 x i+1 + ... + a i n x n )]a i i . = . .x n = 1a nn[b n − (a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ... + a nn−1 x n−1 )]Se pensiamo di partire da un vettore inziale x (0) , il vettore x (1) si ottiene dalle equazioni precedenti, ponendoa secondo membro di ciascuna equazione le componenti del vettore x (0) . Si ricava, in tal modo, laformula ricorsiva dello schema di Jacobi:112

8.6. Metodi classicix (k+1)1= 1 [ ()]b 1 − a 12 x (k)2+ a 13 x (k)3+ ... + a 1n x n(k)a 11)]x (k+1)2= 1a 22[b 2 −. = . . .x (k+1)i= 1a i i[b i −. = . . .x (k+1)n = 1a nn[b n −(a 21 x (k)1+ a 23 x (k)3+ ... + a 2n x n(k)()]a i 1 x (k)1+ a i 2 x (k)2+ ... + a i i−1 x (k)i−1 + a i i+1x (k)i+1 + ... + a i n x n(k)()]a n1 x (k)1+ a n2 x (k)2+ a n3 x (k)3+ ... + a nn−1 x (k)n−1Ritroviamo, dunque, la formula scritta prima in forma compatta.La formula in funzione del residuo r (k) = b − Ax (k) è data invece da x (k+1) = x (k) + D −1 r (k) .Il Metodo di Gauss-SeidelNell’algoritmo di Gauss-Seidel 4 si pone M = D + L ottenendo la matrice E S = I − (D + L) −1 A = I − (D +L) −1 (L + D +U ) = −(D + L) −1 U . Lo schema iterativo è:x (k+1) = E S x (k) + (D + L) −1 bMoltiplicando ambo i membri per (D + L) si hada cui(D + L)x (k+1) = b −U x (k)Dx (k+1) = b − Lx (k+1) −U x (k)x (k+1) = D −1 ( b − Lx (k+1) −U x (k))Componente per componente si ha[x (k+1) = 1ia i ii−1 ∑b i −j =1a i j x (k+1)j−n∑j =i+1a i j x (k)j]per i = 1,...,nIl metodo è detto anche degli spostamenti successivi, in quanto il calcolo delle componenti del vettorex (k+1) è fatto utilizzando le componenti già calcolate del vettore stesso. Infatti, per i > 1, è ragionevole pensareche i valori già calcolati x (k+1)1, x (k+1)2,..., x (k+1) possano essere utilizzati per dare una migliore approssimazionedel valore x (k+1) . Dalle equazioni del sistema, ragionando come per il metodo di Jacobi, possiamo quindii−1i4 Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) fu un matematico tedesco. Il suo lavoro più importante riguarda le aberrazioni ottiche.113

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIscrivere:()a 11 x (k+1)1= b 1 − a 12 x (k)2+ a 13 x (k)3+ ... + a 1n x n(k)()a 22 x (k+1)2= b 2 − a 21 x (k+1)1+ a 23 x (k)3+ ... + a 2n x n(k). = . . .a i i x (k+1) = bii −. = . . .a nn x n(k+1) = b n −(a i 1 x (k+1)1+ a i 2 x (k+1)2+ ... + a i i−1 x (k+1)i−1)+ a i i+1 x (k)i+1 + ... + a i n x n(k)()a n1 x (k+1)1+ a n2 x (k+1)2+ a n3 x (k+1)3+ ... + a nn−1 x (k+1)n−1Dividendo ambo i membri dell’equazione i -sima per a i i (per i = 1,2,...,n) si ha:x (k+1)1= 1 [ ()]b 1 − a 12 x (k)2+ a 13 x (k)3+ ... + a 1n x n(k)a 11x (k+1)2= 1a 22[b 2 −. = . . .x (k+1)i= 1a i i[b i −. = . . .x (k+1)n = 1a nn[b n −(a 21 x (k+1)1+ a 23 x (k)3+ ... + a 2n x n(k)(a i 1 x (k+1)1+ a i 2 x (k+1))]2+ ... a i i−1 x (k+1)i−1)]+ a i i+1 x (k)i+1 + ... + a i n x n(k)()]a n1 x (k+1)1+ a n2 x (k+1)2+ a n3 x (k+1)3+ ... + a nn−1 x (k+1)n−1Usando il residuo, lo schema di Gauss-Seidel si scrive comex (k+1) = x (k) + (D + L) −1 r (k)Il metodo di rilassamentoCiascuno dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel può essere anche rilassato tramite un fattore ω scrivendox (k+1) = x (k) + ω(x (k+1)nonr i l − x(k) ) o, in maniera del tutto equivalente, x (k+1) = ωx (k+1)nonr i l + (1 − ω)x(k) , dove x (k+1)nonr i lè l’approssimazione del vettore x ottenuta tramite il metodo di Jacobi o di Gauss-Seidel.A differenza del metodo di Jacobi rilassato, che non produce effettivi miglioramenti rispetto al metodonon rilassato, il metodo di Gauss-Seidel rilassato può produrre un metodo molto più veloce in termini diconvergenza e, quindi, preferibile rispetto al metodo senza rilassamento. Come metodo di rilassamento,dunque, consideriamo il metodo di rilassamento ottenuto da Gauss-Seidel. Per scelte di ω nell’intervallo]0,1[ si parla di metodo Sotto-Rilassato, o Under-Relaxation (e in genere è usato per ottenere convergenzanella soluzione di sistemi che non convergono con il metodo di Gauss-Seidel). Per valori di ω nell’intervallo[1,2[ si ha, invece, il metodo noto come metodo di sovra-rilassamento o SOR (Successive Over-Relaxation) –usato per accelerare la convergenza in sistemi che sono convergenti con il metodo di Gauss-Seidel.Lo schema di rilassamento, è dato dax (k+1) = (1 − ω)x (k)i+ ω i−1 ∑[bi i −a i ij =1a i j x (k+1)j−n∑j =i+1a i j x (k)j]per i = 1,...,n114

8.6. Metodi classiciLa matrice di iterazione del metodo di rilassamento si ricava scrivendo in forma matriciale l’algoritmoappena descrittox (k+1) = (1 − ω)x (k) + ωD −1 ( b − Lx (k+1) −U x (k))x (k+1) = [ (1 − ω)I − ωD −1 U ] x (k) − ωD −1 Lx (k+1) + ωD −1 b(I + ωD −1 L)x (k+1) = [ (1 − ω)I − ωD −1 U ] x (k) + ωD −1 bMoltiplicando ambo i membri per D, si ricavaLa matrice di iterazione del metodo è dunqueE = (D + ωL) −1 [(1 − ω)D − ωU ]E = (D + ωL) −1 [(1 − ω)D − ω(A − D − L)]E = (D + ωL) −1 [(D + ωL) − ωA]E = [ I − ω(D + ωL) −1 A ](D + ωL)x (k+1) = [(1 − ω)D − ωU ] x (k) + ωbA questo punto, ci si può chiedere quale sia l’ω ottimale nel metodo di rilassamento. L’ω ottimale è quelloche fa sì che il metodo di rilassamento converga nel minor numero di iterazioni (quindi, l’ω ottimale rendeminimo il raggio spettrale della matrice di iterazione). Vedremo, per particolari matrici A, quando è possibilestabilire a priori quale sia l’ω ottimale per risolvere il sistema lineare Ax = b.8.6.4 Convergenza dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamentoLe matrici di iterazione dei tre metodi appena descritti sono scritte in Tabella 8.6.4 Perchè ci siametodo matriceJacobi E J = I − D −1 A = −D −1 (L +U )Gauss-Seidel E S = I − (D + L) −1 A = −(D + L) −1 Urilassamento E ω = I − ω(D + ωL) −1 ATabella 8.1: Matrici di iterazione dei metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamentoconvergenza, il raggio spettrale della matrice di iterazione deve essere minore di uno.Per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel si può provare la convergenza del metodo, se la matrice A ha unadelle seguenti caratteristiche:G A è diagonalmente dominante in senso strettoG A è a diagonalmente dominante (per righe o per colonne) ed è irriducibile 5 .Si ha inoltre, questo risultato:G se A è simmetrica non singolare con elementi principali reali e positivi, allora il metodo di Gauss-Seidelè convergente se e solo se A è definita positiva.Per quanto riguarda il metodo di rilassamento, condizione necessaria per la convergenza è |ω − 1| < 1, cioèω deve appartenere all’intervallo [0,2] ( per 0 < ω < 1 si ha sotto-rilassamento e per 1 ≤ ω < 2 si ha sovrarilassamento).( )5 P Qcioè non può essere messa sotto la forma R115

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIDifatti il determinante della matrice di iterazione del metodo di rilassamento vale 6 detE ω = (1 − ω) n e,poichè il prodotto degli autovalori di una matrice è uguale al determinante della matrice stessa, segue 7 cheil raggio spettrale della matrice sarà maggiore o uguale a |1 − ω| Quindi, se |1 − ω| > 1, sicuramente il metododi rilassamento non convergerà. Perciò, condizione necessaria per la convergenza è |1 − ω| < 1.Si ha questo importante teorema.Teorema 8.6.2 (Ostrowski-Reich) Se A è definita positiva e ω è un numero reale nell’intervallo ]0,2[, allora ilmetodo di rilassamento è convergente.G La convergenza del metodo di rilassamento si ha, inoltre, per A simmetrica con elementi diagonalipositivi ed elementi extra-diagonali negativi o nulli, se e solo se A è definita positiva.Un altro interessante teorema mette in relazione il metodo di rilassamento con i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel, sia per quanto riguarda la convergenza, sia per quanto riguarda il valore ottimale del parametro ω, incorrispondenza di matrici A che godono della cosidetta proprietà A e che siano coerentemente ordinate.Definizione 8.6.1 Una matrice A, di dimensione n, si dice che ha proprietà A se esiste una matrice dipermutazione P tale che la matrice PAP T abbia la forma( )PAP T D1 A 1=A 2 D 2dove D 1 e D 2 sono matrici diagonali.Una matrice con proprietà A si dice biciclica.Equivalentemente, una matrice A, di dimensione n, ha proprietà A se l’insieme dei numeri naturali{1,2,...,n} può essere scomposto in due sottoinsiemi non vuoti e complementari 8 S e T in modo tale chei coefficienti non nulli a i j ≠ 0 si hanno per i = j oppure per i ∈ S e j ∈ T oppure per i ∈ T e j ∈ S.Esempio 8.6.1 La matrice tridiagonale⎛⎞2 −1 0 0A = ⎜−1 2 −1 0⎟⎝ 0 −1 2 −1⎠0 0 −1 2ha proprietà A (o è biciclica): permutando la prima e quarta riga e la prima e quarta colonna, mediante la⎛⎞0 0 0 1matrice di permutazione P = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 1 0⎠ si ha1 0 0 0⎛⎞2 0 −1 0( )PAP T = ⎜ 0 2 −1 −1⎟2 0⎝−1 −1 2 0 ⎠ =⇒ D 1 = D 2 =0 20 −1 0 2Possiamo scegliere S = {1,3} e T = {2,4}.6 Dalla definizione di E ω si ha detE ω = det[(D + ωL) −1 ((1 − ω)D − ωU )]. Poichè il determinante del prodotto di due matrici è ugualeal prodotto dei determinanti delle matrici stesse, si ha detE ω = det[(D + ωL) −1 ]det[(1 − ω)D − ωU )] = detD −1 (1 − ω) n detD. Si arrivaa questo risultato, tenendo presente il fatto che il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi delladiagonale principale.7 Infatti, considerando λ i autovalore della matrice E ω , per i = 1,2,...,n e ρ(E ω ) il raggio spettrale, si ha detE ω = ∏ ni=1 λ i ≤∏ ni=1 ρ(E ω) = ρ(E ω ) n da cui segue (1 − ω) n ≤ ρ(E ω ) n , cioè ρ(E ω ) ≥ (1 − ω).8 Due insiemi S e T non vuoti si dicono complementari di V = {1,2,...,n} se S ≠ , T ≠ , S ∪ T = V e, inoltre, se i ∈ S,i ∉ T e,viceversa, se j ∈ T, j ∉ S116

8.7. EserciziDefinizione 8.6.2 Una matrice si dice coerentemente ordinata in relazione ad un vettore di ordinamento q, dilunghezza n, se per ogni coefficiente a i j non nullo, con i ≠ j , si verifica:G se j > i allora q j − q i = 1G se j < i allora q j − q i = −1Un’altra definizione di matrice con coerente ordinamento considera la matrice A data non dalla scomposizioneA = L + D +U che abbiamo visto fino ad ora ma come A = D(L A + I +U A ), (osserviamo che, rispettoalla prima scomposizione, abbiamo messo in evidenza la matrice diagonale D e quindi le matrici triangolarisuperiore e inferiore sono L A = D −1 L e U A = D −1 U ). Sia D non singolare. Allora la matrice A è dettacoerentemente ordinata se gli autovalori della matrice J(α) = αL A + α −1 U A , con α ≠ 0 sono indipendenti dalparametro α.( )D1 A 1Le matrici con proprietà A (o bicicliche) nella forma A =(P = I nella definizione di proprietàA 2 D 2A) sono coerentemente ordinate.Le matrici tridiagonali sono un esempio di matrici bicicliche e coerentemente ordinate.Per il metodo di rilassamento si può provare il seguente risultato.Teorema 8.6.3 (Young) Se A è una matrice con proprietà A e coerente ordinamento e 0 < ω < 2, allora:G se µ è autovalore di E J , ogni λ che verifica la relazione (λ + ω − 1) 2 = λω 2 µ 2 è autovalore di E ωG se λ è autovalore non nullo di E ω , allora ogni µ che verifica la relazione precedente è autovalore di E JG se gli autovalori di E J sono reali e il metodo di Jacobi converge (ρ(E J ) < 1), esiste uno ed uno solo ω optche rende ottimale il metodo di rilassamento, tale cioè che ρ(ω opt ) = min 0

8. METODI ITERATIVI PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARIQuindi se proviamo che lo schema di Jacobi converge, cioè che l’autovalore di massimo modulo dellamatrice di Jacobi è reale e in modulo minore di 1, allora, poichè per matrici bicicliche e coerentementeordinate vale µ 2 = λ, dove λ è l’autovalore di massimo modulo della matrice di Gauss-Seidel, alloraanche il metodo di Gauss-Seidel convergerà alla soluzione (da µ < 1 segue µ 2 < 1). La matrice di Jacobiè E J = I − D −1 A cioè⎛⎞ ⎛⎞0 −2/8 −6/8 0 −1/4 −3/4E J = ⎝det(E J − µI ) = 0.−7/5 0 0−1/5 0 0⎠ = ⎝−7/5 0 0−1/5 0 0−µ −1/4 −3/4−7/5 −µ 0∣−1/5 0 −µ ∣ = −µ3 + 3 4 · 15 µ + 1 4 · 75 µ = 0Si ha: 0 = det(E J − µI ) = −µ 3 + ( 320 + 720 )µ,Una radice è µ = 0, e le altre due sono µ = ± 1/2 = ± 0.5 = 0.707106781.Gli autovalori sono tutti reali e quello di massimo modulo è µ = 0.707106781 < 1.C’è, dunque, convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel (λ = µ 2 = 0.5). Le velocità diconvergenza valgonoR J = −log 10 (µ) = 0.1505149R S = −log 10 (λ) = 0.301029995 = −log 10 (µ 2 ) = 2R J⎠(b)Lo schema di Jacobi è:⎧x (k+1)1= 1 (30 − 2x(k)2− 6x (k)38 )⎪⎨⎪⎩3= 1 2 1.0 1.55 0.65(7 − x(k)15 Partendo dal vettore x (0) con componentitutte nulle, abbiamok x 1 (k)x 2 (k)x 3 (k)0 0 0 01 3.75 6.8 1.4x (k+1)2= 1 (34 − 7x(k)15 )x (k+1)Lo schema di Seidel è:⎧⎪⎨⎪⎩x (k+1)1= 1 (30 − 2x(k)2− 6x (k)38 )x (k+1)2= 1 (34 − 7x(k+1)1)5x (k+1)3= 1 5(7 − x(k+1)1)Partendo dal vettore x (0) con componentitutte nulle, abbiamok x (k)1x (k)2x (k)30 0 0 01 3.75 1.55 0.652 2.875 2.775 0.825Esercizio 8.7.2 ⎛ Dato⎞il sistema Ax = b con5 0 10A = ⎝0 3 15⎠2 1 α(a) dire per quali valori di α il metodo di Jacobi converge.(b) trovare il valore di α in corrispondenza del quale il metodo SOR ha un valore di omega ottimo ω opt =3/2. Per tale valore trovare la velocità asintotica di convergenza del metodo SOR.118

8.7. EserciziSvolgimento(a) La matrice dipende dal parametro α quindi a priori non possiamo dire se Jacobi converge o meno.Scriviamo la matrice di iterazione del metodo di Jacobi come⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞1/5 0 0 0 0 10 0 0 −2E J = −D −1 (L +U ) = −⎝0 1/3 0 ⎠⎝0 0 15⎠ = ⎝ 0 0 −5⎠0 0 1/α 2 1 0 −2/α −1/α 0Gli autovalori si calcolano imponendo det(E J − µI ) = 0, vale a dire−µ 0 −20 −µ −5∣−2/α −1/α −µ ∣ = 0 vale a dire − µ3 + 9µ α = 0Ricaviamo gli autovalori µ = 0 e µ = ± 3 α.Perchè ci sia convergenza deve dunque essere 3 α< 1 ovvero 3 < α. Ricaviamo la relazione α > 9.(b) Dalla relazione dell’ω opt , ω opt =ordinata, si ha:√21+ 1−µ 2 J, valida perchè la matrice è biciclica e coerentemente21 + 1 − 9/α = 3 2 =⇒ 1 3 = 1 − 9/α =⇒ −89 = − 9 α =⇒ α = 81 8 = 10.125Da ω opt = 3 2 = 1.5 segue λ opt = ω opt − 1 = 0.5, da cui R = −log 10 (λ opt ) = 0.3010299957.119

C A P I T O L O9INTEGRAZIONE NUMERICADio non si preoccupa delle nostredifficoltà matematiche. Lui integraempiricamente.Albert Einstein9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.2 Formula dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.3 Formule di Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.3.1 Formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3.2 Sull’errore della formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.4 Formule composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.4.1 Formula composta dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.4.2 Confronti tra la formula dei trapezi e di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.5 Estrapolazione di Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.6 Approssimazione di Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.7 Introduzione alle formule di quadratura di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.7.1 Proprietà delle formule di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.7.2 Formule di Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.7.3 Altre formule di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.7.4 Applicazione delle formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.7.5 Sulla funzione peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.1 IntroduzioneUn’automobile effettua il giro di una pista in 84 secondi. La velocità dell’auto viene misurata ogni 6 secondiusando un’apparecchiatura radar per il controllo della velocità, e si hanno i valori messi in Tabella 9.1In base ai dati in possesso, quanto è lunga la pista?Sapendo che la velocità v si può scrivere come v(t) = d s (dove s rappresenta lo spostamento e t il tempo),d tper calcolare la lunghezza della pista (lo spostamento effettuato dall’auto), dobbiamo integrare tra il tempo121

9. INTEGRAZIONE NUMERICATempo 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84Velocità 38 41 45 48 45 41 37 33 30 26 24 27 32 35 37Tabella 9.1: Dati della velocità misurati ogni 6 secondi. Il tempo è espresso in secondi e la velocità è data inmetri al secondo.iniziale e quello finale la velocità.∫ 840∫ s(84)∫d s s(84)v(t)d t =s(0) d t d t = d ss(0)Essendo s(0) = 0 e s(84) = L la lunghezza della pista, si ha∫ 840v(t)d t =∫ s(84)s(0)d s = LQuindi, se riusciamo a risolvere l’integrale in cui la funzione integranda è la velocità, per le uguaglianzedate, sapremo dire quanto vale L, essendo∫ 840v(t)d t = LSfruttando i dati della velocità misurati ogni 6 secondi, dobbiamo essere in grado di poter risolverenumericamente questo integrale.In questo Capitolo studieremo come fare. Ci occuperemo, infatti, di approssimare l’integrale definito∫ bI = f (x)d xadove f è una funzione definita nell’intervallo [a,b] (e f può essere nota oppure data su determinati puntidell’intervallo, come nell’esempio appena visto).Una formula di integrazione numerica (detta anche formula di quadratura numerica) approssimal’integrale esatto I = ∫ ba f (x)d x mediante ∑ nj =0 a j f (x j ):∫ bI =af (x)d x ≈n∑a j f (x j )j =0dove x j , j = 0,...,n sono le ascisse o punti di appoggio della formula di quadratura e a j sono i pesi dellaformula.9.2 Formula dei trapeziConsideriamo la retta che interpola la f negli estremi dell’intervallo di integrazione.seguiamo l’approccio di interpolazione mediante la tabella delle differenze divise:Per semplicità,abf (a)f (b)f (b) − f (a)Il polinomio di interpolazione (retta) che interpola la f in a e in b (gli estremi dell’intervallo di integrazione)è dato daf (b) − f (a)p(x) = f (a) + (x − a)b − ab − a122

9.3. Formule di Newton-CotesL’errore di interpolazione, utilizzando l’espressione del resto di Lagrange è dato daE(x) = f ′′ (ξ x )(x − a)(x − b)2dove ξ x è un punto dell’intervallo [a,b]. Per quanto abbiamo studiato sull’interpolazione, sappiamo che lafunzione f (x) si può scrivere come somma del polinomio e dell’errore: f (x) = p(x) + E(x). Nel nostro caso,abbiamof (b) − f (a)f (x) = f (a) + (x − a) + f ′′ (ξ x )(x − a)(x − b)b − a2Dovendo integrare la f tra a e b e valendo l’uguaglianza precedente, integrando ambo i membri,otteniamo:∫ b∫ b() ∫f (b) − f (a)bf (x)d x = f (a) + (x − a) d x + (x − a)(x − b) f ′′ (ξ x )d xb − a2aovvero∫ baaf (a) + f (b)f (x)d x = (b − a) + 1 2 2∫ baa(x − a)(x − b)f ′′ (ξ x ))d xPoichè il prodotto (x −a)(x −b) ha segno costante in [a,b], per il teorema del Valor Medio del calcolo integrale(si veda il Teorema 2.5.3) si ha12∫ ba(x − a)(x − b)f ′′ (ξ x ))d x = 1 2 f ′′ (ξ)∫ ba(x − a)(x − b)d x = − 1 2 f ′′ (b − a)3(ξ)3!dove ξ è un punto interno all’intervallo [a,b].La quantità E i nt = − 1 2 f ′′ (b − a)3(ξ) = − 13! 12 f ′′ (ξ)(b − a) 3 rappresenta l’errore che si commette approssimandol’integrale di f in [a,b] mediante l’integrale della retta passante per f (a) e f (b), vale a dire, mediantel’area del trapezio sottesa dalla corda passante per f (a) e f (b).Indicando con M = max a≤x≤b |f ′′ (x)| possiamo maggiorare l’errore con la relazione(b − a)3|E i nt | ≤ M12La formula dei trapezi approssima l’integrale di f in [a,b] come I tr ap dato daI tr ap = b − a [f (a) + f (b)]29.3 Formule di Newton-CotesSe, al posto di una retta, prendiamo come funzione interpolante la f un polinomio di grado più elevato,otterremo altre formule di quadrature.Supponiamo di poter valutare la f in n + 1 punti x 0 , x 1 ,..., x n e costruiamo il polinomio interpolatore digrado n utilizzando la formula di Lagrange.Avremo p n (x) = ∑ ni=0 f (x i )L i (x), dove i polinomi di Lagrange sono dati dalla nota formulaL i (x) =n∏j =0j ≠ix − x jx i − x j123

9. INTEGRAZIONE NUMERICAFigura 9.1: Formula dei trapezi: l’integrale della funzione f (zona tratteggiata in blu) viene approssimatamediante l’area del trapezio sotteso alla retta di interpolazione per f (a) e f (b) (zona verde).Se i nodi sono equidistanti con passo h, possiamo scrivere x j = x 0 + j h, con j = 0,1,...,n e per un genericopunto x compreso tra x 0 e x n vale x = x 0 + sh con 0 ≤ s ≤ n, s numero reale.Quindi x − x j = x 0 + sh − (x 0 + j h) = (s − j )h e x i − x j = (i − j )h, da cui il polinomio di Lagrange si puòscrivere comeL i (x) =n∏ s − ji − j = L i (s)j =0j ≠iDa f (x) = p n (x) + E(x) dove E(x) è l’errore della formula di interpolazione, passando all’integrale,abbiamo∫ baf (x)d x =∫ bap n (x)d x +∫ baE(x)d xIl primo integrale rappresenta la formula che approssima l’integrale della f mentre il secondo integralerappresenta l’errore della formula di quadratura.La formula di quadratura è quindi data dal valore dell’integrale di p n :∫ b∫ b n∑n∑I = f (x)d x ≈ f (x i )L i (x)d x = f (x i )aai=0i=0∫ baL i (x)d xLa formula di quadratura ha dunque come nodi i punti x i e come pesi gli integrali ∫ ba L i (x)d x.Sia x 0 = a e x n = b, tenendo presente che L i (x) = L i (s) con x = x 0 + sh, da cui d x = hd s abbiamo∫ ba∫ xnL i (x)d x = L i (x)d x =x 0Allora∫ bn∑I = f (x)d x ≈ h f (x i )ai=0∫ n0∫ n0L i (s)hd s = hL i (s)d s∫ n0L i (s)d s124

9.3. Formule di Newton-CotesDefiniamo i coefficienti di Newton-Cotes 1 le espressioniC (n) = 1 in∫ n0L i (s)d si = 0,1,...,nLa formula precedente si scrive, quindi, come∫ bI =an∑n∑f (x)d x ≈ nh f (x i )C (n) = (xi n − x 0 )i=0L’errore della formula di quadratura è dato daE i nt =∫ ba∫ bE(x)d x =ai=0f (n+1) (ξ x )(x − x 0 )(x − x 1 )···(x − x n )d x(n + 1)!f (x i )C (n)i(9.1)Dato un polinomio di interpolazione di grado n mediante il procedimento di Lagrange è possibile ricavareuna formula di quadratura numerica che prende il nome di formula di Newton-Cotes. Per quantoriguarda l’errore si può osservare che le formule ottenute con un valore n dispari (cui corrisponde un numeron + 1 pari di punti di appoggio) è solo leggermente inferiore alle formule di ordine pari che le precedonoimmediatamente (cui corrisponde un numero dispari di punti di appoggio).Per questo motivo le formule di ordine pari sono le più usate.Osserviamo che per f (x) ≡ 1, qualunque sia il grado del polinomio utilizzato nelle formule di Newton-Cotes, l’errore di integrazione sarà zero. Nell’intervallo [a,b] ≡ [0,1], applicando l’equazione (9.1) si ha1 =∫ 10d x =n∑i=0C (n)iTroviamo che la somma dei coefficienti di Newton-Cotes vale 1.Per n = 1 (si hanno quindi due punti di appoggio, x 0 e x 1 ) i coefficienti di Cotes sono quelli già ricavatidella formula dei trapeziFormula deitrapeziC (1)0= 1 1C (1)1= 1 1∫ 10∫ 10∫ 1L 0 (s)d s =L 1 (s)d s =0∫ 10(s − 1)−1 d s = 1 2s1 d s = 1 2e la formula di integrazione diventa∫ bI =af (x)d x ≈ h1∑i=09.3.1 Formula di Cavalieri-Simpsonf (x i )C (1)i= (x 1 − x 0 ) f (x 0) + f (x 1 )2Considerando n = 2 (quindi 3 punti di appoggio nell’intervallo [a,b], x 0 = a, x 1 = a + b e x 2 = b, i due2estremi dell’intervallo e il punto centrale) la formula di quadratura prende il nome di formula di Cavalieri-Simpson 21 Roger Cotes (1682-1716) fu un matematico inglese che lavorò molto con Isaac Newton, in particolare per la correzione del suofamoso libro Principia. Egli inventò le formule di quadratura che prendono il suo nome e per primo introdussse quella che oggiconosciamo come formula di Eulero, per cui e x = cos(x) + i sin(x) nel campo complesso.2 Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) fu un matematico italiano. Studiò teologia e geometria. Lavorò su problemi di otticae di cinematica. È famoso soprattutto per il cosiddetto principio di Cavalieri.Thomas Simpson (1710-1761) fu un matematico britannico, inventore della formula di quadratura per il calcolo di integrali definiti,sebbene questa formula fosse stata già scoperta 200 anni prima da Keplero e pare fosse usata anche da Cavalieri nel 1639 e poi riscopertada James Gregory. I suoi studi riguardano anche l’astrologia.125

9. INTEGRAZIONE NUMERICAFigura 9.2: Formula di Cavalieri-Simpson: l’integrale della funzione f (zona tratteggiata in blu) vieneapprossimata mediante l’area della regione sottesa alla parabola passante per f (a), f (c) e f (b) (zona verde).C (2)0= 1 2C (2)1= 1 2C (2)2= 1 2∫ 20∫ 20∫ 20L 0 (s)d s = 1 2L 1 (s)d s = 1 2L 2 (s)d s = 1 2∫ 20∫ 20∫ 20(s − 1)(s − 2)d s = 1 (−1)(−2) 6(s)(s − 2)(1)(−1) d s = 4 6(s)(s − 1)d s = 1 (2)(1) 6La formula di Cavalieri-Simpson approssima l’integrale della f considerando come nodi x 0 =a, x 1 = c = a + b e x 2 = b e come pesi i coefficienti di Cotes C (2)0= 1 26 , C (2)1= 4 6 , C (2)2= 1 6 , ottenendo:∫ bI =af (x)d x ≈ (x 2 − x 0 )2∑i=0f (x i )C (2)i= b − a (f (a) + 4f (c) + f (b))6= (b − a)( f (a)64f (c)+ + f (b)6 6 )Con la formula di Cavalieri-Simpson, dunque, l’integrale della f viene approssimato con l’integrale dellaparabola passante per i due estremi a e b e per il punto centrale dell’intervallo.Per quanto riguarda l’errore che si commette approssimando l’integrale della f con la formula diCavalieri-Simpson, consideriamo, seguendo l’approccio visto per la formula dei trapezi, l’integrale dell’erroredel polinomio di interpolazione di Lagrange.Per il polinomio di secondo grado p 2 che abbiamo considerato per interpolare la f , l’errore è dato daE(x) = f ′′′ (ξ x )(x − a)(x − c)(x − b).3!126

9.3. Formule di Newton-CotesQuando facciamo l’integrale, l’errore nell’approssimare l’integrale esatto con la formula di Cavalieri-Simpson è dunque dato da∫ bE i nt =af ′′′ (ξ x )(x − a)(x − c)(x − b)d x3!Questa volta, la funzione (x − a)(x − c)(x − b) cambia segno all’interno dell’intervallo [a,b] e non possiamopiù applicare il teorema del valor medio come nella formula dei trapezi. In maniera più laboriosa, tuttavia, siricava per l’errore la seguente formula:E i nt = − f IV (u)90( ) b − a 5= − f IV (u)(b − a)52 2880dove u è un opportuno punto dell’intervallo ]a,b[.Osservando i valori dei coefficienti di Newton-Cotes per n = 1 e per n = 2 si può vedere come i coefficientisiano simmetrici e la loro somma vale 1. Questo risultato si può generalizzare per ogni n.9.3.2 Sull’errore della formula di Cavalieri-SimpsonPer capire l’errore che si ha nella formula di Cavalieri-Simpson, deduciamo la stessa formula seguendoun’altra strada.Per semplificare il discorso, scegliamo l’intervallo [a,b] simmetrico rispetto all’origine, quindi del tipo[−t, t] con t ∈ R, sapendo che, se non fosse così, basta applicare una traslazione dell’asse x per ricondursi aquesto caso. Scriviamo il polinomio di interpolazione che passa per i punti −t, 0 e t e che interpola anche laderivata prima della f in 0.Mediante la tabella delle differenza divise, il punto c va contato due volte e si ha:−t f (−t)f (0) − f (−t)0 f (0)tf ′ f (0) − f (−t)(0) −0 f (0) f ′ (0)t= t f ′ (0) − f (0) + f (−t)tt 2f (t) − f (0)− ff (t) − f (0)′ (0)t f (t)t= f (t) − f (0) − t f ′ (0) f (t) − 2t f ′ (0) − f (−t)ttt 22t 3Il polinomio di interpolazione è, dunquef (0) − f (−t)p(x) = f (−t) + (x + t) + t f ′ (0) − f (0) + f (−t)tt 2 (x + t)x + f (t) − 2t f ′ (0) − f (−t)2t 3 (x + t)x 2L’errore di interpolazione per questo polinomio di grado 3 valeE(x) = f (IV ) (ξ x )(x + t)x 2 (x − t)4!Quindi da f (x) = p(x) + E(x), andando a integrare tra −t e t si ha:∫ t−t−t∫ t∫ tf (x)d x = p(x)d x + E(x)d x−t−tNell’integrazione del polinomio p(x) è facile vedere che i termini che dipendono da f ′ (0) portano uncontributo nullo. Infatti∫ t( f ′ (0)(x + t)x − f ′ ) ∫(0)ttt 2 (x + t)x 2 f ′ )(0)d x =(x 2 + t x − x3tt − x2 d x−t= f ′ (0)t[t x22 − x44t] t−t= 0127

9. INTEGRAZIONE NUMERICAGli integrali degli altri termini del polinomio p(x) portano alla formula di Cavalieri-Simpson.(omettendo i passaggi matematici) si haInfatti∫ t−t(f (−t) +f (0) − f (−t) f (−t) − f (0)(x + t) +tt 2 (x + t)x += 2t (f (−t) + 4f (0) + f (t))6f (t) − f (−t)2t 3 (x + t)x 2 )d x =Allora l’errore della formula di Cavalieri-Simpson coincide con l’integrale di E(x).Quindi E i nt = ∫ t f (IV ) (ξ x )−t(x + t)x 2 (x − t)d x4!La funzione (x + t)x 2 (x − t) = (x 2 − t 2 )x 2 non cambia mai segno all’interno dell’intervallo [−t, t], quindi sipuò applicare il teorema del Valore Medio del calcolo integrale, per cuiE i nt = f (IV ) (ξ)24∫ t−t(x 2 − t 2 )x 2 d x = f (IV ) [(ξ) x5] t24 5 − t 2 x33 −tConsiderando che l’ampiezza dell’intervallo è h = 2t si haE i nt = − f (IV ) (ξ)( h 90 2 )5 = − f (IV ) (ξ)2880 h5Troviamo la formula dell’errore per Cavalieri-Simpson.= − f (IV ) (ξ)t 5909.4 Formule composteLe formule di Newton-Cotes non vanno bene su intervalli molto ampi perchè per avere risultati più accuratidovremmo utilizzare formule di grado elevato (in modo da utilizzare un numero elevato di punti diappoggio). Ci sono vari motivi che sconsigliano questa procedura:G i valori dei coefficienti in formule di grado elevato sono difficili da ottenere;G le formule di Newton-Cotes, essendo basate su polinomi di interpolazione con nodi equidistanti dannorisultati inaccurati su intervalli ampi a causa della natura oscillatoria dei polinomi di grado elevato.Conviene dunque utilizzare formule di grado basso ma scomponendo l’intervallo di integrazione in piùsottointervalli e, in ciascuno di essi, applicare la stessa formula.Sfruttiamo il fatto che se l’intervallo [a,b] viene diviso in n sottointervalli in modo che [a,b] = [a, x 1 ] ∪[x 1 , x 2 ] ∪ [x 2 , x 3 ] ∪ ... ∪ [x n−1 ,b], allora∫ ba∫ x1∫ x2∫ x3∫ bf (x)d x = f (x)d x + f (x)d x + f (x)d x + ... + f (x)d xax 1 x 2 x nSu ciascuno intervallo [x i−1 , x i ] per i = 1,2,...,n, approssimiamo l’integrale della f mediante una formuladi quadratura più semplice, utilizzando pochi punti.9.4.1 Formula composta dei trapeziSuddividiamo l’intervallo [a,b] in n sottointervalli definiti dai punti d’appoggio x 0 , x 1 ,..., x n (per semplicitàsupponiamo i punti equidistanti con passo h = b − an , in modo che x 0 = a e x n = b, x i = x 0 + i h,i = 0,...,n).L’integrale su [a,b] si può dunque ottenere come somma degli integrali su tali sottointervalli:∫ baf (x)d x =n∑i=1∫ xix i−1f (x)d x128

9.4. Formule composteFigura 9.3: Formula composta dei trapezi, utilizzando 3 sottointervalli (4 punti).Ciascuno degli integrali su [x i−1 , x i ] viene approssimato utilizzando la formula dei trapezi:n∑i=1∫ xix i−1f (x)d x ≈In forma estesa abbiamon∑i=1x i − x i−12[f (x i−1 ) + f (x i )] =n∑i=1I ≈ h 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + ... + 2f (x n−1 ) + f (x n )]f (a) + f (b)= h[ + f (x 1 ) + f (x 2 ) + ... f (x n−1 )]2h2 [f (x i−1) + f (x i )]L’errore che si commette è dato dalla somma degli errori commessi sui singoli sottointervalliE i nt =n∑i=1−f ′′ (ξ i ) h312Supponendo che la derivata seconda della f sia continua e limitata in [a,b] e chiamando con m e Mrispettivamente il minimo e il massimo di f ′′ in [a,b], si ha:m ≤ f ′′ (ξ i ) ≤ Mi = 1,...,nQuindinm ≤∑n∑nf ′′ i=1(ξ i ) ≤ nM =⇒ m ≤f ′′ (ξ i )≤ Mni=1Per il teorema del Valor Intermedio (teorema 2.5.5),qualche punto u di [a,b].Applicando la relazione h = b − a , l’errore diventann∑E i nt =i=1∑ ni=1 f ′′ (ξ i )è un valore assunto dalla funzione inn−f ′′ (ξ i ) h312 = −n f ′′ (ξ) h312 = − f ′′ (ξ)12 (b − a)h2 = − f ′′ (ξ)12(b − a) 3n 2 129

9. INTEGRAZIONE NUMERICAQuindi per n → ∞ l’errore tende a zero come h 2 o, equivalentemente, come 1 n 2 .Formula composta di Cavalieri-SimpsonSuddividiamo l’intervallo [a,b] in n sottointervalli di ampiezza costante uguale a h e su ciascuno di questisottointervalli applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson. Abbiamo, in questo modo, la formula compostadi Cavalieri-Simpson.Su ogni intervallino, quindi, dobbiamo considerare gli estremi dell’intervallino e il punto centrale di esso.Siano a i e b i gli estremi di ciascuna suddivisione e sia c i = a i + b iil punto medio di ciascuna suddivisione2(quindi per i = 1,...,n). L’estremo superiore b i di ciascun intervallino, con i = 1,n − 1 coincide con l’estremoinferiore dell’intervallino successivo: b i = a i+1 . In tal modo, seguendo lo stesso ragionamento fatto per itrapezi si ha:∫ ba∫ b1∫ b2∫ bnf (x)d x = f (x)d x + f (x)d x + ... + f (x)d xa 1 a 2 a nApplicando la formula di Cavalieri-Simpson su ciascun intervallino risulta:∫ bia iIn tal modo∫ baf (x)d x ≈ b i − a i6f (x)d x ≈(f (ai ) + 4f (c i ) + f (b i ) ) = h 6n∑ h (f (ai ) + 4f (c i ) + f (b i ) )i=16Si ha la formula composta di Cavalieri-Simpson.(f (ai ) + 4f (c i ) + f (b i ) )Figura 9.4: Formula composta di Cavalieri-Simpson, utilizzando 3 sottointervalli (7 punti).130

9.4. Formule compostePossiamo vedere la formula composta di Cavalieri-Simpson anche in una forma compatta.Considerando che, su ogni sottointervallo, dobbiamo prendere il punto medio, facciamouna numerazione progressiva dei punti di integrazione nel modo seguente:x 0 = ax 2i = x 0 + i hi = 0,...n nodi estremi dei sottointervallix 2i+1 = x 0 + (i + 1 2 )hi = 0,...,n − 1 nodi centrali dei sottointervalliQuindi i nodi pari corrispondono agli estremi dei sottointervalli, mentre i nodi dispari sonoi punti centrali di ogni sottointervallo. Per la formula di quadratura otteniamo∫ bn−1 ∑∫ x2i+2I = f (x)d x =f (x)d xai=0i=0x 2in−1 ∑ h≈6 [f (x 2i ) + 4f (x 2i+1 ) + f (x 2i+2 )]= h 6 [f (x 0) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + ... + 2f (x 2n−2 ) + 4f (x 2n−1 ) + f (x 2n )]= h n−16 [f (x ∑n−1 ∑0) + 4 f (x 2i+1 ) + 2 f (x 2i ) + f (x 2n )]i=0i=0Per quanto riguarda l’errore, facendo la somma degli errori di integrazione sugli n sottointervalli,nell’ipotesi che la derivata quarta sia continua e limitata, si ha 3 :E i nt = − 1 ( ) h 5(f IV (ξ 1 ) + f IV (ξ 2 ) + ... + f IV (ξ n ))90 2= − h5 n−1 ∑f IV (b − a)5n−1 ∑(ξ i ) = −28802880n 5 f IV (ξ i )i=0i=0Si considera quindi il punto ξ tale che 4f IV (ξ) = 1 nn∑f IV (ξ i )i=1(b − a)5E i nt = −2880n 4 f IV (b − a)h4(ξ) = − f IV (ξ)2880Quindi per n → ∞ l’errore tende a zero come1 n 4 o, equivalentemente, come h4 . Nella formula dei trapezil’errore invece decresce come1 . Ci aspettiamo quindi che il maggiore sforzo computazionale dia unan2 maggiore accuratezza nei risultati quando si applica la formula di Cavalieri-Simpson rispetto alla formula deitrapezi.3 Ricordiamo che h = b − an .4 Si ripete lo stesso ragionamento fatto sulla derivata seconda nella formula composta dei trapezi, questa volta però sulla derivataquarta. Per esercizio, si consiglia di ripetere tutti i passaggi per arrivare al risultato.131

9. INTEGRAZIONE NUMERICA9.4.2 Confronti tra la formula dei trapezi e di Cavalieri-SimpsonEsempio 9.4.1 Consideriamo f (x) = e x . Sia a = 0 e b = 1.Allora, per l’integrale esatto e per le formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson, si ha, rispettivamente:I =∫ 10e x d x = [ e x] 10 = e − 1 = 1.718281828I tr ap = 1 (1 + e) = 1.8591409142I C−S = 1 6 (1 + 4e1/2 + e) = 1 (1 + 6.594885083 + 2.718281828) = 1.7188611526La formula di Cavalieri-Simpson dà il risultato migliore.Sia ancora f (x) = e x ma gli estremi di integrazione siano a = 0.9 e b = 1. AlloraI =∫ 10.9e x d x = e − e 0.9 = 0.2586787173I − I tr ap = I − 0.12 (e0.9 + e) = −2.2 × 10 −4I − I C−S = I − 0.16 (e0.9 + 4e 0.95 + e) = −9.0 × 10 −9Ora la formula di Cavalieri-Simpson si rivela particolarmente accurata. Ciò non deve sorprendere se si vaa vedere la formula dell’errore, con l’ampiezza dell’intervallo che da 1 si è ridotta a 0.1, per cui (b − a) 5 da 1vale ora 10 −5 .Considerato che f ′′ = f e f IV = f , queste derivate possono essere maggiorate dal valore assunto nell’estremosuperiore dell’intervallo, cioè e. Quindi gli errori delle formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson sonomaggiorate da|E tr ap | ≤ e12 (b − a)3 = 2.265 × 10 −1 (b − a) 3|E C−S | ≤ e2880 (b − a)5 = 9.438 × 10 −4 (b − a) 5Perciò per a = 0 e b = 1 gli errori sono maggiorati da|E tr ap | = 2.265 × 10 −1|E C−S | = 9.438 × 10 −4Invece per a = 0.9 e b = 1, poichè b − a = 0.1 = 10 −1 , abbiamo|E tr ap | = 2.265 × 10 −1 · 10 −3 = 2.265 × 10 −4|E C−S | = 9.438 × 10 −4 · 10 −5 = 9.438 × 10 −9Esempio 9.4.2 Si voglia approssimare l’integrale a∫ 10e −x2 d x ≈ 0.746824.a È un integrale che non può essere risolto analiticamente. Se si vuole calcolare una sua approssimazione senzafare uso di formule di quadrature, possiamo, ad esempio, pensare di applicare la definizione di integrale ∫ ba f (x)d x =∑lim n n→∞ f (a + i h(n)) · h(n), con h(n) = (b − a)/n, e considerare come approssimazione dell’integrale la somma parziale∑ i=0ni=0 f (a + i h(n)) · h(n) con un valore di n molto grande. Per esempio, con n = 107 otteniamo il valore 0.74682420125254.132

9.4. Formule composteSuddividiamo l’intervallo [0,1] in 4 sottointervalli. Sia h = 1/4 = 0.25. Per la formula composta dei trapeziabbiamoI tr ap = h 2 [e0 + 2e −h2 + 2e −(2h)2 + 2e −(3h)2 + e −(4h)2 ]= 0.125[1 + 2e −0.1252 + 2e −0.52 + 2e −0.752 + e −1 ]= 0.742984Applichiamo ora la formula di Cavalieri-Simpson su soli 2 sottointervalli, in modo da valutare la funzionenegli stessi punti precedenti. L’ampiezza di ciascun sottointervallo è dunque h = 0.5.I C−S = h 6 [e0 + 4e −(h/2)2 + 2e −(h)2 + 4e −( 3 2 h)2 + e −(2h)2 ]= 0.253 [1 + 4e−0.1252 + 2e −0.52 + 4e −0.752 + e −1 ]= 0.746855A parità di punti (e non di sottointervalli) la formula di Cavalieri-Simpson è più accurata di quella deitrapezi.Invece considerando 4 sottointervalli nella formula di Cavalieri-Simpson dobbiamo considerare anche ipunti interni di ascisse 0.125, 0.375, 0.625, 0.875 e il risultato che otteniamo è 0.746826, evidentementemaggiormente accurato.Esempio 9.4.3 Riprendiamo l’esempio visto all’inizio del Capitolo, in cui è misurata la velocità diun’automobile ogni 6 secondi e si vuole calcolare la lunghezza percorsa dalla macchina.In base ai dati in possesso, possiamo applicare la formula composta dei trapezi su 14 intervalli di ampiezzah = 6 secondi. Abbiamo (ponendo v 1 = v(0), v 2 = v(6), . . . , v 13 = v(78), v 14 = v(84)):( v1 + v) 14L = 6 + v 2 + v 3 + ... + v 13 = 3009 metri2Possiamo anche applicare la formula di Cavalieri-Simpson, considerando ora 7 intervalli di ampiezza paria h = 12 secondi. In tal caso, otteniamo:L = 2(v 1 + 4v 2 + 2v 3 + 4v 4 + 2v 5 + ... + 2v 12 + 4v 13 + v 14 ) = 3010 metriIn questo caso entrambi i risultati sono accettabili.Se la funzione integranda ha le derivate che sono facili da determinare e da maggiorare, la formula dell’errorepuò essere utile per determinare il numero di sottointervalli su cui applicare una formula compostadi quadratura in modo da ottenere un’approssimazione con un errore minore di una tolleranza prefissata.Esempio 9.4.4 Consideriamo ∫ 10 e−x2 d x. In quanti sottointervalli bisogna suddividere l’intervallo di integrazioneper applicare la formula dei trapezi e di Cavalieri-Simpson e ottenere un errore che sia minore diuna tolleranza ɛ = 10 −5 ?Per i trapezi, l’errore è maggiorato da|E tr ap | ≤ max 0≤x≤1 |f ′′ (x)| (b − a) 312n 2Per Cavalieri-Simpson si ha|E C−S | ≤ max 0≤x≤1 |f IV (x)| (b − a) 52880n 4 133

9. INTEGRAZIONE NUMERICADa f (x) = e −x2 abbiamo, per le derivate:f ′ (x) = −2xe −x2f ′′ (x) = (−2 + 4x 2 )e −x2f ′′′ (x) = (12x − 8x 3 )e −x2f IV (x) = (12 − 48x 2 + 16x 4 )e −x2Si trova che il massimo di |f ′′ | e |f IV | in [0,1] è dato dal loro valore in x = 0, quindi abbiamo:|E tr ap | ≤ 212n 2 = 16n 2 |E C−S | ≤ 122880n 4 = 1240n 4La richiesta dell’accuratezza per l’errore diventa:|E tr ap | ≤ 10 −5 |E C−S | ≤ 10 −5vale a dire, rispettivamente,16n 2 ≤ 10−5 1240n 4 ≤ 10−5Per i trapezi, il primo intero n che verifica la disuguaglianza è n = 130, per Cavalieri-Simpson si ha, invece,n = 5.Applicando le formule su 130 intervalli per i trapezi e su 5 intervalli per Cavalieri-Simpson, otteniamo irisultati:I tr ap = 0.74682050480289 I C−S = 0.74682494825449.5 Estrapolazione di RichardsonApplichiamo la formula di Cavalieri-Simpson sull’intero intervallo [a,b]. L’errore che si commette, comesappiamo, valeE 1 = − f IV (ξ 1 )90( ) b − a 5= − f IV (ξ 1 )(b − a)52 2880Suddividiamo ora l’intervallo [a,b] in due sottointervalli e applichiamo la formula composta di Cavalieri-Simpson. L’errore che otteniamo valeE 2 = − f IV (ξ 2 ) (b − a) 52880 2 4 ≈ E 116supponendo che le derivate quarte della f non siano molto diverse tra loro.L’errore, quindi, diventa 16 volte più piccolo passando dalla formula di Cavalieri-Simpson in un intervalloalla formula applicata in due sottointervalli.Sia I il valore esatto dell’integrale e Q 1 e Q 2 i due valori approssimati ottenuti considerando la formuladi Cavalieri-Simpson con n = 1 e n = 2 sottointervalli. Sia ɛ l’errore, cambiato di segno, che si ha con n = 2,ɛ = −E 2 = −E 1 /16. Possiamo scrivereI + ɛ = Q 2 per n = 2I + 16ɛ = Q 1 per n = 1134

9.6. Approssimazione di RombergSi può ricavare ɛ dalle due relazioni ottenendoQuindiɛ = Q 1 −Q 215I ≈ Q 2 + Q 2 −Q 115Utilizzando le due approssimazioni Q 1 e Q 2 possiamo approssimare l’integrale esatto con una maggiore accuratezzamediante la formula appena scritta. Questo procedimento prende il nome di estrapolazione diRichardson. Può essere utilizzato per migliorare l’approssimazione di un integrale ma è basato sull’ipotesiche le derivate quarte della funzione integranda siano circa uguali e, quindi, va usato con cautela.9.6 Approssimazione di RombergRipetendo lo stesso discorso dell’estrapolazione di Richardson a partire dalla formula dei trapezi e inmaniera sistematica, si ha l’approssimazione di Romberg.Supponiamo l’uguaglianza delle derivate seconde della funzione integranda f e sia 2 m il numero disottointervalli in cui suddividiamo il dominio di integrazione [a,b].Applicando la formula dei trapezi su 2 m−1 sottointervalli e, successivamente, su 2 m sottointervalli, l’errorediminuisce come 1/4. Chiamando con A m e A m−1 i risultati della formula dei trapezi rispettivamente su 2 me su 2 m−1 sottointervalli e chiamando con ɛ l’errore cambiato di segno commesso con 2 m sottointervalli,abbiamo:I + ɛ = A mI + 4ɛ = A m−1L’integrale può essere dunque migliorato con il valoreB m = A m + A m − A m−1.3Per m = 1 si ha:A 0 = b − a [f (a) + f (b)] si ha un unico intervallo2A 1 = b − a2 [ f (a)2 + f ( a + b2 ) + f (b) ] si hanno 2 sottointervalli2B 1 = (b − a)[ f (a) 4f ( a + b6 + 2 )6) + f (b)6 ]Si ha dunque che B 1 (e quindi ciascun B m ) corrisponde al valore ottenuto con la formula di Cavalieri-Simpson. L’errore ottenuto con B m è dunque proporzionale a 1/n 4 . Nel passo successivo, utilizzando i valoriB m , otteniamo la nuova approssimazione data daC m = B m + B m − B m−115per m ≥ 2Si può dimostrare che C m coincide con la formula di Newton-Cotes con n = 4, dove l’errore è proporzionalea 1/n 6 e alla derivata sesta di f.La nuova approssimazione è data da:D m = C m + C m −C m−163per m ≥ 3135

9. INTEGRAZIONE NUMERICAL’errore ora diventa proporzionale a 1/n 8 ma D m non è più un risultato delle formule di Newton-Cotes. Ilprocedimento può andare avanti per calcolare E m , F m , etc tenendo presente che al denominatore dobbiamomettere il valore 4(d + 1) − 1 dove d è il valore del denominatore della formula precedente.Il vantaggio dell’approssimazione di Romberg si vede solo ai primi livelli dell’applicazione (in particolarepassando da A m a B m ). Inoltre, a causa della precisione finita con cui sono eseguiti i calcoli, le formule diRomberg di ordine elevato diventano inefficaci se il risultato iniziale A m è già abbastanza accurato rispettoalla precisione numerica consentita.9.7 Introduzione alle formule di quadratura di GaussConsideriamo di voler approssimare l’integrale dato da∫ baf (x)w(x) d xdove [a,b] può essere finito o infinito (per esempio [−1,1], [0,+∞]). Abbiamo due funzioni, la f (x) e la w(x),e vogliamo integrare il prodotto di queste due funzioni. La funzione w(x), che chiamiamo funzione peso, siapositiva (w(x) ≥ 0).Vogliamo trovare dei coefficienti w i , i = 0,...n (detti pesi della formula di quadratura) e dei nodi x i , i =0,...n (detti nodi di quadratura) nell’intervallo [a,b] in modo da approssimare l’integrale mediante∫ baf (x)w(x) d x ≈n∑w i f (x i )0=1Considerando anche l’errore di quadratura:∫ baf (x)w(x) d x =n∑w i f (x i ) + E i nt (f )i=0Diremo che la formula di quadratura ha un grado di precisione (o esattezza) polinomiale d se E i nt (f ) = 0per tutti i polinomi f fino al grado d (cioè se applichiamo la formula di quadratura per approssimare∫ baf (x)w(x) d x con f polinomio di grado d, l’errore è nullo). Osserviamo che ora non stiamo parlando diformule di quadratura composte quindi n non si riferisce a suddivisioni dell’intervallo [a,b]. Per le formuledi Newton-Cotes, si ha w(x) ≡ 1 e si può provare che il grado di precisione d è:d = n per le formule ottenute da polinomi di interpolazione di grado n dispari (come nei Trapezi: n = 1)G d = n + 1 per le formule ottenute da polinomi di interpolazione di grado n pari (come in Cavalieri-Simpson: n = 2)Diremo che la formula di quadratura è interpolatoria se vale d = n . Le formule interpolatorie sono ottenuteper interpolazione, percorrendo la stessa strada che abbiamo visto per le formule di Newton-Cotes.Interpoliamo la funzione f mediante un polinomio di grado n, utilizzando i polinomi di Lagrange. Nel costruirei pesi dobbiamo tenere conto anche della funzione w e quindi i pesi saranno w i = ∫ ba L i (x)w(x) d xdove L i (x) è l’i -simo polinomio di Lagrange.Con questo approccio la formula di quadratura che ricaviamo ha al più grado di precisione d = n (od = n + 1 quando w(x) ≡ 1 e per n pari, come abbiamo visto per le formule di Newton-Cotes).È possibile ricavare formule di quadratura che abbiano un grado di precisione d maggiore del grado delpolinomio interpolante? E se sì come?A tal fine consideriamo il polinomio dei nodi F (x) = ∏ ni=0 (x − x i ), di grado n + 1, lo stesso che abbiamointrodotto nel Capitolo sull’interpolazione.Vale il seguente teorema.Teorema 9.7.1 (di W. Gautschi) Dato un intero k con 0 < k ≤ n + 1, la formula di quadratura∫ baf (x)w(x) d x =n∑w i f (x i ) + E i nt (f )i=0ha grado di precisione (esattezza) d = n + k se e solo se sono soddisfatte entrambe le condizioni (a) e (b):136

9.7. Introduzione alle formule di quadratura di Gauss(a) la formula è interpolatoria;(b) il polinomio dei nodi F (x) soddisfa la relazione ∫ baF (x)p(x)w(x) d x = 0 per ogni polinomio p di grado≤ k − 1.Osserviamo che la condizione in (b):G impone k condizioni sui nodi x 0 , x 1 , x 2 ,... x n . Se fosse k = 0 non ci sarebbero condizioni in più daconsiderare e avremmo d = n (cioè esattezza d = n);G fornisce una relazione di ortogonalità: il polinomio F è ortogonale ai polinomi di grado ≤ k −1 rispettoalla funzione peso w. 5Nel caso specifico, il punto (b) dice che:∫ ba∫ ba∫ ba∫ baF (x)w(x) d x = 0xF (x)w(x) d x = 0x 2 F (x)w(x) d x = 0.x k−1 F (x)w(x) d x = 0G fa sì che k non possa essere maggiore o uguale a n + 2. Se fosse infatti k = n + 2, il punto (b) sarebbe:(b) il polinomio dei nodi F (x) soddisfa la relazione ∫ baF (x)p(x)w(x)d x = 0 per ogni polinomio p digrado ≤ k − 1 = n + 1.Allora, si potrebbe prendere come polinomio p(x) esattamente F (x) (che ha grado n + 1) e, per la(b) sarebbe ∫ ba (F (x))2 w(x)d x = 0: ma questo è un assurdo perchè l’integrale di una funzione positivanon può essere nullo, e, nel nostro caso, w(x) è positiva e (F (x)) 2 , essendo il quadrato di un polinomio,è pure essa una funzione positiva.Il caso ottimale (il più alto grado di precisione che si può ottenere), si ha per k uguale al valore massimo chepuò assumere, vale a dire k = n + 1. In tal caso d = n + k = n + n + 1 = 2n + 1. Si hanno le cosiddette formuledi Gauss.A seconda della scelta della funzione peso w e dell’intervallo [a,b] abbiamo diverse formule di Gauss.Dimostrazione.[del teorema di W. Gautschi]Dimostriamo che se d = n + k allora sono vere la (a) e la (b) (necessità). Essendo d = n + kla formula è esatta anche per polinomi di grado n: abbiamo dimostrato il punto (a).Se p è un polinomio di grado al più k − 1, allora F (x)p(x) è un polinomio (perchè prodottodi due polinomi) di grado al più n + 1 + k − 1 = n + k. Applichiamo a questo polinomioprodotto la formula di quadratura (che è esatta valendo l’ipotesi che d = n + k, quindiE i nt (F (x)p(x)) = 0). Quindi∫ bn∑F (x)p(x)w(x) d x = F (x i )p(x i )w i .ai=0Ma F (x i ) = 0 essendo F il polinomio dei nodi. Perciò ∑ ni=0 F (x i )p(x i )w i = 05 Per definizione, infatti, due funzioni u e v si dicono ortogonali rispetto alla funzione peso w (positiva), se ∫ ba u(x)v(x)w(x) d x = 0.137

9. INTEGRAZIONE NUMERICADi conseguenza ∫ ba F (x)p(x)w(x) d x = ∑ ni=0 F (x i )p(x i )w i = 0 e quindi il punto (b) è provato.Supponiamo ora che siano vere le condizioni (a) e (b) e dimostriamo che d = n + k (sufficienza). Sia p unpolinomio di grado n +k. Dobbiamo provare che E i nt (p) = 0. Dividiamo il polinomio p per il polinomio F :possiamo scrivere p(x) = F (x)q(x)+r (x) dove q(x) (quoziente) è un polinomio di grado k −1 e r (x) (resto) èun polinomio di grado n. Nel fare l’integrale, abbiamo∫ bap(x)w(x) d x =∫ baq(x)F (x)w(x) d x +∫ bar (x)w(x) d xIl primo integrale a secondo membro vale zero a motivo dell’ipotesi (b) (q(x) è un polinomio di grado k − 1e quindi quell’integrale è zero). Il secondo integrale, invece, per la (a) può essere calcolato esattamenteandando ad applicare la formula di quadratura (essendo r di grado n ed essendo la formula interpolatoriasi ha E i nt (r ) = 0 ). Si ha∫ b∫ bn∑p(x)w(x) d x = r (x)w(x) d x = r (x i )w iaaMa r (x i ) = p(x i ) − q(x i )F (x i ) = p(x i ) (essendo F (x i ) = 0). Quindi∫ b∫ bn∑p(x)w(x) d x = r (x)w(x) d x = p(x i )w iaai=0i=1L’errore è dunque zero e la dimostrazione è completata. ✔Da un punto di vista teorico la condizione (a) del teorema permette di calcolare i pesi delle formule di Gauss:essendo la formula interpolatoria si ha w i = ∫ ba L i (x)w(x) d x.La condizione (b) permette di calcolare i nodi x i della formula (imponendo l’ortogonalità tra F (x) e ipolinomi di grado k = 0,1,2,...,n si ricava un sistema di n + 1 equazioni nelle incognite dei coefficientidel polinomio F (x). Una volta trovato il polinomio F (x) ricaviamo le radici, che sono appunti i nodi diintegrazione 6 .9.7.1 Proprietà delle formule di GaussScriviamo le formule di Gauss con la notazione∫ baf (x)w(x) d x =n∑w i f (x i ) + E G i nt (f )i=0Si ha E G (f ) ≡ 0 per f polinomio di grado ≤ 2n + 1i ntI nodi x i sono reali, distinti e contenuti nell’intervallo aperto ]a,b[.I pesi w i sono tutti positivi.Infatti, per j = 0,1,...n 0 < ∫ ba (L j (x)) 2 w(x) d x = ∑ ni=0 w i (L j (x i )) 2(l’errore è nullo perchè (L j (x)) 2 è un polinomio di grado 2n). Ma L j (x i ) = 0 se i ≠ j e L j (x i ) = 1 se i = j .Quindi ∑ ni=0 w i (L j (x i )) 2 = w j . Abbiamo provato che i pesi sono positivi.Le formule di Gauss si possono ricavare mediante interpolazione (detta di Hermite) sui nodi x i contaticiascuno come nodo doppio nel senso che su ciascun nodo imponiamo la condizione di interpolazione nonsolo sulla f ma anche sulla derivata prima della f . Una volta che abbiamo ricavato il polinomio di interpolazionep(x) (che interpola quindi per ogni nodo sia la f sia la f ′ ) e approssimato ∫ bf (x)w(x) d x mediante∫ bap(x)w(x) d x, dalla formula che ricaviamo imponiamo che i termini che contengono la derivata primasiano uguali a zero (questa osservazione è dovuta a Markov, matematico russo, nel 1885).La formula che otteniamo (considerando che il polinomio interpola la f e la f ′ ) avrà termini del tipo:∫ ba f (x)w(x) d x = ∑ ni=0 w i f (x i ) + ∑ ni=0 C i f ′ (x i ) + E G i nt (x)6 Ricordiamo che un polinomio di grado n + 1 lo possiamo scrivere come a n+1 x n+1 + a n x n + ··· + a 0 ma possiamo anche dividereper il coefficiente di grado massimo e scriverlo in forma cosiddetta monica x n+1 + b n x n + b n−1 x n−1 + ... + b 0 , e avere quindi solo n + 1coefficienti (b 0 , b 1 , . . . , b n ) : le radici dei due polinomi non cambiano.a138

9.7. Introduzione alle formule di quadratura di GaussImponendo C i = 0 i = 0,1,2,...n, otteniamo n + 1 condizioni che ci permettono di ricavare i valori di x i (inodi di integrazione della formula). Possiamo poi ricavare il valore dei pesi w i (che dipendono a loro volta dainodi). Nel procedere con l’interpolazione sui valori della f e della f ′ , l’errore del polinomio di interpolazionesi può scrivere come E = (F (x)) 2 f (2(n+1)) (ξ x )(poichè ogni nodo è contato due volte, e supponendo che la f(2(n + 1))!sia derivabile 2(n + 1) volte e sia continua).Di conseguenza, l’errore nella formula di integrazione (applicando il teorema del Valor Medio in quanto(F (x)) 2 w(x) non cambia segno nell’intervallo di integrazione) si può scrivere come E G i ntE G i nt (x) = f (2(n+1)) (ξ)(2(n + 1))!∫ ba(F (x)) 2 w(x) d x9.7.2 Formule di Gauss-LegendreA seconda della funzione peso, si ha una particolare formula di Gauss.In genere i nodi di integrazione sono calcolati su intervalli “canonici” (spetta a noi fare il cambio divariabili se l’integrale è da farsi su altri intervalli)..Per w(x) ≡ 1 e [a,b] ≡ [−1,1] si ha la formula di Gauss-Legendre.I nodi della formula di quadratura, sono le radici dei cosiddetti polinomi di Legendre.n + 1 nodi pesi2 x 0,1 = ±0.57735026918962576 w 0 = w 1 = 1.03 x 0 = −0.77459666924148338 w 0 = 5/9 = 0.5555555556x 1 = 0 w 1 = 8/9 = 0.8888888889x 2 = 0.77459666924148338 w 2 = 5/9 = 0.55555555564 x 0 = −0.86113631159405257 w 0 = 0.3478548451374538x 1 = −0.33998104358485626 w 1 = 0.6521451548625461x 2 = 0.33998104358485626 w 2 = 0.6521451548625461x 3 = 0.86113631159405257 w 3 = 0.3478548451374538I polinomi di Legendre (e, come essi, anche tutti gli altri polinomi le cui radici sono i nodi delle altreformule di Gauss) hanno la caratteristica di essere polinomi mutuamente ortogonali (nel senso che presidue polinomi di Legendre, che chiamiamo ω n (x) e ω m (x), rispettivamente di grado n e m, con n ≠ m, si ha∫ ba ω n(x)ω m (x)w(x) d x = 0).I polinomi di Legendre (e, come essi, i polinomi delle altre formule di Gauss), si ricavano mediante formulericorsive, cioè ogni polinomio di Legendre di grado n è legato (mediante una relazione opportuna) aipolinomi di Legendre di grado n − 1 e n − 2.9.7.3 Altre formule di Gauss1G Con w(x) = √ e [a,b] = [−1,1] si hanno le formule di Gauss-Chebychev (prima specie) in(1 − x 2 )quanto i nodi di integrazione sono le radici dei cosiddetti polinomi di Chebychev di prima specie.G Con w(x) = √ (1 − x 2 ) e [a,b] = [−1,1] si hanno le formule di Gauss-Chebychev (seconda specie) inquanto i nodi di integrazione sono le radici dei cosiddetti polinomi di Chebychev di seconda specie.G Con w(x) = (1 − x) α (1 + x) β (per α > −1 e β > −1) e [a,b] = [−1,1] si hanno le formule di Gauss-Jacobi.G Con w(x) = x α e −x (per α > −1) e [a,b] = [0,+∞] si hanno le formule di Gauss-Laguerre.G Con w(x) = e −x2 e [a,b] = [−∞,+∞] si hanno le formule di Gauss-Hermite.139

9. INTEGRAZIONE NUMERICAFigura 9.5: Funzioni peso per le formule di quadratura di Gauss-Chebycev di prima e seconda specie (asinistra e a destra rispettivamente)Figura 9.6: Funzioni peso per le formule di quadratura di Gauss-Jacobi (con α = 2 e β = 4) e di Gauss-Laguerre(con α = 2) (a sinistra e a destra rispettivamente)Figura 9.7: Funzione peso per le formula di quadratura di Gauss-Hermite.9.7.4 Applicazione delle formuleSupponiamo di voler approssimare un integrale utilizzando le formule di Gauss-Legendre, ma in unintervallo diverso da [−1,1].Dobbiamo fare un cambio di variabili. Da ∫ ba f (x) d x dobbiamo passare a ∫ 1−1f (t) d t.Poniamo x = b − a2 t + b + a2Per t = −1 si ha x = b − a2 (−1) + b + a = −b + a + b + a = 2a = a. Quindi per t = −1, si ha x = a (il primo222estremo di un intervallo viene trasformato nel primo estremo dell’altro intervallo).Per t = 1 si ha x = b − a2 (1) + b + a = b − a + b + a = 2b 22 2 = b.Perciò, per t = 1, si ha x = b.Inoltre d x = b − a d t. Con la trasformazione di variabili si ha:2∫ b∫ 1( b − af (x) d x = fa−1 2 t + b + a ) b − ad t2 2140

9.8. EserciziApplicando la formula di Gauss-Legendre∫ baf (x) d x ≈ b − a2n∑w G ii=0f ( b − a2 x i + b + a2 )9.7.5 Sulla funzione pesoSupponiamo di voler integrare una funzione g (x) in [a,b] (intervallo finito). Supponiamo che la funzioneintegranda g abbia una singolarità algebrica agli estremi (con una certa molteplicità), possiamo scrivereg (x) = f (x)(b − x) α (x − a) βAdesso, facciamo un cambiamento di variabile, da [a,b] a [−1,1], considerando la trasformazione x =b − a2 t + b + a2 .Si ha (b − x) = b − ab − a(1 − t) e (x − a) = (1 + t).2 2Allora∫ ba g (x) d x = b − a∫ 1−1 f ( b − a) α ( ) b − a β(1 − t) α (1 + t) β d t222 t + b + a ( b − a2 ) 2( ) b − a α+β+1∫ 1=−12f ( b − a2 t + b + a2 )(1 − t)α (1 + t) β d tPosso applicare le formule di Gauss-Jacobi e “scaricare” sulla funzione peso le singolarità della funzionedi partenza.Sia dato l’integrale ∫ 10 f (x)(1 − x)p d x con f regolare e p intero elevato: allora (1 − x) p è una funzione cheha valori vicini a zero. La funzione da integrare è quasi discontinua e le formule classiche (Trapezi o Cavalieri-Simpson) non danno buoni risultati. Si può pensare a questo integrale come ad un integrale di tipo Jacobi (sucui applicare la formula di Gauss-Jacobi) con α = p e β = 0. Si fa l’opportuno passaggio di variabili in mododa integrare sull’intervallo [−1,1]. La formula di Gauss incorpora nella funzione peso la parte che riguarda(1 − x) p .9.8 EserciziEsercizio 9.8.1 Sia dato l’integrale I =∫ 0−2e −x (x + 1) dx.(a) Approssimare il valore dell’integrale applicando la formula dei trapezi con n = 5 suddivisioni in partiuguali dell’intervallo di integrazione.(b) Trovare una maggiorazione dell’errore commesso e, dopo aver calcolato analiticamente l’integraleesatto, confrontare tale stima con l’errore esatto.Svolgimento(a) Applichiamo la formula dei trapezi con n = 5 suddivisioni dell’intervallo dato. Vale, dunque, h = 0.4. Ipunti da considerare e il valore della f (x) = e −x (x + 1), sono:i x i f (x i )0 -2 -7.38905611 -1.6 -2.971819452 -1.2 -0.6640233853 -0.8 0.4451081864 -0.4 0.8950948195 0 1141

9. INTEGRAZIONE NUMERICALa formula dei trapezi èI tr ap = h( f (x 0) + f (x 5 )+ f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 )) = −2.196067152(b) Per calcolare una maggiorazione dell’errore commesso, dobbiamo calcolare la derivata seconda dellaf .Da f (x) = e −x (x + 1) segue f ′ (x) = −e −x (x + 1) + e −x = −e −x x e f ′′ (x) = e −x x − e −x = e −x (x − 1).Poichè f ′′ (x) è sempre negativa nell’intervallo di integrazione e a noi interessa la funzione valoreassoluto della f ′′ (x), studiamo la funzione g (x) = |f ′′ (x)| = e −x (1 − x). Si ha che g ′ (x) = e −x (x − 2) < 0in [−2,0], quindi g è decrescente e ha valore massimo per x = −2. Si ha dunque che M = max|f ′′ (x)| =|f ′′ (−2)| = 22.1671682968Quindi |E tr ap | ≤ M |(b − a)3 |12 · 5 2 = 0.591124488Analiticamente, è facile calcolare l’integrale esatto (per parti):∫ 0∫ 0I = f (x) dx = −e −x (x + 1)| 0 −2 + e −x dx = −e −x (x + 2)| 0 −2 = −2−2−2Quindi l’errore esatto è: |I − I tr ap | = 0.196067154, un valore minore della maggiorazione trovataprima.Esercizio 9.8.2 Sia dato l’integrale∫ 220 x − 4 d x(a) Dare una sua approssimazione con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti ugualidell’intervallo di integrazione.(b) Trovare una maggiorazione dell’errore commesso.(c) Confrontare l’errore esatto con la stima precedentemente trovata.(d) Dire in quanti sottointervalli occorre suddividere l’intervallo di integrazione per ottenere unamaggiorazione dell’errore minore della tolleranza ɛ = 10 −5 .Svolgimento(a) Suddividendo l’intervallo di integrazione [0,2] in n = 4 parti si trova un passo h = 2/4 = 1/2 = 0.5.La formula dei trapezi è:I T = b − a f (a) + f (b)( + f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ))n 2f (0) + f (2)= 0.5( + f (0.5) + f (1) + f (1.5))2= 0.5( −0.5 − 1 − 0.571428571 − 0.666666667 − 0.8)2= −1.39404762(b) Consideriamo la formula dell’errore: E = − f ′′ (ξ) (b − a) 312 n 2Da f (x) = 2x − 4 segue f ′ (x) =−2(x − 4) 2 e f ′′ 4(x) =(x − 4) 3 .Per maggiorare l’errore dobbiamo considerare che vale|E| ≤ max 0≤x≤2 |f ′′ (x)| (b − a) 312n 2 , da cui dobbiamo calcolare M = max 0≤x≤2 |f ′′ (x)|.142

9.8. EserciziLa funzione (x −4) 3 4è continua, crescente e sempre negativa nell’intervallo [0,2]. Quindi |(x − 4) 3 | =4(4 − x) 3 : osserviamo il cambiamento al denominatore. Poniamo g (x) = 4(4 − x) 3 . Risulta g ′ (x) =12(4 − x) 4 > in [0,2], quindi la g è crescente e ha valore massimo per x = 2. Perciò M = max 0≤x≤2 |f ′′ (x)| =|f ′′ (2)| = 4 2 3 = 1/2 = 0.5. Si ha allora la maggiorazione dell’errore |E| ≤ M 12(c) L’integrale esatto si calcola facilmente:2 34 2 = 148 = 0.0208333333∫ 2I =02x − 4 d x = 2ln(|x − 4|)|2 0 = 2ln(| − 2|) − 2ln(| − 4|) = 2ln(1/2) = ln(1/4) − 1.386294361L’errore esatto commesso con la formula dei trapezi è |I − I T | = 0.00775325793(d) Perchè la maggiorazione dell’errore sia minore della tolleranza ɛ = 10 −5 deve essere |E| ≤ M 12 n 2 ≤ 10−5cioè n 2 ≥ M 12 23 10 5 = 105 = 33333.333333. Quindi n > 182.574186, vale a dire n = 183.32 3Esercizio 9.8.3 Dato l’integrale∫ 0.51I = d x1 − x20(a) si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tuttol’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali;(b) si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson;(c) dopo aver calcolato analiticamente il valore esatto di I , determinare l’errore esatto commesso conl’estrapolazione di Richardson.Svolgimento(a) Applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson su tutto l’intervallo, considerando che l’ampiezzadell’intervallo è b − a = 0.5 e h = 0.25Q 1 = 0.25 (f (0) + 4f (0.25) + f (0.5)) = 0.5238235653Si ha, infatti, f (0) = 1, f (0.25) = 1.03279556 e f (0.5) = 1.15470054.Suddividendo l’intervallo in due parti uguali, abbiamo h = 0.125, da cui i punti: x 0 = a = 0, x 1 =0.125, x 2 = 0.25, x 3 = 0.375, e x 4 = b = 0.5.Q 2 = h 3 (f (x 0) + 4(f (x 1 ) + 4f (x 3 )) + 2f (x 2 ) + f (x 4 )) = 0.523616326dove f (0.125) = 1.00790526, f (0.375) = 1.07871978 (essendo già in possesso degli altri valori, calcolatiper Q 1 )(b) La formula di estrapolazione di Richardson è: Q 3 = Q 2 + Q 2 −Q 1da cui ricaviamo Q 3 = 0.523602510115(c) Analiticamente l’integrale esatto è:∫ 0.51I = d x =0 1 − x2 arcsin(x)|0.5 0 = π/6 − 0 = 0.523598775L’errore esatto commesso con l’estrapolazione di Richardson è: |I −Q 3 | = 3.7351 · 10 −6 .143

9. INTEGRAZIONE NUMERICAEsercizio 9.8.4 Si calcoli I = ∫ 52 sin( x) d x utilizzando il metodo di Gauss-Legendre con 3 punti diappoggio (x 1 = − (3/5), x 2 = 0, x 3 = (3/5); w 1 = w 3 = 5/9, w 1 = 8/9).SvolgimentoApplichiamo la formula, ricordandoci che dobbiamo utilizzarla non in [2,5] ma in [−1,1]. Considerandoche la trasformazione dall’intervallo [2,5] all’intervallo [−1,1] porta al cambiamento di variabili x = b − a2 t +b + a= 5 − 22 2 t + 5 + 2 = 3 2 2 t + 7 2 si ha d x = 3 d t. La formula di Gauss-Legendre deve essere applicata sui nodi2trasformati dati da 3 2 x i + 7 . Perciò abbiamo2I G = 3 (w 1 f ( 3 2 2 x 1 + 7 2 ) + w 2 f ( 3 2 x 2 + 7 2 ) + w 3 f ( 3 2 x 3 + 7 )2 )= 1.5 ( (5/9)f (−1.161895004 + 3.5) + (8/9)f (3.5) + (5/9)f (1.161895004 + 3.5) )= 1.5(0.5550723689 + 0.8491794877 + 0.4621443545) = 2.799594317144

C A P I T O L O10EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIEL’universo è un’equazionedifferenziale.Jules Henri Poincarè10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2 Sulle equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.3 Metodo di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.4 Metodo di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.5 Metodo di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.6 Studio dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.7 Errori di troncamento locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.8 Convergenza e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.8.1 Convergenza di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.8.2 Stabilità di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.8.3 Convergenza di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.8.4 Stabilità di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.8.5 Convergenza di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.8.6 Stabilità di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.8.7 Sulla stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158145

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE10.1 IntroduzioneAll’inizio del ’900, van der Pol 1 studiò fenomeni non lineari e propose l’equazione differenzialey ′′ (t) + ɛ(y 2 (t) − 1)y ′ (t) + y(t) = 0Questa equazione governa l’intensità di corrente in un circuito oscillante a triodo e viene utilizzata nellostudio di circuiti che contengano valvole termoioniche, i cosiddetti tubi a vuoto, come il tubo catodico deltelevisore o il magnetron nei forni a micro-onde. La quantità ɛ indica l’intensità dello smorzamento nonlineare: quanto più ɛ è elevato tanto più il sistema perde energia rapidamente.L’equazione differenziale del secondo ordine si può ricondurre ad un sistema di equazioni differenzialidel primo ordine. Ponendo u = (u 1 ,u 2 ) = (y, y ′ ) si ha( u′1u ′ 2) ()u 2=−ɛ((u 1 ) 2 − 1)u 2 − u 1Come si risolve numericamente un sistema di equazioni differenziali come quello appena scritto? Inquesto Capitolo, daremo una piccola introduzione a metodi numerici che permettono di risolvere equazionidifferenziali del primo ordine.10.2 Sulle equazioni differenziali ordinarieVogliamo trovare una funzione y(t) che soddisfi la seguente equazione differenziale ordinaria ( ODE:Ordinary Differential Equation) (del primo ordine):dy= f (t, y),dt a≤ t ≤ bLa funzione f (t, y) è assegnata. Ci riferiamo a t come alla variabile indipendente. Allora y = y(t) è tale chey ′ = y ′ (t) = dy(t) è esattamente la f (t, y(t)).dtEsempio 10.2.1 Sia f (t, y) = −y + t definita per t ≥ 0 e per qualunque y reale. Si hay ′ = −y + t, t ≥ 0Si verifica che, per qualunque scalare α la funzione y(t) = t − 1 + αe −t soddisfa la ODE.Se, inoltre, è assegnato un valore iniziale, per esempio y(0) = 1, allora, dovendo essere −1 + α = y(0) = 1,risulta α = 2. Assegnare una soluzione iniziale determina un’unica soluzione all’ODE. Si parla di problemaa valori iniziali (IVP).Nel caso in cui y(0) = 1 si ricava l’unica soluzione y(t) = t − 1 + 2e −t .Problemi in cui abbiamo equazioni alle derivate ordinarie di ordine più elevato possono essere trasformatiin sistemi equivalenti di equazioni del primo ordine.1 Balthasar van der Pol (1889-1959) fu un fisico e matematico olandese. Nel 1916 lavorò per un anno con l’ingegnere John AmbroseFleming a Londra (Fleming aveva già inventato il diodo nel 1904). Si trasferì successivamente a Cambridge e iniziò una collaborazionecon John Joseph Thomson al Cavendish Laboratory (Thomson aveva scoperto l’elettrone nel 1897). Qui divenne amico di Edward Appletonche, nel 1947, ricevette il premio Nobel per la fisica per i suoi contributi alla conoscenza della ionosfera – studi fatti insieme avan der Pol. La loro collaborazione riguardò anche lo studio di fenomeni non lineari usando circuiti triodi per verificare le loro teorie.Quando van del Pol rientrò in Olanda, continuò a occuparsi di ottica, elettromagnetismo, onde radio e fisica atomica. Il nome di vander Pol è associato con l’equazione differenziale che porta il suo nome. Questa equazione apparve per la prima volta sul suo articolo Onrelaxation oscillation pubblicato sulla rivista Philosophical Magazine nel 1926.146

10.3. Metodo di Eulero esplicitoEsempio 10.2.2 La seconda legge del moto di Newton F = ma è una ODE del secondo ordine in quantoa = y ′′ (dove y è la coordinata della posizione).Allora la ODE ha la formay ′′ = F /mcon F forza e m la massa. Definendo u 1 = y e u 2 = y ′ si ha il sistema (equivalente all’equazione di prima)di due equazioni del primo ordine di ODE:( u′) ( )1u2u2′ =F /mPossiamo ora usare metodi che risolvono equazioni del primo ordine per risolvere questo sistema. La primacomponente della soluzione u 1 ci dà il valore y dell’equazione da cui siamo partiti. La seconda componenteu 2 ci dà la velocità y ′ .Sistemi del primo ordine di ODE hanno la formaSistemi diODEy ′ (t) = f(t,y)dove y : R −→ R n con y = (y 1 y 2 ... y n ), f : R n+1 −→ R n e y ′ (t) = dy/d t denota la derivata rispetto a t (percui la i -sima componente del vettore derivata è data da y ′ i (t) = d y i (t)/d t). La funzione f è assegnata e noivogliamo determinare il vettore di funzioni y che soddisfa l’ODE.Per semplicità noi studieremo il caso di una singola equazione scalare, n = 1. Ma l’approccio è del tuttosimile nel caso di sistemi di equazioni del primo ordine.Sia data l’ODEy ′ = f (t, y(t))a ≤ t ≤ bcon valore inizialey(a) = y a .Per risolvere questa ODE discretizziamo l’intervallo [a,b] in n + 1 punti equidistanti (per semplicità): t i =a + i h, h = 0,1,...,n, con h = (b − a)/n.Il passo di discretizzazione (temporale se t assume il significato della variabile temporale) è dunque h.Nelle applicazioni pratiche, il passo h è variabile (cioè i punti non sono equidistanti), tuttavia, per capiremeglio come funzionano i metodi, noi useremo sempre un passo h costante.Sia y(t) la soluzione esatta del nostro problema a valori iniziali. Allora y(t i ) è il valore esatto dellasoluzione calcolata nel punto t i .Indichiamo invece con y i il valore approssimato al tempo t i che ricaviamo applicando un metodonumerico che risolve il problema proposto.10.3 Metodo di Eulero esplicitoCon il metodo di Eulero 2 esplicito approssimiamo la derivata y ′ mediante la formula di Taylor (delsecondo ordine) applicata al punto t i :y(t) = y(t i ) + (t − t i )y ′ (t i ) + (t − t i ) 2y ′′ (ξ i )22 Leonhard Euler (1707-1783) fu un matematico svizzero. Fu studente di Johann Bernoulli che comprese le sue grandi potenzialitàe favorì i suoi studi. Eulero è noto soprattutto per i suoi contributi nel campo della geometria, della teoria dei numeri, delle equazionidifferenziali, del calcolo delle variazioni. È lui che introdusse il simbolo f (x) per indicare le funzioni, e per la base naturale, i per laradice quadrata di −1, di π, il simbolo di sommatoria ∑ e altri ancora.147

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIELa quantità (t − t i ) 2y ′′ (ξ i ) è il resto della formula di Taylor con ξ i un punto opportuno nel segmento di2estremi t e t i .Prendiamo come t il valore t i + h vale a dire t i+1 , da cui si ha t − t i = t i+1 − t i = h. Sostituendo si ottiene:y(t i+1 ) = y(t i ) + hy ′ (t i ) + h22 y′′ (ξ i )Esplicitando y ′ (t i ) rispetto agli altri termini si ha:y ′ (t i ) = y(t i+1) − y(t i )− h h 2 y′′ (ξ i )Ora si sostituisce il valore trovato per y ′ (t i ) nella ODE y ′ = f (t, y(t)) per t = t i :y(t i+1 ) − y(t i )− h h 2 y′′ (ξ i ) = f (t i , y(t i ))Trascurando il termine h 2 y′′ (ξ i ) non abbiamo più i valori della soluzione esatta, ma otterremo i valori dellasoluzione approssimata. Scriviamo dunque:y i+1 − y ih= f (t i , y i )La formula di Eulero esplicito è: y i+1 = y i + h f (t i , y i ).La formula è di tipo esplicito perchè per passare dal livello i al livello i + 1 sfruttiamo i dati che giàconosciamo del livello i , dati che sono tutti espliciti.Si parte infatti da y 0 = y(t 0 ) = y(a) = y a e si ricava:y 1 = y 0 + f (t 0 , y 0 )y 2 = y 1 + f (t 1 , y 1 ). = . . .Un altroapproccioSi arriva alla stessa formula integrando l’ODE e approssimando l’integrale della f mediante il valore inf (t 0 , y(t 0 )): da y ′ = f (t, y(t)) integrando ambo i membri da t 0 a t, otteniamo∫ tt 0∫d ytd t d t =t 0f (t, y(t)) d t =⇒∫ y(t)y 0d y =∫ tt 0f (t, y(t)) d tAl secondo membro, approssiamo ∫ tt 0f (t, y(t)) d t mediante il valore (t − t 0 )f (t 0 , y(t 0 )) (approssimiamo la fmediante la retta f (t 0 , y(t 0 ))).Abbiamo:y(t) = y 0 + (t − t 0 )f (t 0 , y 0 )) + errore della formula di quadratura.Per t = t 1 , numericamente: y 1 = y 0 + h f (t 0 , y 0 )).Ai passi successivi: y i+1 = y i + h f (t i , y i ))Esempio 10.3.1 Supponiamo di applicare il metodo di Eulero esplicito alla ODE y ′ = −y con passo h apartire dal punto iniziale t 0 = 0 e avanziamo al tempo t 1 = t 0 + hy 1 = y 0 + h f (t 0 , y 0 ) = y 0 − hy 0 = (1 − h)y 0Il valore che ottienamo y 1 è affetto da errore: y 1 ≠ y(t 1 ) Per esempio, se per t 0 si ha y 0 = 1, la soluzione esattaè y(t) = e −t . Per h = 0.5, si ha y 1 = 0.5 mentre y(0.5) = e −0.5 ≈ 0.60653148

10.4. Metodo di Eulero implicitoDa un punto di vista geometrico (si veda la Figura 10.1), il valore in t i+1 è approssimato utilizzando il valoredella retta la cui pendenza è data da f (t i , y i ): è come se ad ogni passo cercassimo di risolvere il problema avalori iniziali:Interpretazionegeometricay ′ (t) = f (t, y(t))y(t i ) = y iper cui il valore che otteniamo per il tempo t i+1 è tangente alla traiettoria della soluzione di questo IVP.Figura 10.1: Interpretazione geometrica del metodo di Eulero esplicito. Si è considerato il problema y ′ = −ycon y(0) = 1 la cui soluzione esatta è y(t) = e −t . I valori numerici ottenuti dal metodo di Eulero esplicito sonocerchiati e si trovano sulla linea spezzata che li interpola. La linea spezzata è tangente, all’inizio di ogni passo,alla traiettoria che passa per il corrispondente punto, soluzione del problema y ′ = −y con y(t i ) = y i .10.4 Metodo di Eulero implicitoSe applichiamo la formula di Taylor di punto iniziale t i+1 , abbiamoy(t) = y(t i+1 ) + (t − t i+1 )y ′ (t i+1 ) + (t − t i+1) 2y ′′ (ξ i )2Per t = t i , si ha t − t i+1 = t i − t i+1 = t i − (t i + h) = −h. Sostituendo, abbiamo:y(t i ) = y(t i+1 ) − hy ′ (t i+1 ) + h22 y′′ (ξ i )Otteniamo quindiy ′ (t i+1 ) = y(t i+1) − y(t i )+ h h 2 y′′ (ξ i )149

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIEAndando a sostituire nella ODE al tempo t i+1 , si ha :y(t i+1 ) − y(t i )+ h h 2 y′′ (ξ i ) = f (t i+1 , y(t i+1 ))Trascurando il termine del resto di Taylor h 2 y′′ (ξ i ) abbiamo:y i+1 − y ih= f (t i+1 , y i+1 ))La formula di Eulero implicito vale y i+1 = y i + h f (t i+1 , y i+1 )).La differenza rispetto alla formula esplicita è che la f è valutata non più al tempo t i ma al tempo t i+1 Quindiil calcolo di y i+1 dipende implicitamente da y i+1 stesso! La valutazione di y i+1 diventa quindi più laboriosae complicata (se si ha un’equazione non lineare in y i+1 , la si risolve tramite un metodo di punto fisso o diNewton-Raphson). In termini di accuratezza si hanno risultati migliori.Esempio 10.4.1 Consideriamo sempre y ′ = −y con y(0) = 1 (soluzione esatta y(t) = e −t ).Il metodo di Eulero implicito diventa: y i+1 = y i − hy i+1 ovvero (1 + h)y i+1 = y iLa soluzione numerica è y i+1 =y i(1 + h) .Per h = 0.5 ricaviamo y 1 = 0.66667 contro un valore esatto y(1) ≈ 0.60653.Esempio 10.4.2 Si abbia l’equazione y ′ = −y 3 con condizione iniziale y(0) = 1. Usando il metodo di Euleroimplicito con passo h = 0.5, per ricavare y 1 otteniamo l’equazione implicitay 1 = y 0 + h f (t 1 , y 1 ) = 1 − 0.5y 3 1Questa equazione non lineare in y 1 può essere risolta mediante metodo di punto fisso (x = g (x) = 1−0.5x 3 )oppure utilizzando il metodo di Newton-Raphson per F (x) = 0 con F (x) = x −1+0.5x 3 ) . L’approssimazioneiniziale per ottenere y 1 può essere o la soluzione al passo precedente, y 0 , oppure usare il metodo di Euleroesplicito, che dà y 1 = y 0 − 0.5y 3 0 = 0.5. Otteniamo, come y 1 il valore finale y 1 ≈ 0.7709.Esempio 10.4.3 Vogliamo discretizzare il problema di Cauchyy ′ = −y 2y(0) = 1con passo h = 0.1 applicando il metodo di Eulero esplicito per ricavare y 1 e y 2 .Il metodo di Eulero esplicito è:y i+1 = y i + h f (t i , y i ) = y i + h(−y 2 i ) = y i − hy 2 iPartendo da y 0 = 1 si ricava:y 1 = 1 − 0.1(1 2 ) = 0.9y 2 = 0.9 − 0.1(0.9 2 ) = 0.819150

10.4. Metodo di Eulero implicitoPer confronto, calcoliamo la soluzione esatta y(t) = 1t + 1 , ottenendo:y(t 1 ) = y(0.1) = 1/(0.1 + 1) = 0.9090909090y(t 2 ) = y(0.2) = 1/(0.2 + 1) = 0.8333333333Applichiamo ora il metodo di Eulero implicito con lo stesso passo h = 0.1.y i+1 = y i + h f (t i+1 , y i+1 ) = y i − hy 2 i+1Per ricavare y 1 la formula diventa:y 1 = y 0 + h f (t 1 , y 1 ) = 1 − 0.1(y 2 1 )Abbiamo un’equazione non lineare in y 1 . Per trovare y 1 , possiamo pensare di applicare lo schema di puntofisso alla funzione g (y) = 1 − 0.1(y 2 ) partendo da y (0) = y 0 = 1, in quanto y 1 = g (y 1 ) è punto fisso per lafunzione g . Applichiamo tre passi dello schema di punto fisso:y (1) = g (y (0) ) = 1 − 0.1(1 2 ) = 0.9y (2) = g (y (1) ) = 1 − 0.1(0.9 2 ) = 0.919y (3) = g (y (2) ) = 1 − 0.1(0.919 2 ) = 0.9155439Se prendiamo y (3) come approssimazione di y 1 ricaviamo y 1 = 0.9155439 (per confronto, il valore esatto è0.90909090).Calcoliamo ora y 2 :y 2 = y 1 + h f (t 2 , y 2 ) = 0.9155439 − 0.1(y 2 2 )Ora la funzione di punto fisso diventa g (y) = 0.9155439 − 0.1(y 2 ). Applichiamo lo schema di punto fissopartendo da y (0) = y 1 = 0.9155439.y (1) = g (y (0) ) = 0.9155439 − 0.1(0.9155439 2 ) = 0.8317218367y (2) = g (y (1) ) = 0.9155439 − 0.1(0.8317218367 2 ) = 0.8463677786y (3) = g (y (2) ) = 0.9155439 − 0.1(0.8463677786 2 ) = 0.8439100583Troviamo quindi y 2 = 0.8439100583 (valore esatto 0.8333333333).Vediamo cosa accade in Eulero implicito se il punto iniziale del metodo di punto fisso è dato da un passodel metodo di Eulero esplicito.Per ricavare y 1 , considero come y (0) = y 0 + h f (t 0 , y 0 ) = 1 − 0.1 = 0.9In tal caso, l’approssimazione iniziale è quella che, nel caso di prima, era il valore y (1) .Applichiamo tre volte lo schema di punto fisso:y (1) = g (y (0) ) = 1 − 0.1(0.9 2 ) = 0.919y (2) = g (y (1) ) = 1 − 0.1(0.919 2 ) = 0.9155439y (3) = g (y (2) ) = 1 − 0.1(0.9155439 2 ) = 0.9161779367Quindi y 1 = 0.9161779367.Al secondo passo, lo schema di punto fisso è dato dalla funzione g (y) = y 1 − h(y 2 ) = 0.9161779367 − 0.1y 2 .Come approssimazione iniziale prendiamo y (0) = y 1 + h f (t 1 , y 1 ) = g (y 1 ) = 0.8322397355. Si ha:y (1) = g (y (0) ) = 0.9161779367 − 0.1(0.8322397355 2 ) = 0.8469156390y (2) = g (y (1) ) = 0.9161779367 − 0.1(0.8469156390 2 ) = 0.8444513267y (3) = g (y (2) ) = 0.9161779367 − 0.1(0.84445132672) = 0.8448681324Ricaviamo y 2 = 0.8448681324.151

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE10.5 Metodo di Crank-NicolsonPartiamo dall’ODE 3 y ′ = f (t, y(t)). Integriamo ambo i membri dell’equazione sull’intervallo [t i , t i+1 ]:∫ y(ti+1 )y(t i )dy =∫ ti+1t if (t, y(t)) dt =⇒ y(t i+1 ) − y(t i ) =∫ ti+1t if (t, y(t)) dtA secondo membro, applichiamo la formula dei trapezi trascurando l’errore di integrazione:y i+1 − y i = h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )]Si ha la formula di Crank-Nicolson: y i+1 = y i + h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )]AltroapproccioLa stessa formula la si può ricavare prendendo la media aritmetica delle formule di Eulero esplicito eimplicito:y i+1 − y i = h f (t i , y i )y i+1 − y i = h f (t i+1 , y i+1 )sommando e dividendo per 2:y i+1 − y i = h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )] =⇒ y i+1 = y i + h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )]Esempio 10.5.1 Lo stesso esempio di prima (y ′ = −y con y(0) = 1) risolto con Crank-Nicolson dà: y i+1 =y i + h 2 [−y i − y i+1 )] cioè(1 + h 2 )y i+1 = (1 − h ( ) 2 − h2 )y i =⇒ (2 + h)y i+1 = (2 − h)y i =⇒ y i+1 = y i2 + hPer h = 0.5, confrontiamo i valori ottenuti dai metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson, con lasoluzione esatta:t i y(t i ) y i Eul. Espl. y i Eul. Impl. y i C-N0.0 1.000000 1.0000000 1.000000 1.0000000.5 0.606531 0.5000000 0.666667 0.6000001.0 0.367879 0.2500000 0.444444 0.3600001.5 0.223130 0.1250000 0.296296 0.2160002.0 0.135335 0.0625000 0.197531 0.1296002.5 0.082085 0.0312500 0.131687 0.0777603.0 0.049787 0.0156250 0.087791 0.0466563.5 0.030197 0.0078125 0.058528 0.0279944.0 0.018316 0.0039062 0.039018 0.0167963 John Crank (1916-2006) è stato un matematico inglese che si è dedicato soprattutto allo studio di soluzioni numeriche di equazionialle derivate parziali, in particolare di problemi di conduzione del calore. È noto soprattutto per il lavoro svolto con Phyllis Nicolson.Phyllis Nicolson (1917-1968) è stata una matematica inglese. Negli anni della seconda guerra mondiale lavorò sulla teoria delmagnetron. È nota, appunto, per il metodo di Crank-Nicolson.152

10.6. Studio dell’errore10.6 Studio dell’erroreNel costruire i metodi (di Eulero esplicito, implicito, Crank-Nicolson) abbiamo trascurato un termine (ilresto della formula di Taylor o l’errore della formula dei trapezi): questo termine che abbiamo trascuratorappresenta l’errore di troncamento locale. Nel caso di Eulero esplicito avevamo (usando la formula diTaylor):y ′ (t i+1 ) = y(t i+1) − y(t i )− h h 2 y′′ (ξ i ) = f (t i , y(t i ))Per costruire il metodo, abbiamo trascurato il termine del resto, vale a dire la quantitàd i = y(t i+1) − y(t i )− f (t i , y(t i )) = h h2 y′′ (ξ i ) = O (h)Questa quantità ci dice di quanto la soluzione esatta “fallisce” nel soddisfare la relazione della formula diEulero esplicito e rappresenta l’errore di troncamento locale.Definizione 10.6.1 Si definisce errore totale di troncamento ε i la quantità:ε i = y(t i ) − y i .Ci aspettiamo che sia dello stesso ordine di grandezza dell’errore di troncamento locale.Definizione 10.6.2 Per effetto dell’arrotondamento, al tempo t i al posto di y i otteniamo il valore arrotondatoy i . Si definisce errore totale di arrotondamento la quantità:ε i = y i − y iDefinizione 10.6.3 L’errore globale dello schema numerico è dato dal contributo dell’errore totale ditroncamento e dell’errore totale di arrotondamentoɛ i = y(t i ) − y i = ε i + ε iGli errori di arrotondamento nell’approssimare la derivata prima di una funzione si comportano comeO ( 1 ) (si veda l’esempio fatto sulla propagazione degli errori a pag. 30). Tuttavia questo aspetto diventa secondarionella risoluzione delle ODE sia perchè il passo h nelle applicazioni non è mai troppo (esagerata-hmente) piccolo per ragioni di efficienza sia perchè è la y e non la y ′ la funzione che dobbiamo approssimare.Inoltre, nell’eseguire i calcoli in doppia precisione (come si fa nei moderni linguaggi di programmazione),l’aspetto dovuto all’arrotondamento si vede poco rispetto ad altri fenomeni che influenzano la propagazionedegli errori.10.7 Errori di troncamento localeG Nel metodo di Eulero esplicito:G Nel metodo di Eulero implicito:d i = y(t i+1) − y(t i )− f (t i , y(t i )) = h h2 y′′ (ξ i ) = O (h)d i = y(t i+1) − y(t i )− f (t i , y(t i+1 )) = − h h2 y′′ (ξ i ) = O (h)153

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIEG Nel metodo di Crank-Nicolson (derivando la formula dai trapezi e includendo il termine dell’errore):y(t i+1 ) − y(t i ) = h 2 [f (t i , y(t i )) + f (t i+1 , y(t i+1 ))] − f ′′ (τ i ,ξ i )h 312dove τ i e ξ i sono opportuni punti. Ma f = y ′ da cui f ′ = y ′′ e f ′′ = y ′′′ .Perciòy(t i+1 ) − y(t i ) = h 2 [f (t i , y(t i )) + f (t i+1 , y(t i+1 ))] − y′′′ (ξ i )h 312d i = y(t i+1) − y(t i )h10.8 Convergenza e stabilitàDefinizione 10.8.1 Un metodo si dice convergente se lim h→0− 1 2 [f (t i , y(t i )) + f (t i+1 , y(t i+1 ))] = − y′′′ (ξ i )h 2 = O (h 2 )12i→+∞ɛ i = 0 cioè se l’errore va a zero al tendere delpasso h a zero e di i all’infinito in modo che il prodotto i h si mantenga costante (così t 0 +i h tende ad un valoredi t fissato: studiamo l’errore fissato t).Esempio 10.8.1 Vediamo come, fissato un certo istante t, possiamo fare tendere h a zero e far crescere iall’infinito in modo che t 0 + i h sia sempre uguale a t. Sia t 0 = 0 e t = 0.5:h i i h0.5 1 0.50.25 2 0.50.125 4 0.50.0625 8 0.5...2.4414e-4 2048 0.5Definizione 10.8.2 Un metodo si dice stabile se l’errore iniziale si mantiene limitato al crescere di i (per i → ∞):con M costante positiva.|ɛ i | ≤ M|ɛ 0 |Studieremo la convergenza e la stabilità dei metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolsonapplicati all’equazione test y ′ = −λy (λ > 0 in modo che −λ < 0) con condizione iniziale y(0) = y 0 .La soluzione esatta di questo IVP è y(t) = y 0 e −λt : tende a zero per valori di t crescenti. Ci aspettiamo cheanche la soluzione numerica si comporti in maniera simile.10.8.1 Convergenza di Eulero esplicitoPer semplicità, applichiamo la formula del metodo di Eulero esplicito all’equazione test con λ = 1.y 1 = y 0 + h f (t 0 , y 0 ) = y 0 − hy 0 = (1 − h)y 0y 2 = y 1 + h f (t 1 , y 1 ) = y 1 − hy 1 = (1 − h)y 1.y i = y i−1 + h f (t i−1 , y i−1 ) = y i−1 − hy i−1 = (1 − h)y i−1154

10.8. Convergenza e stabilitàAndando a ritroso troviamo una formula che lega y i direttamente a y 0 .y 1 = (1 − h)y 0y 2 = (1 − h)y 1 = (1 − h) 2 y 0.y i = (1 − h)y i−1 = (1 − h) i y 0La soluzione numerica al tempo t i è data da y i = (1 − h) i y 0 . Fissato un tempo t = i h, vediamo secioè selimh→0i→+∞y i = y(t).i h⎡1⎤Osserviamo che: (1 − h) i = (1 − h) h = ⎣(1 − h) h ⎦Ricordiamo la proprietà per la quale x α = e ln(xα) = e αln(x) .1ln(1 − h)tlimh→0i→+∞Perciò: (1 − h) h = e ln(1−h)( 1/h) = e hQuando facciamo il limite per h → 0 e per i → +∞ consideriamo che, per il teorema dell’ Hôpital, valeDi conseguenza lim h→0 e h ln(1−h) = e −1Alloralimh→0i→+∞1y i = limh→0i→+∞ln(1 − h) −1lim = limh→0 h h→0 1 − h = −1⎡y 0 (1 − h) i = lim y 0 h→0i→+∞1⎤t⎣(1 − h) h ⎦ = y 0 e −t = y(t)ɛ i = 0In questo modo abbiamo provato che il metodo converge. Il discorso si ripete in maniera del tutto simile,per λ ≠ 1.10.8.2 Stabilità di Eulero esplicitoDobbiamo provare che l’errore si mantiene limitato. Sia λ > 0. Abbiamo y i+1 = y i −hλy i = (1−hλ)y i , valea dire y i+1 = (1−hλ) i+1 y 0 La soluzione esatta di questo problema è y(t) = y 0 e −λt e tende a zero per valori di tcrescenti. Vogliamo che tenda a zero anche la soluzione numerica (in modo da mantenere limitato l’errore).La soluzione numerica (fissato h e per i grande, cioè per valori di t crescente) tende a zero se |1−hλ| < 1 cioèper −1 < 1 − hλ < 1 ⇐⇒ 0 < hλ < 2 ⇐⇒ h < 2 λ .Il metodo di Eulero esplicito è stabile sotto condizione.10.8.3 Convergenza di Eulero implicitoIl metodo di Eulero implicito applicato all’equazione test diventa:y i+1 =y i(1 + hλ)155

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIEQuindiy 0y 1 =(1 + hλ)y 1y 2 =(1 + hλ) = y 0(1 + hλ) 2y 2y 3 =(1 + hλ) = y 0(1 + hλ) 3.y i =y i−1(1 + hλ) = y 0(1 + hλ) iIn tal casolimh→0i→+∞y i = limh→0i→+∞y 0(1 + hλ) i = limh→0i→+∞⎡1⎤y 0 (1 + hλ) −i = y 0⎣(1 + hλ) h ⎦(i passaggi sono del tutto simili a quelli visti per Eulero esplicito).Abbiamo provato la convergenza.−i h= y 0 e −tλ10.8.4 Stabilità di Eulero implicitoy 0Per la stabilità, si vede che la soluzione è y i =(1 + λh) i1Per i → +∞, qualunque sia il valore di h, la soluzione tende a zero in quanto lim i→+∞(1 + λh) i = 0 Siparla di metodo incondizionatamente stabile.10.8.5 Convergenza di Crank-NicolsonIl metodo di Crank-Nicolson applicato all’equazione test diventa: y i+1 = y i + hλ2 [−y i − y i+1 ] da cuiAndando a ritroso si ricava( ) 2 − hλy i+1 = y i2 + hλ( ) 2 − hλ i+1y i+1 = y 02 + hλPer verificare che il metodo converge studiamo il limitelimh→0i→+∞⎡( ) 2 − hλ i ( ) 1 ⎤⎢ 2 − hλ= ⎣h ⎥⎦2 + hλ 2 + hλi hy i . Partiamo dalla relazione⎡( ) 1 ⎤t⎢ 2 − hλ= ⎣h ⎥⎦2 + hλMa( 2 − hλ2 + hλ) 1 1 2 − hλln(h = e h 2 + hλ )156

10.8. Convergenza e stabilitàNel fare il limite per h → 0 e i → +∞ della quantità che si trova all’esponente, applichiamo l’Hôpital ericordiamo che la derivata di 2 − hλ −λ(2 + hλ) − (2 − hλ)λvale2 + hλ (2 + hλ) 2 = −4λ(2 + hλ) 2 :Quindilimh→0i→+∞ln( 2 − hλ2 + hλ )limh→0i→+∞La convergenza è provata.hy i = limh→0i→+∞= limh→0i→+∞( 2 − hλy 02 + hλ2 + hλ −4λ2 − hλ (2 + hλ) 2 = lim −4λh→0 (2 + hλ)(2 − hλ) = −λ) i= limh→0i→+∞i→+∞⎡( ) 1 ⎤⎢ 2 − hλy 0 ⎣h ⎥⎦2 + hλi h= y 0 e −tλ10.8.6 Stabilità di Crank-Nicolson( ) 2 − λh iPer la stabilità, si vede che la soluzione numerica è y i = y 0 . Per i → +∞, qualunque sia il valore2 + λh( ) 2 − λh idi h, la soluzione tende a zero in quanto lim i→+∞ = 0. Il metodo è incondizionatamente stabile.2 + λh10.8.7 Sulla stabilitàLa stabilità di questi metodi la si può verificare anche considerando direttamente l’errore ɛ i , dimostrandoche gli errori al passo i e al passo i +1 verificano la stessa relazione che hanno y i+1 e y i e mostrando che l’errorerimane limitato sotto condizione per Eulero esplicito mentre è incondizionatamente stabile per gli altrimetodi. In Figura 10.2 si vede come il metodo di Eulero esplicito sia stabile sotto condizione mentre i metodidi Eulero implicito e Crank-Nicolson sono stabili qualunque passo di discretizzazione venga utilizzato.Esempio 10.8.2 Consideriamo il metodo di Eulero esplicito e applichiamolo all’equazione test. Sappiamoche y i+1 = y i + hλy i .Per la soluzione esatta, sappiamo che vale y(t i+1 ) = y(t i ) + hλy(t i ) + hd i (con d i l’errore di troncamentolocale).Sottraendo la prima equazione dalla seconda abbiamoɛ i+1 = ɛ i + hλɛ i + hd iConsiderato che d i = h 2 y′′ (ξ i ) e che, per studiare la stabilità, h è fissato mentre i tende a +∞, il termine hd inon influisce sull’andamento dell’errore e possiamo trascurarlo. Si ha allora la relazione:ɛ i+1 = ɛ i + hλɛ iRicaviamo ɛ i = ɛ 0 (1 + hλ) i .Il ragionamento da fare è lo stesso che abbiamo fatto in precedenza e troviamo gli stessi risultati. Dobbiamoinfatti verificare quando ɛ i tende a zero per i che tende a+∞. . .157

10. EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIEFigura 10.2: Confronto dei metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson sull’equazione test y ′ = −y,prendendo come h il valore h = 2 (a sinistra) e h = 0.5 (a destra).10.9 EserciziEsercizio 10.9.1 Studiare la stabilità del metodo di Eulero esplicito applicato all’equazione differenzialey ′ = −2y + 1, con y(0) = 1 (soluzione esatta y(t) = e−2t + 1)2SvolgimentoPer provare la stabilità del metodo dobbiamo verificare che l’errore iniziale si mantiene limitato per valoricrescenti del tempo.Il metodo di Eulero esplicito applicato all’ODE del problema diventay i+1 = y i + h(−2y i + 1) = (1 − 2h)y i + hLa soluzione esatta soddisfa un’equazione del tipoy(t i+1 ) = y(t i ) + h(−2y(t i ) + 1) + hd i = (1 − 2h)y(t i ) + h + hd iNel calcolare l’errore ɛ i+1 = y(t i+1 ) − y i+1 abbiamoɛ i+1 = (1 − 2h)ɛ i + hd iIl termine hd i (d i errore locale di troncamento) si può trascurare. Abbiamo allora ɛ i+1 = (1 − 2h)ɛ i .Possiamo trovare con facilità che ɛ i+1 = (1 − 2h) i+1 ɛ 0 o, ancora, ɛ i = (1 − 2h) i ɛ 0 .Se vogliamo che l’errore rimanga limitato per i → ∞ la quantità (1 − 2h) i non deve crescere.Quindi deve essere |1 − 2h| < 1, vale a dire −1 < 1 − 2h < 1 cioè 2h < 2, quindi h < 1: stabilità sottocondizione.158

C A P I T O L O11INTRODUZIONE AL FORTRAN 77:–Almeno hai trovato i files?:– Non so nemmeno come... comesono fatti?:– Sono dentro il computer.:– Sono “dentro” il computer?.:– Com’è che i files non escono?Zoolander11.1 Introduzione alla programmazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.2 FORTRAN: FORmula TRANslator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.3 Problemi e Algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.4 Elementi di un linguaggio di programmazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.5 Prime regole sul FORTRAN77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.6 Le variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.7 I tipi di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.8 Espressioni aritmetiche e funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.9 I predicati elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.10 Struttura alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.11 Programma sul metodo di punto fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.12 I sottoprogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.12.1 Le functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.12.2 Le subroutines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.13 Il formato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.14 Files di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.15 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.16 Ciclo do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.16.1 I vettori nei sottoprogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.16.2 Leggere i dati di input da file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.17 Matrici in FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.17.1 Le matrici nei sottoprogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.17.2 Memorizzazione delle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184159

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 7711.18 La formula dei trapezi in FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18511.19 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.1 Introduzione alla programmazionePrendono il nome di software quei programmi che vengono fatti eseguire al calcolatore e consentonoall’hardware di svolgere il proprio compito.Esistono due categorie di linguaggi per scrivere programmi:G linguaggi di alto livello (come FORTRAN, C, C++)G linguaggi di basso livello (come assembler)Il linguaggio macchina, invece, è il linguaggio specifico dell’elaboratore e consiste di cifre binarie 0 e 1 cheidentificano istruzioni elementari. Ogni elaboratore ha il suo linguaggio macchina.I linguaggi di basso e alto livello si possono tradurre in un qualsiasi linguaggio macchina e possono essereutilizzati su qualsiasi elaboratore (sono portabili).Con i linguaggi di basso livello, i codici binari (fatti da 0 e 1) vengono sostituiti da opportune ”parolechiave” che permettono una corrispondenza uno-uno tra il linguaggio di basso livello e il linguaggiomacchina.Con i linguaggi di alto livello, una singola istruzione può tradurre più istruzioni di linguaggio macchina.Inoltre un linguaggio di alto livello è facile da capire (nella sua sintassi, nelle sue regole, nel suo modo diessere utilizzato) da chi programma.Perciò, quando si programma con un linguaggio di alto livello, il programmatore deve conoscere e saperebene la grammatica, la sintassi, il vocabolario del linguaggio stesso.Uno volta scritto il programma in modo corretto, occorre fare capire al computer che c’è un programma daeseguire: bisogna quindi tradurre in linguaggio macchina il programma scritto con il liguaggio di alto livello:questo passaggio lo si fa mediante la compilazione. Useremo un comando (un’istruzione da scrivere nellafinestre di shell, nella stessa directory in cui si trova il programma che abbiamo scritto) che ci permetteràdi tradurre il programma scritto nel linguaggio di alto livello (che chiamamo programma sorgente) in unprogramma equivalente scritto in linguaggio macchina e che potrà essere eseguito dal calcolatore, dettoprogramma eseguibile.Programma sorgentecompi l ator e−−−−−−−−−→ Programma eseguibile11.2 FORTRAN: FORmula TRANslatorFORTRAN è una sigla per FORMula TRANslator.Anche se il FORTRAN si è molto evoluto, ci soffermeremo in particolare sulla versione 77 perchè (a partealcuni punti ormai obsoleti) la sintassi e il modo di imparare a scrivere un programma è più semplice.Inoltre è possibile scaricare gratuitamente in rete compilatori del FORTRAN77 da poter installare sul propriocomputer (anche con sistema operativo Windows).Un programma FORTRAN va prima scritto mediante un editor di testo, salvandolo con un nome che abbial’estensione .f, per esempio prova.f. Poi va tradotto in linguaggio macchina in modo da poterlo eseguireal calcolatore: questo passo viene fatto attraverso la compilazione. Un compilatore è il g77. Mediantel’istruzioneg77 -o prova prova.ftradurremo in linguaggio macchina il programma prova.f e il risultato sarà la creazione di un nuovo filechiamato prova che potremo eseguire.Possiamo scrivere ancheg77 -o prova.exe prova.f160

11.3. Problemi e AlgoritmiPossiamo mettere (o meno) un’estensione al file eseguibile.Per eseguire il programma prova, scriveremo (da shell) l’istruzioneprovaoppure./provaa seconda del calcolatore.Altri tipi di compilatore sono f77, gfortran.11.3 Problemi e AlgoritmiCi sono tante definizioni per problema:G etimologicamente, viene dal verbo greco ”pro-ballein” pro:davanti ballein:mettere, ostacolo, promontorio,impedimentoG sul dizionario troviamo: Questione da risolvere partendo da elementi noti mediante il ragionamento, eper la quale si propongono soluzioni 1G o ancora quesito con cui si chiede di trovare, mediante un procedimento di calcolo, uno o più datisconosciuti, partendo dai dati noti contenuti... 2G in senso figurato, invece, per problema si intende Questione, situazione difficile o complessa di cuisi cerca la spiegazione o la soluzione: 3 e questione, situazione, caso difficile da risolvere e che generapreoccupazione, . . . , complicazione, difficoltà, ostacolo 4G estendendo ancora il significato, si trova Persona misteriosa, incomprensibile, il cui comportamentopreoccupa o mette in difficoltà 5G . . .Qualunque sia la definizione che diamo, il tratto comune è di avere a che fare con una questione cui vogliamodare una risposta o che vogliamo risolvere. Una delle prime cose da considerare quando si cerca di risolvereun problema è, dunque, come porre il problema.Il linguaggio naturale viene usato per descrivere un problema. Ma bisogna porre attenzione:G Lo stesso evento è descritto diversamente da un bambino di 3 anni rispetto a un uomo adulto.G Lo stesso evento viene descritto diversamente da un ingegnere, un fisico, un matematico.G A volte, le stesse parole possono essere usate per dire cose completamente diverse!C’è poi il linguaggio artificiale, che si presenta sotto forma di termini tecnici (dalla fisica, ingegneria, etc) enotazioni (per esempio dall’algebra, dal calcolo, dalla logica).Per esempio, termini come temperatura, pressione, massa, espansione isotermica e adiabatica, possonoessere usati in un’officina per riparare il motore di un’automobile, da un medico che sta misurando lapressione del sangue, da un ingegnere che lavora su una turbina a gas. . .Una volta che il problema è stato descritto e se ne ha una buona conoscenza (con l’aiuto del linguaggionaturale e artificiale), si può passare alla fase di soluzione del problema stesso.Ecco l’approccio dell’algoritmo. Un algoritmo è una sequenza di passi che permettono di risolvere tuttoo parte di un problema. 6Un algoritmo si può paragonare ad una ricetta di cucina: la ricetta consiste di due partiAlgoritmo1 Dal Dizionario online della Hoepli http://dizionari.hoepli.it2 Dal Dizionario online della Garzanti http://www.garzantilinguistica.it3 Da http://dizionari.hoepli.it4 Da il Sabatini Colletti Dizionario della Lingua Italiana http://dizionari.corriere.it/dizionario_italiano5 Da http://dizionari.hoepli.it6 La parola algoritmo è entrata in uso negli anni ’50 in sostituzione di algorismo, termine con cui si indicava il processo di calcoloutilizzando i numeri arabi. Il termine algoritmo deriva dal nome di “al-Khwarizmi”, importante matematico arabo del nono secolo grazieal quale l’Europa imparò ad usare i numeri arabi, oltre alla notazione in base 10. Le procedure che permettevano di effettuare calcoli innotazione decimale presero il nome di algorismi o algoritmi. Anche la parola algebra viene da questo matematico e, in particolare, dallasua opera “Al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala”.Nel medioevo (e forse anche per qualche studente di oggi!!!), si pensava che questa parola derivasse dal greco algiros (panico, dolore)e arithmos (numero).161

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77G la lista degli ingredientiG la sequenza dei passi da fare per realizzare la ricettaNel realizzare una ricetta si possono avere problemi nel cercare alcuni ingredienti. Una parte dell’esecuzionerichiederà poco tempo, altre parti richiederanno più tempo. Alcuni passi non richiedono che si segua uncerto ordine, altri passi richiedono che si mantenga l’ordine scritto sulla ricetta. . . Le stesse analogie troviamoin un algoritmo.11.4 Elementi di un linguaggio di programmazioneCome tutti i linguaggi, anche un linguaggio di programmazione ha le sue regole di grammatica, sintassi,ortografia. . .Inoltre, un programma non può essere ambiguo, in quanto diventa il preciso risultato delle istruzioni inesse contenute.Alcune attività (non di programmazione) possono essere vaghe o ambigue:studia molto per superare l’esame. . . – quanto molto?compra un po’ di pane prima di tornare a casa. . . – quanto pane?Siamo noi che capiamo quanto dobbiamo studiare, quanto pane dobbiamo comprare, a seconda dell’esameda fare, della fame che abbiamo. . .In un programma non si può lasciare spazio al vago! Occorre essere precisi.I linguaggi di programmazione sono fatti da dichiarazioni (statements):G descrizione dei dati: che genere di dati abbiamo? Se vogliamo scrivere un programma in cui per ognistudente calcoliamo la media dei suoi voti, c’è un’ovvia differenza tra i nomi degli studenti (una stringadi caratteri) e la loro media (un numero). Si parla di tipo di dati.G strutture di controllo. Un programma può essere visto come una sequenza di istruzioni per risolvereun certo problema. Alcune istruzioni vanno ripetute, altre vanno eseguite solo in determinatecondizioni. . .G lavorazione dei dati (data processing). In un programma occorre poter lavorare sui dati e poterli”manipolare” opportunamente.G dichiarazioni di ingresso e uscita (input e output). In genere, un programma è scritto in modo che idati su cui si lavora possano esistere fuori del programma stesso.11.5 Prime regole sul FORTRAN77Scriviamo il nostro primo programma di prova, prova.f (apriamo un editor di testo e scriviamo leseguenti righe, poi salviamo il file dando il nome prova.f):program provaCC questo e ’ un programma di provaCwrite ( * , * ) ’programma di prova ’write ( * , * ) ’ questo e ’ ’ un programma di prova ’stopendG In FORTRAN77 tutte le istruzioni vanno scritte tra la 7-ima e la 72-sima colonna 7 ;G le colonne da 1 a 6 hanno un significato particolare.– sulla prima colonna si mette una C (o un altro carattere) se ciò che segue è una riga di commento7 Questo limite è dovuto al fatto che fino alla fine degli anni settanta, la programmazione veniva fatta utilizzato schede perforate, deicartoncini rettangolari di dimensione standard, ciascuna delle quali era suddivisa in un numero fisso di colonne e righe (generalmente80 colonne e 12 righe).162

11.6. Le variabili– sulla colonna 6 si mette un carattere qualunque (meglio una lettera dell’alfabeto) se l’istruzionescritta sulla riga precedente è troppo lunga e va oltre la 72-sima colonna per cui si deve andare acapo oppure si vuole andare a capo per leggere meglio l’istruzione. Nella riga in cui si mette uncarattere sulla colonna 6, continua l’istruzione dalla riga precedente.G Il programma inizia con l’istruzione program seguito dal nome del programma.G L’istruzione stop arresta l’esecuzione del programma.G L’istruzione end segnala che non vi sono altre righe nel programma.Con questo programma di esempio, vogliamo far scrivere al computer, sulla finestra di shell in cui eseguiamoil programma, le due frasi programma di prova e questo e’ un programma di prova.L’istruzione write(*,*) ’programma di prova’rende disponibile all’esterno le informazioni contenute tra i due apici, vale a dire la stringa di caratteriprogramma di prova.Al posto di write(*,*) ’programma di prova’ potremmo scrivere, in modo del tutto equivalente,write(6,*) ’programma di prova’Il primo simbolo “*” di write(*,*) o il numero “6” di write(6,*) sono due modi equivalenti perindicare che il dispositivo di uscita su cui mostrare la stringa di caratteri è il terminale (la finestra di shell dacui eseguiamo il programma).Vedremo che ci sono anche altri modi per rendere disponibile l’output del programma non su video masu file.L’apice viene usato per indicare l’inizio e la fine della stringa di caratteri da stampare. Quindi, per stamparee’ dobbiamo usare gli apici due volte:write(*,*) ’questo e’’ un programma di prova’11.6 Le variabiliScriviamo ora un programma più complicatoprogram a r e a t r i aC programma per c a l c o l a r e l ’ area di un triangoloC dando in input i v a l o r i della base e dell ’ altezzaimplicit nonereal *8 a , b , areawrite ( * , * ) ’ base a ’read ( * , * ) awrite ( * , * ) ’ base ’ , awrite ( * , * ) ’ altezza b ’read ( * , * ) bwrite ( * , * ) ’ altezza ’ , barea =(a*b ) * 0 . 5write ( * , * ) ’ area del triangolo ’ , areastopendG L’istruzione implicit none dice che nessuna variabile può essere dichiarata implicitamente:dobbiamo dichiarare tutte le variabili che utilizziamo all’interno del programma!G Introduciamo tre variabili di tipo reale in doppia precisione, mediante real*8 a,b,c.G Con read(*,*) a si impone al calcolatore di prendere un valore e memorizzarlo nella variabile a, equesto valore lo si dà tramite tastiera. Analogamente potremmo scrivere read(5,*) a: il numero 5indica che l’acquisizione dei dati avviene da tastiera.G Prima dell’istruzione di read c’è una write che ci indica quale valore dobbiamo mettere: è importantealtrimenti vedremmo che l’elaboratore si mette in attesa di un valore e rimane così fino a quando nonlo riceve. Ma se noi non sappiamo che valore dargli, possiamo aspettare anche ore. . . . (vedere cosasuccede togliendo le istruzioni di write!)163

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77integerrealreal*8double precisionlogicalcharactervariabile interavariabile reale in precisione semplicevariabile reale in doppia precisione(occupa esattamente 8 bytedi memoria)variabile reale in doppia precisione(accuratezza diversa a secondadella macchina usata)variabile logicastringhe di caratteriTabella 11.1: Tipi di datiG Una volta dati i valori di input, si effettua un’istruzione di assegnazione: si prende il valore memorizzatonella variabile a lo si moltiplica per il valore di b e per 0.5 e il risultato viene memorizzato in una nuovavariabile chiamata area. Il simbolo * è il simbolo di moltiplicazione.G Quando effettuiamo un’assegnazione, il valore contenuto nella variabile a sinistra del segno = vieneperso. Nel nostro caso, in area non era memorizzato nessun valore, ma se avessimo posto in area unqualche valore iniziale, esso andrebbe perso perchè sostituito dall’operazione a*b*0.5. I valori di a eb non cambiano.G Nel momento in cui viene lanciato il programma, il valore delle variabili è incognito. Mediante tastiera,noi diamo i valori ad a e b. Mediante assegnazione, diamo il valore ad area. Una volta terminata l’esecuzionedel programma, il valore delle variabili torna ad essere incognito. Perciò ci facciamo stampareil loro valore prima dell’istruzione di stop.11.7 I tipi di datiUna variabile rappresenta un ”posto” (o locazione) della memoria del calcolatore, contrassegnato daun nome che identifica la variabile, e dove possono essere scritte delle informazioni che l’elaboratore puòutilizzare (per esempio il valore della variabile se la variabile è di tipo reale o intero).Le variabili possono essere di vario tipo: intere, reali, logiche (per le variabili logiche il valore può esseresolo o vero o falso), complesse, di caratteri (stringhe di caratteri).Le variabili di tipi intero possono variare in un intervallo limitato (tra un minimo e un massimo interirappresentabili). La stessa cosa vale per le variabili di tipo reale: esiste un valore minimo e massimo realerappresentabile. Questi valori di minimo e massimo dipendono dall’elaboratore (si veda il Capitolo 1).G Osserviamo che in FORTRAN una variabile può essere scritta con i caratteri maiuscoli o minuscolisenza distizioni: XOLD è la stessa cosa di xold o XoLd.11.8 Espressioni aritmetiche e funzioni elementari∗∗ elevamento a potenza∗ moltiplicazione/ divisione+ addizione− sottrazioneTabella 11.2: Operazioni aritmetiche164

11.9. I predicati elementariFunzione FORTRANsin(x)cos(x)tan(x)asin(x)acos(x)atan(x)exp(x)log(x)log10(x)sqrt(x)Significatosin(x)cos(x)tan(x)asi n(x)acos(x)at an(x)e xln(x)log(x) xTabella 11.3: Principali funzioniNel fare le operazioni matematiche, in FORTRAN viene data la precedenza (priorità) agli elevamenti apotenza, poi alle moltiplicazioni e divisioni, infine a sottrazione e addizione. Quando due operatori hanno lastessa priorità vengono eseguite le operazioni partendo da sinistra e andando verso destra. Tuttavia, quandole espressioni sono abbastanza complicate e c’è il rischio di non capire bene quali operazioni vanno fatteprima e quali dopo, conviene mettere sempre le parentesi.In FORTRAN ci sono già molte funzioni matematiche che possiamo utilizzare per i nostri programmi. InTabella 11.8, vediamo le principali funzioni.11.9 I predicati elementariGli algoritmi che tradurremo in programmi quasi mai hanno solo istruzioni sequenziali (vale a dire istruzionida eseguire l’una di seguito all’altra). Molte volte, infatti, viene eseguita una istruzione piuttosto cheun’altra se certe condizioni sono vere. Oppure vengono ripetute alcune istruzioni fintantochè sono vere determinatecondizioni. Gli operatori mostrati in Tabella 11.9 ci serviranno per poter scrivere istruzioni legatead una condizione.Operatore Significato Esempio Valore.GT. > (a.gt.b) Vero se a > bFalso se a ≤ b.GE. >= (a.ge.b) Vero se a ≥ bFalso se a < b.LT. < (a.lt.b) Vero se a < bFalso se a ≥ b.LE. b.EQ. == (a.eq.b) Vero se a = bFalso se a ≠ b.NE. ∼= (a.ne.b) Vero se a ≠ bFalso se a = bTabella 11.4: Operatori logici ( È la stessa cosa scrivere .GT. o .gt. .GE. o .ge. e così via.)Dato P un predicato (vale a dire una proposizione logica che può assumere solo valore vero o falso) sihanno gli operatori logici di Tabella 11.9.165

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77Operatore Significato Esempio.NOT. negazione .not.(P)∼.AND. congiunzione (P1).and.(P2)&.OR. disgiunzione (P1).or.(P2)inclusiva|Tabella 11.5: Operatori logiciEsempio 11.9.1 Sia a=5 e b=10.G La proposizione (a.le.b) è una proposizione vera (.true.) perchè il valore assunto da a (5) è minore ouguale al valore di b (10).G La proposizione (a.eq.b) è falsa (.false.) perchè il valore di a è diverso da quello di bG La proposizione (a.gt.b) è falsa.G La proposizione (a.ge.b) è falsa.G La proposizione (a.ne.b) è vera.G La proposizione (a.lt.b) è vera.Esempio 11.9.2 Sia a=5, b=10, c=2G (a.le.b).and.(c.le.b) è una proposizione vera perchè composta da due proposizioni vereG .not.(a.le.b) è una proposizione falsa. Negare (a.le.b) vuol dire scrivere (a.gt.b). Ma a non è maggiorestretto di b, quindi il risultato è falso.G .not.(b.eq.c) è una proposizione vera, in quanto stiamo negando (b.eq.c): (b.eq.c) è falsa quindi la suanegazione è vera.G (a.le.b).or.(c.ge.b) è una proposizione vera perchè basta che una delle due proposizioni sia vera perrendere vero l’intero predicato.G (a.le.b).and.(c.ge.b) è un predicato falso perchè devono essere vere tutte e due le proposizioni che lacompongono per rendere vero il predicato.G (a.eq.b).and.(c.ge.b) è un predicato falso perchè composto da due proposizioni false.G (a.eq.b).or.(c.ge.b) è un predicato falso.RiassumendoG Negare un predicato falso dà come risultato un predicato vero.G Negare un predicato vero dà come risultato un predicato falso.G Congiungere (con .and.) due predicati veri dà come risultato un predicato vero.G Congiungere (con .and.) due predicati falsi dà come risultato un predicato falso.G Congiungere (con .and.) due predicati, uno vero ed uno falso, dà come risultato un predicato falso.G Disgiungere (con .or.) due predicati veri dà come risultato un predicato vero.G Disgiungere (con .or.) due predicati falsi dà come risultato un predicato falso.G Disgiungere (con .or.) due predicati, uno vero ed uno falso, dà come risultato un predicato vero.Importanti sono da ricordare le regole di De Morgan. Dati due predicati P1 e P2166

11.10. Struttura alternativaG ( .not. ( (P1).and.(P2) ) equivale a scrivere ( .not.(P1) .or. .not.(P2) )Negare una congiunzione significa disgiungere le negazioni dei due predicati che la compongono.G ( .not. ( (P1).or.(P2) ) equivale a scrivere ( .not.(P1) .and. .not.(P2) )Negare una disgiunzione significa congiungere la negazione dei due predicati che la compongono.Esempio 11.9.3 (.not.( (oggi fa freddo).and.(oggi è piovuto) ) ) =(oggi NON fa freddo) .or. (oggi NON è piovuto)(.not.( (oggi fa freddo).or.(oggi NON ho voglia di fare niente) ) ) =(oggi NON fa freddo) .and. (oggi ho voglia di fare tante cose)(.not.( it.le.100). and. ( x.ge.0.001) ) ) = ( (it.gt.100). or. (x.lt.0.001) )(.not.( it.le.100). or. ( x.ge.0.001) ) ) = ( (it.gt.100). and. (x.lt.0.001) )program p r e d i c a t i l o g i c iC programma di esempio s u l l e proposizioni logicheimplicit nonereal *8 a , b , cl o g i c a l p1 , p2 , pwrite ( * , * ) ’ s c r i v i i l valore di a ’read ( * , * ) awrite ( * , * ) ’ a= ’ , awrite ( * , * ) ’ s c r i v i i l valore di b ’read ( * , * ) bwrite ( * , * ) ’b= ’ , bwrite ( * , * ) ’ s c r i v i i l valore di c ’read ( * , * ) cwrite ( * , * ) ’ c= ’ , cp1= ( a . l t . b)p2=(b . gt . c )write ( * , * ) ’p1= a . l t . b ’ , p1write ( * , * ) ’p2= b . gt . c ’ , p2p= p1 . and . p2write ( * , * ) ’p1 and p2 ’ , pp= . not . ( p1 . and . p2 )write ( * , * ) ’ not ( p1 and p2 ) ’ , pp= p1 . or . p2write ( * , * ) ’p1 or p2 ’ , pp= . not . ( p1 . or . p2 )write ( * , * ) ’ not ( p1 or p2 ) ’ , pstopend11.10 Struttura alternativaI programmi in cui le istruzioni devono essere eseguite una di seguito all’altra si dicono a struttura sequenziale.Questa struttura è pero abbastanza limitata in quanto non permette di risolvere problemi anchesemplici.Supponiamo di risolvere il problema di trovare le radici di un’equazione di secondo grado ax 2 +bx +c = 0.G i dati di input sono i coefficienti a,b,c167

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77Ciclo ifG si calcola il discriminante ∆ = b 2 − 4acG se ∆ < 0 allora le radici sono complesseG se ∆ = 0 allora sappiamo che le radici coincidonoG se ∆ > 0 allora applichiamo la formula per trovare le due radici. Sappiamo però che si può verificareil fenomeno di cancellazione numerica se b 2 − 4ac ≈ b 2 e quindi possiamo applicare una formulaalternativa. . .Come fare a scrivere un programma che tenga conto di tutte le condizioni che abbiamo visto prima, chefaccia quindi qualcosa piuttosto che un’altra a seconda che sia vera o falsa una certa condizione? Si ha ilcosidetto ciclo if.i f ( espressione logica ) then{ istruzione 1a }{ istruzione 2a }{ . . . . }else{ istruzione 1b }{ istruzione 2b }{ . . . . }end i fSe è vera l’espressione logica allora sieseguono le istruzioni 1a, 2a, . . . .Altrimenti – cioè se è falsa l’espressionelogica – allora si eseguono le istruzioni 1b,2b, . . .i f ( espressione logica ) then{ istruzione 1a }{ istruzione 2a }{ . . . . }end i fSe è vera l’espressione logica allora si eseguonole istruzioni 1a, 2a, . . . , altrimentinon si fa nulla.Ciclo if –struttura piùgeneralei f ( espressione logica1 ) then{ istruzione 1a }{ istruzione 2a }{ . . . . }else i f ( espressione logica2 ) then{ istruzione 1b }{ istruzione 2b }{ . . . . }. . . .else{ istruzione 1z }{ istruzione 2z }{ . . . . }end i fVediamo un programma che calcola le radici di un’equazione di secondo grado.program r a d i c iimplicit nonereal a , b , c , deltareal x1 , x2C calcolo d e l l e r a d i c i r e a l i di ax **2 +bx+c = 0168

11.10. Struttura alternativaC x = [−b +/− s q r t { b**2 − 4ac } ] / 2aCwrite ( * , * ) ’ c o e f f i c i e n t i di un’ ’ equazione di secondo grado ’write ( * , * ) ’ a = ’read ( * , * ) awrite ( * , * ) ’ a = ’ , awrite ( * , * ) ’b = ’read ( * , * ) bwrite ( * , * ) ’b = ’ , bwrite ( * , * ) ’ c = ’read ( * , * ) cwrite ( * , * ) ’ c = ’ , cdelta=b**2 − 4 . * a* ci f ( delta . l t . 0 ) thenwrite ( * , * ) ’ l e r a d i c i sono complesse ’elsex1= ( −b + sqrt ( delta ) ) / ( 2 . * a )write ( * , * ) ’ x1 = ’ , x1x2= ( −b − sqrt ( delta ) ) / ( 2 . * a )write ( * , * ) ’ x2 = ’ , x2end i fstopendComplichiamo la seconda parte del programma, andando a scrivere le radici coincidenti nel caso in cui∆ = 0 e utilizzando la formula alternativa (dalla considerazione che x 1 x 2 = c/a) per evitare il fenomeno dicancellazione numerica.i f ( delta . l t . 0 ) thenwrite ( * , * ) ’ l e r a d i c i sono complesse ’else i f ( delta . eq . 0 . d0 ) thenx1= −b/ ( 2 . 0 d0*a )x2=x1write ( * , * ) ’ l e r a d i c i sono : ’ , x1 , x2elsex1= ( −b + sqrt ( delta ) ) / ( 2 . * a )x2= ( −b − sqrt ( delta ) ) / ( 2 . * a )write ( * , * ) ’ l e r a d i c i sono : ’ , x1 , x2i f ( ab ( x1 ) . gt . abs ( x2 ) ) thenx2= c / ( x1 *a )write ( * , * ) ’ x2 con formula a lternativa ’ , x2elsex1= c / ( x2 *a )write ( * , * ) ’ x1 con formula a lternativa ’ , x1end i fend i fIl ciclo if non basta per scrivere tutti i nostri programmi. Pensiamo ad un blocco di istruzioni da ripeteremolte volte, fino a quando è vera una determinata condizione. In questo caso, si usa il ciclo do while(pensiamo all’algoritmo visto per il metodo di bisezione, o allo schema di punto fisso).Ciclo dowhile169

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77do while ( espressione logica ){ istruzione 1 }{ istruzione 2 }{ . . . }{ istruzione n }end doFintantochè è vera l’espressione logicaallora esegui istruzione 1, 2, . . . , n.Le istruzioni 1, 2, . . . vengono ripetute ciclicamente (non una volta sola come nel ciclo if). Quando siesegue l’ultima istruzione posta all’interno del ciclo, si torna all’espressione logica e si controlla se è vera ofalsa. Se è vera, si eseguono di nuovo le istruzioni 1, 2, . . . ,n. Se non è vera, si esce dal ciclo while. Occorredunque prestare attenzione a non creare cicli infiniti!11.11 Programma sul metodo di punto fissoConsideriamo l’algoritmo dello schema di punto fissox n+1 = cos(x n )e proviamo a scrivere un programma FORTRAN che ci permetta di trovare una buona approssimazione delpunto fisso ξ (sempre che lo schema converga). I dati di input che dobbiamo dare al programma sono:G l’approssimazione iniziale x 0G la tolleranza ε con cui vogliamo approssimare il punto fissoG il numero massimo di iterazioni entro cui cercare la convergenza dello schema (per evitare cicli infiniti)I dati di output che possiamo chiedere al programma sono:G l’approssimazione x n+1 ad ogni passoG l’iterazione nG lo scarto ad ogni passo: |x n+1 − x n |G una stima della costante asintotica dell’errore MCerchiamo ora di capire come gestire le variabili per x n e x n+1 e per gli scarti ad ogni passo. Con il metododi punto fisso, si crea una successione di valori: x 0 , x 1 , x 2 , . . . x n . . . . Nella teoria, per n che tende all’infinito,la successione può convergere al punto fisso. Nella pratica ci si arresta quando lo scarto (il valore assoluto tradue iterazioni successive) è minore di una certa tolleranza. A priori, tuttavia, non sappiamo quante iterazionidobbiamo fare. Potremmo pensare di memorizzare le varie approssimazioni x n in un vettore che abbia unadimensione molto elevata. Ma ci sono due inconvenienti:1. Non sappiamo ancora come scrivere in un programma FORTRAN un vettore2. Supposto di saperlo fare, possiamo e dobbiamo evitarlo perchè non serve conservare in memoria tuttile approssimazioni che generiamo (x n+1 dipende dal valore x n e basta). Se ci interessano i valori generatidall’algoritmo, li possiamo scrivere di volta in volta sul video (meglio su un file! vedremo poi comescrivere dati di output su un file).Lavoreremo facendo uso di due variabili: xold che corrisponde a x n e xnew che corrisponde a x n+1 . Diamoin input il valore iniziale x 0 . Dobbiamo effettuare la prima iterazione cioè trovare x 1 = cos(x 0 ).G Porremo xold=x0 e poi xnew= cos(xold) per l’iterazione it=1. xnew ha il significato di x 1 .G Una volta fatta la prima iterazione, il valore di xold=x0 non ci interessa più. Per it=it+1=2, ci servecalcolare x 2 = cos(x 1 ). Proprio perchè il valore di xold non serve più assegniamo a xold il valorecalcolato per x 1 =xnew in modo da poter sfruttare la relazione di prima. Applicheremo di nuovo laformula xnew= cos(xold) dove ora xnew ha il significato di x 2 e xold di x 1 .G Alla fine del secondo passo, quindi xnew=x 2 e xold=x 1G Ora x 1 non serve più. Per it=it+1=3, ci serve solo x 2 . Perciò faremo xold=xnew, xnew=cos(xold)e avremo xnew=x 3 . E così via. . .170

11.11. Programma sul metodo di punto fissoxold=x0i t e r =0scartonew =2.0d0* t o l ldo while ( ( scartonew . ge . t o l l ) . and . ( i t e r . l e . itmax ) )i t e r = i t e r +1xnew=cos ( xold )scartonew=abs (xnew− xold )write ( * , * ) i t e r , xnewxold=xnewend doQuando si entra nel ciclo do while scartonew=2.0d0*toll > toll e iter=0< itmax. Si eseguono leistruzioni del ciclo do while fino a quando rimane vera la proposizione (scartonew.ge.toll) .and.(iter.le.itmax) . Si esce dal ciclo do while quando scartonew < toll oppure quando iter >itmax.|ξ − x n |Sappiamo che, per lo schema di punto fisso, vale lim n→∞ = M = |g ′ (ξ)|. Poichè non conosciamo|ξ − x n−1l’errore, ma possiamo calcolare lo scarto e, per n → ∞, vale |ξ − x n | ≈ |x n − x n−1 |, abbiamo due modi perstimare M:1. calcolare il rapporto tra gli scarti a due passi successivi2. calcolare |g ′ (x n )|Per calcolare il rapporto tra gli scarti a due passi successivi introduciamo due variabili, che chiamiamoscartold e scartonew che corrispondono, rispettivamente, a |x n−1 −x n−2 | e |x n −x n−1 |. Le aggiorniamo inmaniera del tutto analoga a quanto visto per xold e xnew. All’inizio, assegniamo a scartonew un valore piùgrande della tolleranza per fare in modo che si entri nel ciclo while senza problemi. Nel codice calcoliamoquindi due stime di M, utilizzando le variabili che chiamiamo asint1 e asint2.Vediamo il codice completo.program puntofissoC programma per i l calcolo del punto f i s s o per g ( x)= cos ( x ) in [ 0 , pi / 2 ]implicit noneCC s i g n i f i c a t o d e l l e v a r i a b i l iC i t e r : i t e r a z i o n e del metodo del punto f i s s oC itmax : numero massimo di i t e r a z i o n iC t o l l : tolleranza p r e f i s s a t a per l ’ approssimazioneC del punto f i s s oC x0 : punto i n i z i a l e della successioneC xold : approssimazione al passo kC xnew : approssimazione al passo k+1C s c a r t o l d : scarto all ’ i t e r a t a precedenteC scartonew : valore assoluto tra l ’ i t e r a t a corrente e quella alC passo precedenteC asint1 : scartonew / s c a r t o l d − approssimazione di MC asint2 : abs(− sin (xnew ) ) − approssimazione di Minteger i t e r , itmaxreal *8 x0 , xold , xnew , scartold , scartonew , t o l lreal *8 asint1 , asint2write ( * , * ) ’ approssimazione i n i z i a l e ’read ( * , * ) x0write ( * , * ) ’ x0 = ’ , x0itmax=100t o l l =1.d−10scartonew =2.0* t o l lscartold=scartonewi t e r = 0171

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77xold=x0write ( * , * ) ’ i t xnew scarto1 asint1 asint2 ’write ( * , * ) i t e r , xold , scartonewdo while ( ( scartonew . ge . t o l l ) . and . ( i t e r . l e . itmax ) )i t e r = i t e r +1xnew=cos ( xold )scartonew=abs (xnew− xold )asint1= scartonew/ scartoldasint2=abs(− sin (xnew ) )write ( * , * ) i t e r , xnew , scartonew , asint1 , asint2xold=xnewscartold=scartonewend dostopend11.12 I sottoprogrammiQuando l’algoritmo e il problema su cui stiamo lavorando sono complicati, conviene spezzare il problemain sottoproblemi in modo da semplificare la programmazione.Analogamente, al posto di avere un unico programma in FORTRAN, conviene scrivere il programmafacendo uso di sottoprogrammi. Si hanno due tipi di sottoprogrammi in FORTRAN:G subroutinesG functionsIn tal modo un programma FORTRAN può risultare composto da:G programma principaleG una o più subroutinesG una o più functions11.12.1 Le functionsEsempio difunction gfunIl programma che abbiamo scritto funziona bene ma ha un punto debole: se vogliamo applicare lo schemadi punto fisso ad un’altra funzione g , dobbiamo andare a cambiare le istruzioni xnew=cos(xold) easint2=abs(-sin(xnew)). E se la funzione è complicata? E se dobbiamo valutare la stessa funzione (o lestesse funzioni) anche su altre parti del programma?Introduciamo il concetto di function in FORTRAN. Una function è del tutto simile al concetto difunzione scalare, che può essere definita in un sottoinsieme di R n ma ha valori in R. Difatti una functionpuò avere uno o più dati di input e un solo dato di output.Vediamo come scrivere il programma precedente facendo uso delle functions.Nello stesso file (per semplicità) in cui abbiamo scritto il programma principale fisso.f, dopo le istruzionistop e end che chiudono il programma principale, dopo aver lasciato qualche riga bianca per mostrare chefinisce il programma principale, andremo a scrivere la nostra prima functionstopendC f i n e del programma principalereal *8 function gfun ( x )C funzione di punto f i s s oimplicit nonereal *8 xgfun=cos ( x )returnend172

11.12. I sottoprogrammiLa funzione che stiamo scrivendo è di tipo real*8 ed è la prima cosa che scriviamo per identificarla. C’è poila parola function e poi gfun(x). gfun ha un duplice significato: è il nome della function ma è ancheil nome della variabile che contiene il risultato dell’esecuzione della function gfun.Il corpo della function è del tutto analogo a quello che si fa in un programma principale: implicit none,dichiarazione delle variabili, istruzioni. Tutte le istruzioni servono ad assegnare il valore alla variabile gfun.La function termina con le istruzioni return (per ritornare nel programma da cui è stata chiamata) eend.La funzione in questo caso dipende da una sola variabile, che chiamiamo x. La variabile (o le variabili)da cui dipende una function deve essere dello stesso tipo (dichiarata allo stesso modo) sia all’interno dellafunction sia nel programma principale, ma può avere nomi diversi (x, xold). Per la derivata prima lafunction è la seguente:real *8 function dgfun ( x )C derivata della funzione di punto f i s s oimplicit nonereal *8 xdgfun= −sin ( x )returnendCome cambia il programma principale?Nella dichiarazione delle variabili dobbiamo dichiarare le due function gfun e dgfuninteger i t e r , itmaxreal *8 x0 , xold , xnew , scartold , scartonew , t o l lreal *8 asint1 , asint2real *8 gfun , dgfunUn’altra istruzione (opzionale) è dire che ci sono due sottoprogrammi esterni al programma principale,subito dopo la dichiarazione delle variabili:integer i t e r , itmaxreal *8 x0 , xold , xnew , scartold , scartonew , t o l lreal *8 asint1 , asint2real *8 gfun , dgfunexternal gfun , dgfunInfine, nel ciclo while, dove abbiamo bisogno della funzione di punto fisso e della sua derivata, si ha:do while ( ( scartonew . ge . t o l l ) . and . ( i t e r . l e . itmax ) )i t e r = i t e r +1xnew=gfun ( xold )scartonew=abs (xnew− xold )asint1= scartonew/ scartoldasint2=abs ( dgfun (xnew ) )write ( * , * ) i t e r , xnew , scartonew , asint1 , asint2xold=xnewscartold=scartonewend doEsempio difunctiondgfunG Una function, dunque, è un sottoprogramma del programma principale.G Una function viene chiamata direttamente: xnew=gfun(xold).G La function restituisce un valore ben preciso - il valore assunto dalla funzione stessa in funzione deiparametri. Perciò deve essere dichiarato il tipo della function (integer, real, real*8, . . . )G La function restituisce un solo valore: gfun=cos(x).G La function può avere uno o più parametri in ingresso.G Per scrivere una function si usa l’istruzione di implicit none, si dichiarano tutte le variabili chesono usate all’interno della function, si scrivono tutte le istruzioni che servono (anche cicli if, o whilese occorrono).G La function termina con le istruzioni di return e end.173

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 7711.12.2 Le subroutinesPossiamo pensare di cambiare ancora il programma per l’approssimazione del punto fisso, utilizzandoun diverso approccio: la parte che riguarda le iterazioni dello schema del punto fisso la facciamo fare ad unsottoprogramma che chiameremo, in qualche modo, nel programma principale. Scomporre il programmaprincipale in più sottoprogrammi ha il suo vantaggio nel momento in cui gli algoritmi che dobbiamo implementarediventano via via più complicati, oppure se una parte di un programma viene ripetuta più volte (eanzichè scrivere righe e righe di istruzioni da eseguire, le scriviamo solo una volta nel sottoprogramma e poile richiamiamo dove occorre).program puntofissoimplicit noneinteger i t e r , itmaxreal *8 x0 , xold , xnew , scartold , scartonew , t o l lexternal i t e r p f i s s owrite ( * , * ) ’ approssimazione i n i z i a l e ’read ( * , * ) x0write ( * , * ) ’ x0 = ’ , x0itmax=100t o l l =1.d−10scartonew =2.0* t o l lscartold=scartonewi t e r = 0xold=x0write ( * , * ) ’ i t xkp1 scarto1 asint1 asint2 ’write ( * , * ) i t e r , xold , scartonewc a l l i t e r p f i s s o ( i t e r , itmax , xold , t o l l , scartonew , scartold , xnew)write ( * , * ) ’ approssimazione f i n a l e ’ , xnewstopendOsserviamo che la subroutine è chiamata tramite l’istruzionecall iterpfisso( iter ,itmax,xold,toll,scartonew,scartold,xnew)Abbiamo parametri di input: iter, itmax, xold, toll, scartonew, scartoldG Ci sono parametri di output: xnewAlcuni dei parametri di input, vengono modificati all’interno della subroutine, altri no.G Nella dichiarazione delle variabili, non ci sono più le variabili che usiamo solo all’interno dellasubroutine (asint1, asint2, le due functions gfun e dgfun).Per scrivere la subroutine, lasciamo qualche riga vuota dopo le istruzioni stop e end del programma principalee scriviamo la subroutine prima delle functions (o dopo, non cambia niente). L’importante è che siscriva tutto il programma principale completo, tutta la/le subroutine complete, tutte la/le functions complete(senza che pezzi di subroutine o di functions o di programma principale si intersechino tra di loro nellascrittura!!!!)Esempio disubroutine:iterpfisso subroutine i t e r p f i s s o ( i t e r , itmax , xold , t o l l , scnew , scold , xnew)C sottoprogramma che implementa l ’ algoritmo del metodo di punto f i s s oimplicit noneinteger i t e r , itmaxreal *8 xnew , xold , t o l l , scnew , scold , asint1 , asint2real *8 gfun , dgfunexternal gfun , dgfundo while ( ( scnew . ge . t o l l ) . and . ( i t e r . l e . itmax ) )i t e r = i t e r +1xnew=gfun ( xold )scnew=abs (xnew− xold )asint1= scnew/ scold174

11.13. Il formatoasint2=abs ( dgfun (xnew ) )write ( * , * ) i t e r , xnew , scnew , asint1 , asint2xold=xnewscold=scnewend doreturnendG Una subroutine inizia con l’istruzione subroutine nomesubroutine(lista di parametri)G il nome delle subroutine non può essere uguale a quello di altre variabili utilizzate;G il “corpo” della subroutine è analogo a quello di un programma principale (implicit none, dichiarazionedelle variabili, istruzioni, cicli. . . );G la subroutine si chiude con le istruzioni return e endG la subroutine è chiamata nel programma principale tramite l’istruzionecall nomesubroutine(parametri)Il fatto che noi chiamiamo una subroutine nel programma principale (call) dice che la subroutine non è unprogramma a sè stante. Quando termina l’esecuzione di ciò che è scritto all’interno della subroutine si tornaindietro nel programma principale e si continua l’elaborazione da quel punto. L’istruzione return fa tornareal programma principale. Le variabili non devono avere necessariamente lo stesso nome nel programmaprincipale e nella subroutine. Per esempio, possiamo scrivere:call iterpfisso( iter ,itmax,xold,toll,scartonew,scartold,xnew) nel programma principalesubroutine iterpfisso(it,imx,xold,toll,scnew,scold,xnew) nella subroutine.L’importante è che le variabili abbiamo lo stesso significato (stesso tipo di variabile, ma anchestessa valenza di variabile) e devono essere messe nello stesso ordine: se per sbaglio scriviamocall iterpfisso(itmax,iter,xold,toll ,scartonew,scartold,xnew) nel programma principale ma poi nella subroutinescriviamo subroutine iterpfisso(it,imx,xold,toll,scnew,scold,xnew) ,all’interno della subroutine io vado ad assegnare a it il valore che passato (che è quello di itmax), mentre aimx andiamo a passare il valore di iter (che è zero all’inizio). . . ..All’interno della subroutine si possono utilizzare altre variabili oltre a quelle che sono presenti tra i parametridella stessa. L’importante è dichiararle nella subroutine. Tali variabili non passano nel programmaprincipale ma sono usate solo nella subroutine. Vedasi asint1, asint2, gfun, dgfun.11.13 Il formatoFino ad ora abbiamo stampato i risultati dei nostri programmi su video e senza aver dato nessunaindicazione su come visualizzare i dati.Per avere un output elegante e ordinato, conviene usare l’istruzione format.Vediamo questa istruzione direttamente all’interno di un programma d’esempio (quello del punto fissoappena visto nelle le righe di codice relative al ciclo do while, il resto rimane invariato)do while ( ( scartonew . ge . t o l l ) . and . ( i t e r . l e . itmax ) )i t e r = i t e r +1xnew=gfun ( xold )scartonew=abs (xnew− xold )asint1= scartonew/ scartoldasint2=abs ( dgfun (xnew ) )write ( * , 1 0 0 ) i t e r , xnew , scartonew , asint1 , asint2xold=xnewscartold=scartonewend do100 format (1 x , i4 , 1 x , f15 .12 ,1 x , e14 . 6 , 1x , 2e13 . 5 )Programmadi punto fissoconl’istruzioneformatNell’istruzione write, non abbiamo scritto write(*,*) ma write(*,100). Al posto del secondosimbolo * abbiamo messo un numero (un’etichetta).175

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77Questo numero lo si trova scritto alla fine del ciclo while (ma possiamo metterlo ovunque all’interno delprogramma - dopo la dichiarazione delle variabili e prima della end finale) a partire dalla seconda colonna.Dopo aver scritto il numero che contraddistingue il formato, abbiamo l’istruzione format e, tra parentesi,abbiamo tutte le indicazioni su come rappresentare le variabili della stampa cui ci si riferisce:format(1x,i4,1x,f15.12,1x,e14.6,1x,2e13.5)Nell’esempio particolare:G 1x significa: lascia uno spazio bianco sulla riga;G i4 significa: 4 caratteri riservati per la prima variabile che è di tipo intero (iter);G f15.12 : scrivi il valore della variabile xnew in formato fisso, riservando 15 caratteri per il numero di cui12 per la parte decimale;G e14.6: scrivi il valore di scartonew in formato esponenziale, riservando 14 caratteri per il numero, dicui 6 per la mantissa;G 2e13.5 : scrivi i 2 numeri successivi asint1 e asint2 nello stesso formato esponenziale, riservando aciascuno di essi 13 caratteri di cui 5 per la mantissa.formatoiefaxSignificatoformato interoesponenzialefissoalfanumericospazi bianchiTabella 11.6: Il formatoformatoiefaxEsempioi5 – 5 caratteri per un interoe14.6 – 14 caratteri, 6 per la mantissae18.10 – 18 caratteri, 10 per la mantissaf14.6 – 14 caratteri, 6 per le cifre decimalif15.12 – 15 caratteri, 12 per le cifre decimalia5 – una stringa di al più 5 caratteri1x – 1 carattere bianco3x – 3 caratteri bianchiTabella 11.7: Esempi di formatoSpecificando il formato, occorre prestare attenzione al fatto che non tutti i numeri possono essere stampaticorrettamente. Per esempio se un intero ha più di 5 caratteri (per esempio 100150) ma il formato per essoè i5, vengono stampati degli * o altri caratteri a seconda del compilatore. Se si hanno strani risultati in outputusando un formato, togliere il formato, compilare e rieseguire il programma per verificare se l’errore dipendedal formato!Lo stesso formato può essere utilizzato da più righe di write se il formato si riferisce a variabili dellostesso tipo. Le stringhe di caratteri possono essere scritte mediante un formato opportuno.Vediamo di nuovo il programma di prima:i t e r = 0xold=x0write ( * , 9 8 ) ’ i t ’ , ’ xk ’ , ’ scarto ’ , ’ asint1 ’ , ’ asint2 ’write ( * , 9 9 ) i t e r , xold , scartonewdo while ( ( scartonew . ge . t o l l ) . and . ( i t e r . l e . itmax ) )C t u t t o invariato come primawrite ( * , 1 0 0 ) i t e r , xnew , scartonew , asint1 , asint2176

11.14. Files di datixold=xnewscartold=scartonewend do98 format (1 x , a4 , 1 x , a15 , 1 x , a14 , 1 x , 2 a13 )99 format (1 x , i4 , 1 x , f15 .12 ,1 x , e14 . 6 )100 format (1 x , i4 , 1 x , f15 .12 ,1 x , e14 . 6 , 1x , 2e13 . 5 )stopendPer le stringhe è stato usato un formato riservando a ciascuna stringa lo stesso numero di caratteri riservatialle variabili corrispondenti cui si riferiscono le stringhe. In tal modo, si riesce a creare una tabellina dirisultati messi in colonna l’uno dopo l’altro in maniera ordinata.11.14 Files di datiPiuttosto che visualizzarli sulla finestra di shell del computer, conviene salvare i risultati in un file di dati.Il modo più semplice per fare questo è:G far sì che durante l’esecuzione del programma venga generato un file di scrittura di dati: si apre ilfile all’interno del programma principale associando ad esso un numero (label) mediante l’istruzioneopen. Per esempio, dopo la dichiarazione delle variabili, scriviamoopen(10, file=’rispuntofisso.txt’)G le istruzioni di write saranno poi associate a quella label e scritte su quel file.Quindi, al posto di scrivere write(*,98) andremo a scrivere write(10,98) perchè dobbiamoscrivere la stampa dei risultati sul file contrassegnato dall’etichetta 10.G chiudiamo il file con l’istruzione close.close(10)program puntofissoC programma di punto f i s s oC t u t t o come primaC dichiarazione d e l l e v a r i a b i l iopen(10 , f i l e = ’ rispuntofisso . txt ’ )write ( * , * ) ’ approssimazione i n i z i a l e ’read ( * , * ) x0write ( * , * ) ’ x0 = ’ , x0C i l programma continua con l e i s t r u z i o n i gia ’ v i s t eC l e uniche modifiche saranno n e l l e write :write (10 ,98) ’ i t ’ , ’ xk ’ , ’ scarto ’ , ’ asint1 ’ , ’ asint2 ’write (10 ,99) i t e r , xold , scartonewC ora i l c i c l o do whileC all ’ interno abbiamowrite (10 ,100) i t e r , xnew , scartonew , asint1 , asint2C f i n i s c e i l c i c l o do whileC scriviamo i formaticlose (10)stopendEsempio difile di datiUna volta che il programma è stato compilato correttamente ed eseguito, la stampa dei risultati non saràpiù sul video ma verrà generato un file (dal nome che abbiamo dato all’interno del programma) sul qualetroveremo i risultati che prima erano sul video.Se rieseguiamo il programma questo file sarà riscritto da capo. Quindi se dobbiamo eseguire ilprogramma più volte per diverse simulazioni, il file di output conviene rinominarlo in modo da non perderlo.177

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 7711.15 VettoriQuando si programma in FORTRAN, un vettore va dichiarato in un certo modo e usato in maniera quasisimile a come li abbiamo studiati.Supponiamo di voler calcolare la media di un vettore x.Nello scrivere il programma, dobbiamo pensare ad una lunghezza massima per il vettore che dobbiamodare in input: questo perchè in FORTRAN77 si ha un’allocazione statica delle variabili (e non dinamica).Se diamo 20 come lunghezza massima del vettore, il programma che scriveremo potrà essere eseguito suvettori che avranno al più dimensione 20.Ci sono vari modi per dare questa dimensione massima ai vettori. Noi partiremo dal modo più semplice.Supponiamo di voler scrivere un programma che calcola la media delle componenti di un vettore. Comeprocedere?G I dati di input sono: n, la dimensione effettiva del vettore e x i per i = 1,2,...n le componenti del vettorex.G L’output è la variabile medi a = (∑ ni=1 x i )nPer calcolare la variabile medi a faremo la somma in questo modo (medi a è la cosiddetta variabile diaccumulo):partiamo da medi a = 0quindi facciamo medi a = medi a + x 1 (prima componente della somma)poi medi a = medi a + x 2 (il risultato è x 1 + x 2 )poi medi a = medi a + x 3 (avremo x 1 + x 2 + x 3 )e così via fino a medi a = medi a + x n (in medi a avremo tutta la somma dei vettori)Dopo si fa medi a = medi a/n e avremo il risultato finale.11.16 Ciclo doPer applicare la formula per ottenere la variabile medi a possiamo pensare a un ciclo do while scrittocome:media =0.d0i =0do while ( i . l e . n)i = i +1media = media + x ( i )end domedia= media/nNoi non useremo questo approccio ma una struttura equivalente ad essa che prende il nome di ciclo do:Programmasulla mediadei vettorimedia = 0 . d0do i =1 ,nmedia = media + x ( i )end domedia= media/nprogram mediavettoriC programma che calcola la media d e l l e componenti di un v e t t o r eimplicit noneinteger n , ireal *8 x (20) , mediawrite ( * , * ) ’ lunghezza e f f e t t i v a del vettore ’read ( * , * ) nwrite ( * , * ) ’ lunghezza del vettore ’ , ni f (n . gt . 2 0 ) thenwrite ( * , * ) ’n > massimo consentito ’ , nstop178

11.16. Ciclo doendifdo i =1 ,nwrite ( * , * ) ’componente ’ , i , ’−sima del vettore ’read ( * , * ) x ( i )end dodo i =1 ,nwrite ( * , * ) ’ elemento ’ , i , ’ = ’ , x ( i )end domedia=0.d0do i =1 ,nmedia = media + x ( i )end domedia =media/nwrite ( * , * ) ’media ’ , mediastopendG Il vettore è stato dichiarato come real*8 x(20):il vettore può avere al più 20 componenti.Osserviamo che questo tipo di dichiarazione non fa distinzione tra vettore riga e vettore colonna.G La dimensione effettiva del vettore è data dalla variabile intera n che viene data in input (per ilmomento da tastiera);G Le singole componenti vengono inserite da tastiera tramite un’applicazione del ciclo do;G Facciamo un controllo su n, se è più piccolo o più grande della dimensione massima. Attenzione: ilciclo if si può usare anche per interrompere il programma! Se n > 20 interrompiamo bruscamente ilprogramma mediante l’istruzione stop all’interno del ciclo if.Con il ciclo do che abbiamo visto, la variabile intera i varia da 1 a n (la dimensione del vettore).In generale la struttura del ciclo do è la seguente:do indice= v a l o r e i n i z i a l e , valorefinale , incremento{ i s t r u z i o n i }end doQuando incremento=1 possiamo evitare di scriverlo.Esempio 11.16.1 Vogliamo fare la somma delle componenti di indice pari del vettore x:sommapari=0.d0do i =2 ,n, 2sommapari=sommapari + x ( i )end doL’indice i vale i = 2, i = 2 + 2 = 4, i = 4 + 2 = 6. . . .Attenzione: se valoreiniziale > valorefinale e l’incremento è positivo, non si entra nel ciclo do.Si può anche trovare il ciclo do scritto nella forma (ormai obsoleta, ma può capitare di trovarlo su vecchiprogrammi):do l a bel indice= v a l i n i z i a l e , v a l f i n a l e , incremento{ i s t r u z i o n i }l a bel continuedove label è un numero (etichetta) che si trova all’inizio del ciclo e poi alla fine per chiuderlo (labelcontinue). La label dell’istruzione label continue va scritta a partire dalla seconda colonna.179

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 7711.16.1 I vettori nei sottoprogrammiI vettori si possono usare come variabili di input nelle functions (e non di output in quanto la functiondeve dare un unico valore come output e quindi non può dare un vettore) e come variabili di input e outputnelle subroutines.Quando dichiariamo i vettori in un sottoprogramma, possiamo dichiararli con la loro dimensioneeffettiva. Vediamo un esempio di function che calcola la norma euclidea di un vettore.real *8 function norma2(n , x )implicit noneinteger n , ireal *8 x (n)norma2=0.d0do i =1 ,nnorma2=norma2 + x ( i ) * * 2end donorma2=dsqrt (norma2)returnend11.16.2 Leggere i dati di input da fileÈ chiaro che se un vettore ha molte componenti diventa proibitivo assegnare le componenti del vettoretramite tastiera. . . È possibile leggere i dati di input da un file già esistente, cui viene associata una label e cheviene aperto all’inizio del programma. Ora sono le istruzioni di read che vengono associate alla label delfile di lettura dati. Vediamo il programma di prima come cambia (e nello stesso calcoliamo la media dellecomponenti del vettore utilizzando una function).program mediavettoriC programma che calcola la media d e l l e componenti di un v e t t o r eimplicit noneinteger n , ireal *8 x ( 2 0 ) , media , funmediaopen(10 , f i l e = ’ vettoreinput . dat ’ )read ( 1 0 , * ) ni f (n . gt . 2 0 ) thenwrite ( * , * ) ’n > massimo consentito ’ , nstopendifC nella riga seguente troviamo i l c i c l o do implicitoread ( 1 0 , * ) ( x ( i ) , i =1 ,n)C analogamente possiamo applicare i l do e s p l i c i t oC che ora e ’ commentatoc do i =1 ,nc read ( 1 0 , * ) x ( i )c end dodo i =1 ,nwrite ( * , * ) ’ elemento ’ , i , ’ = ’ , x ( i )end domedia= funmedia (n , x )write ( * , * ) ’media ’ , mediaclose (10)stopendreal *8 function funmedia (n , x )implicit none180

11.17. Matrici in FORTRANinteger i , nreal *8 x (n)funmedia=0.d0do i =1 ,nfunmedia = funmedia + x ( i )end dofunmedia =funmedia/nreturnendPer la lettura dei dati di input si può utilizzare sia il ciclo do che abbiamo visto fino ad ora sia quello che èchiamato do implicito.Essenzialmente quando si devono leggere dei dati da un file, il compilatore FORTRAN leggerà dellestringhe di caratteri e le convertirà in numeri.Ci sono delle differenze sulle modalità di come avviene la lettura mediante il do esplicito o implicito, manon entriamo nei dettagli. Ciò che importa e bisogna ricordare è che ci deve essere corrispondenza tra quelloche viene scritto sul file e le variabili a cui assegnare quei valori. Inoltre, lasciamo almeno uno spazio tra unvalore e il successivo se li scriviamo sulla stessa riga.Le variabili di tipo reale vanno scritte con il punto decimale. Le variabili di tipo intero vanno scritte senzail punto decimale.Le componenti di un vettore vanno scritte o su una riga o in colonna componente per componente.Scriviamo sulla prima riga il valore di n e sulla seconda riga le componenti del vettore.41. 2. 3. 4.Esempi di filevettoreinput.datOppure scriviamo sulla prima riga il valore di n e sulle righe successive le componenti del vettore.41.2.3.4.11.17 Matrici in FORTRANIn FORTRAN, le matrici vanno dichiarate dando una dimensione massima sia sulle righe sia sulle colonne.Possiamo lavorare sia su matrici rettangolari, sia su matrici quadrate. Per semplicità, poichè noi avremo a chefare con matrici quadrate, descriveremo e faremo programmi solo su matrici quadrate.Supponiamo di voler fare il prodotto di una matrice A per un vettore x.Il risultato del prodotto di una matrice per un vettore è un vettore.Come scrivere un programma che fa questa operazione?G I dati di input sono: n, la dimensione effettiva della matrice A e del vettore, le componenti A(i , j ) (iindice di riga e j indice di colonna) per i , j = 1,2,...n della matrice, e le componenti x(i ) del vettore,per i = 1,2,...n.G L’output è il vettore y di componenti y(i ) dove y = AxSappiamo che y i = (Ax) i = ∑ ni=1 A i j x j .Traduciamo il tutto in FORTRAN con il seguente programma.program matrvettC programma per i l calcolo del prodotto di una matrice A per unC v e t t o r e xC dati di input :C n − dimensione e f f e t t i v a della matrice ( quadrata ) eC del v e t t o r e xProgrammasul prodottomatricevettore181

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77C A − matrice di dimensione nxnC x − v e t t o r e di lunghezza nC dati di outputC y − v e t t o r e di lunghezza n uguale al prodotto AxCimplicit noneinteger i , j , nreal *8 A( 2 0 , 2 0 ) , x ( 2 0 ) , y (20)open(10 , f i l e = ’ matrvett . dat ’ )open(11 , f i l e = ’ matrvett . r i s ’ )C l e t t u r a della dimensione nread ( 1 0 , * ) nC l e t t u r a della matrice AC usiamo un c i c l o do i =1 ,n e s p l i c i t o e un c i c l o do implicitoC leggiamo g l i elementi che s i trovano s u l l a riga i−simaC e la l e t t u r a viene f a t t a riga per rigado i =1 ,nread ( 1 0 , * ) (A( i , j ) , j =1 ,n)end doCC l e t t u r a del v e t t o r e xread ( 1 0 , * ) ( x ( i ) , i =1 ,n)C s c r i t t u r a dei dati di input sul f i l e dei r i s u l t a t iwrite ( 1 1 , * ) ’ dimensione ’ , nwrite ( 1 1 , * ) ’ matrice A ’do i =1 ,nwrite ( 1 1 , * ) (A( i , j ) , j =1 ,n)end dowrite ( 1 1 , * ) ’ vettore x ’write ( 1 1 , * ) ( x ( i ) , i =1 ,n)C prodotto matrice−v e t t o r e : l ’ elemento i−simo del prodottoC matrice−v e t t o r e e ’ dato dalla somma per j =1 ,n di A( i , j ) * x ( j )do i =1 ,ny ( i ) = 0 . d0do j =1 ,ny ( i ) = y ( i ) + A( i , j ) * x ( j )end doend dowrite ( 1 1 , * ) ’ vettore y=Ax ’write ( 1 1 , * ) ( y ( i ) , i =1 ,n)stopendLa matrice è stata dichiarata come real*8 A(20,20): al più 20 righe per 20 colonne.G Abbiamo usato un ciclo do i=1, n e un ciclo do j=1,n concatenato al primo per fare il prodottomatrice-vettore.G Per calcolare le componenti del prodotto matrice-vettore abbiamo prima posto y(i)=0.d0 in mododa poter fare la somma dei vari termini “accumulandoli” di volta in volta.G Abbiamo letto i dati di input da file. Ricordiamo che il numero che scriviamo all’interno dell’istruzioneche apre il file open(10, file=’nomefile.dat’) lo scegliamo noi. Se apriamo più files a ciascunofile deve essere associato un numero diverso, in modo da poter leggere (se il file è di lettura) o scrivere(se il file è di scrittura) in modo appropriato.11.17.1 Le matrici nei sottoprogrammiQuando una (o più matrici) devono essere passate in un sottoprogramma (sia esso una function o unasubroutine), all’interno del sottoprogramma si deve necessariamente dichiarare la matrice (o le matrici) con182

11.17. Matrici in FORTRANla loro dimensione massima sulle righe.Facciamo un esempio e successivamente ne vedremo le ragioni.Scriviamo un programma in cui, mediante una subroutine, data la matrice A si crea la matrice B = A T .program matrtraspostaC programma che crea la matrice B=A^TC dati di input :C n − dimensione e f f e t t i v a della matrice ( quadrata )C A − matrice di dimensione nxnC dati di outputC B − matrice trasposta di ACimplicit noneinteger i , j , nreal *8 A( 2 0 , 2 0 ) , B(20 ,20)open(10 , f i l e = ’ matrice . dat ’ )open(11 , f i l e = ’ r i s t r a s p o s t a . dat ’ )C l e t t u r a della dimensione nread ( 1 0 , * ) nC l e t t u r a della matrice AC usiamo un c i c l o do i =1 ,n e s p l i c i t o e un c i c l o do implicitoC leggiamo g l i elementi che s i trovano s u l l a riga i−sima eC la l e t t u r a viene f a t t a riga per rigado i =1 ,nread ( 1 0 , * ) (A( i , j ) , j =1 ,n)end dowrite ( 1 1 , * ) ’ dimensione ’ , nwrite ( 1 1 , * ) ’ matrice A ’do i =1 ,nwrite ( 1 1 , * ) (A( i , j ) , j =1 ,n)end doc a l l trasposta (n , A , B)write ( 1 1 , * ) ’ matrice trasposta B ’do i =1 ,nwrite ( 1 1 , * ) (B( i , j ) , j =1 ,n)end dostopendsubroutine trasposta (n , A , B)implicit noneinteger i , j , nreal *8 A(20 ,n) , B(20 ,n)do i =1 ,ndo j =1 ,nB( i , j )=A( j , i )end doend doreturnendSupponiamo di dover scrivere più sottoprogrammi che richiamano matrici e vettori. Per le matrici, in ciascunodei sottoprogrammi dobbiamo dare la dimensione massima delle righe: per esempio A(20,20) nelprogramma principale e A(20,n) o A(20,20) (vanno bene entrambe le forme) nei sottoprogrammi.Supponiamo però di voler eseguire il programma già fatto, e che funziona bene, per una matrice di di-183

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77mensione 50 × 50. Possiamo andare ad aumentare la dimensione massima delle matrici e dei vettori da 20 a50, ricompilare il programma ed eseguirlo.Cosa può succedere? Se da qualche parte ci siamo dimenticati di correggere il 20 con il 50. . . il codicedarà risultati sbagliati. . . Per evitare questo inconveniente possiamo usare una variabile che si chiama parameterper indicare la dimensione massima delle matrici. Nel programma principale (supponiamo di volermodificare il programma della trasposta di una matrice), scriveremoprogram matrtraspostaC programma che crea la matrice B=A^TC t u t t i g l i a l t r i commenti come primaCimplicit noneinteger nmaxparameter (nmax=20)integer i , j , nreal *8 A(nmax,nmax) , B(nmax,nmax)C t u t t o i l r e s t o i n a l t e r a t o fino alla chiamata della subroutinec a l l trasposta (nmax, n , A , B)subroutine trasposta (nmax, n , A , B)implicit noneinteger i , j , n ,nmaxreal *8 A(nmax, n) , B(nmax, n)do i =1 ,ndo j =1 ,nB( i , j )=A( j , i )end doend doreturnendParameternmax La variabile nmax è un parametro che viene definito una volta per tutte mediante l’istruzioneparameter (nmax=20): all’interno del programma noi non possiamo cambiare il valore dato a nmax.Al posto di scrivere A(20,20) noi scriviamo A(nmax,nmax). Se ci sono vettori, li dichiariamo comex(nmax).Nei sottoprogrammi, dove ci sono matrici, passiamo nmax nella lista delle variabili di input delsottoprogramma e dichiariamo A(nmax,n).In questo modo, se vogliamo cambiare la dimensione massima, andiamo a cambiare solo l’istruzioneparameter (nmax=20) Per esempio scriviamo parameter (nmax=50), compiliamo il programma epossiamo eseguirlo per matrici e vettori al più di dimensione 50. Ma andiamo a cambiare solo una riga dicodice e non tutte le righe in cui sono dichiarate le matrici e i vettori. . .11.17.2 Memorizzazione delle matriciLe matrici sono memorizzate colonna per colonna - prima gli elementi di tutta la prima colonna dallaprima all’ultima riga, poi tutti gli elementi della seconda colonna dalla prima all’ultima riga, e così via . . .Sia nmax=6, A(nmax,nmax)A può avere al più nmax righe per nmax colonne. nmax * nmax = 36 celle di memoria sono predisposteper i valori della matrice, a partire da A(1,1)184

11.18. La formula dei trapezi in FORTRAN1 7 13 19 25 312 8 14 20 26 323 9 15 21 27 334 10 16 22 28 345 11 17 23 29 356 12 18 24 30 36Cosa succede se la dimensione effettiva della matrice è n < nmax? All’interno del programma principalei valori della matrice vengono memorizzati nelle celle di memoria che corrispondono alla “sottomatrice” didimensione n x n.Sia n=4. Si ha:1 7 13 19 25 312 8 14 20 26 323 9 15 21 27 334 10 16 22 28 345 11 17 23 29 356 12 18 24 30 36Se nel sottoprogramma si dichiara correttamente la matrice Areal*8 A(nmax,n)allora anche il passaggio della matrice avviene correttamente.Se nel sottoprogramma si dichiara invecereal*8 A(n, n)allora la locazione di memoria all’interno del sottoprogramma è “pensata” come se fossenmax=n1 5 9 132 6 10 143 7 11 154 8 12 16Ma nelle cellette di posto 5, 6, 11 e 12 non ci sono i valori della matrice: la memorizzazione risulta noncorretta!!!11.18 La formula dei trapezi in FORTRANProviamo a implementare la formula composta dei trapezi in FORTRAN.Scegliamo la funzione da integrare e gli estremi di integrazione e, come primo approccio, diamo in inputil numero di suddivisioni n in cui applicare la formula composta. Inoltre, per vedere se il codice lo abbiamoscritto bene, daremo anche il valore esatto dell’integrale Iex (che avremo precedentemente calcolato concarta e penna) in modo da calcolare l’errore esatto.La funzione da approssimare, gli estremi di integrazione, il valore esatto dell’integrale saranno funzioneo variabili del programma.G dati di input:– numero di suddivisioni n– estremi di integrazione a, bG dati di output:– valore approssimato dell’integrale (usiamo per esso la variabile i tr ap)– errore esatto, che chiamiamo er r tr ap.185

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 77Il programma sarà così composto:G programma principaleG function in cui scriviamo la funzione integranda.G function in cui scriviamo la primitiva della funzione integranda (per calcolare il valore esattodell’integrale)G function in cui applichiamo la formula semplice dei trapezi e che chiamiamo trapsempliceTra i dati che ci facciamo stampare sul file di output, conviene farsi stampare una specie di promemoriasul problema che stiamo risolvendo (formula che stiamo applicando, gli estremi di integrazione a e b, ilvalore esatto dell’integrale Iex e, come stringa di caratteri, anche quale è la funzione integranda). In talmodo abbiamo “memoria” del problema che vogliamo risolvere e dei risultati ad esso associati.Applichiamo la formula dei trapezi su ciascun intervallino. La prima volta andrà applicata sull’intervallo[a, a + h], poi su [a + h, a + 2h] e così via, dove h è l’ampiezza dei singoli sottointervalli, che è la stessa sututti i sottointervalli avendo scelto di suddividere in parti uguali l’intervallo [a,b], quindi h = b − a . Su ogninsottointervallo possiamo applicare la formula semplice dei trapezi in modo da avere il valore finale dell’integraleapprossimato come somma dei contributi su ciascun sottointervallo. A tal scopo useremo, su ciascunsottointervallo, una function che applica la formula semplice dei trapezi.Possiamo quindi fare un ciclo do in modo da applicare la formula semplice all’intervallino [x0, x1], dovex0 rappresenta l’estremo inferiore e x1 l’estremo superiore di ciascun sottointervallo. Ogni volta aggiorneremoin maniera appropriata i due estremi (tenendo conto che x1 nell’intervallo successivo diventa x0:l’estremo superiore di ogni intervallino diventa l’estremo inferiore nell’intervallino successivo).Scriviamo sotto forma di pseudocodice, quello che dobbiamo fare:Dati di input: a, b, nDati di output: i tr ap, er r tr ap1 h ←− (b − a)/n ;2 calcolare Iex ;3 inizializzare i tr ap: i tr ap ←− 0.d0 ;4 inizializzare x0 del primo sottointervallo x0 ←− a ;5 Per i = 1,n6 assegnare il valore di x1: x1 ←− x0 + h ;7 applicare la formula dei trapezi sull’intervallino i -simo e sommare il contributo al valore i tr ap:i tr ap ←− i tr ap + tr apsempl i ce(x0, x1) ;8 aggiornare x0: x0 ←− x1 ;9 Fine-Per10 stampare l’integrale approssimato i tr ap ;11 calcolare e stampare l’errore esatto er r tr ap ;Per le functions da scrivere, si deve tener conto che, per la funzione integranda, la function da utilizzare èmolto semplice: basta scrivere la funzione integranda.Per esempio, per calcolare l’integrale ∫ 0.5 π0 , f (x) = π . Per scrivere π in Fortran, basta1 − x2 1 − x2ricordare che π = 2arcsin(1). Allora la function diventa:real *8 function fun ( x )implicit nonereal *8 x , pipi =2* asin ( 1 . )fun= pi / sqrt ( 1 . 0 d0 − x * * 2 )returnendPer il calcolo del valore esatto dell’integrale, dobbiamo calcolare analiticamente l’integrale (faremo degliesempi di applicazione delle formule di quadratura con integrali di cui è possibile conoscere l’integrale esatto,quindi preliminarmente, avremo calcolato a mano l’integrale, andando a cercare una primitiva della funzioneintegranda). Conviene allora utilizzare una function per la primitiva, in modo da poter assegnare il valo-186

11.18. La formula dei trapezi in FORTRANre esatto dell’integrale mediante l’istruzione Iex = F pr i m(b) − F pr i m(a), dove F pr i m è il nome dato allafunction della primitiva. Nell’esempio, F pr i m(x) = πarcsin(x) e la function viene costruita di conseguenza.real *8 function Fprim ( x )real *8 pi , xpi =2.* asin ( 1 . )Fprim= pi * asin ( x )returnendInvece, la function trapsemplice non è nient’altro che l’applicazione della formula semplice dei trapezisull’intervallo di estremi x0 e x1 dati in input alla function stessa. All’interno della trapsemplice vienechiamata la function della funzione integranda.real *8 function trapsemplice ( a , b)real *8 a , b , funtrapsemplice =(b−a ) / 2 . * ( fun ( a)+ fun (b ) )returnendProviamo ora ad applicare la formula composta dei trapezi partendo da una sola suddivisione n = 1, e poiraddoppiando ogni volta il numero delle suddivisioni: n = 2, n = 4, n = 8, . . . In tal caso conviene modificareil programma scritto per applicare la formula composta dei trapezi per tute le suddivisioni richieste introducendoun ciclo do while che permette di calcolare la formula composta dei trapezi prima per n = 1, poiper n = 2 e così via, raddoppiando ogni volta il numero di suddivisioni. In questo modo, conservando i valoridell’errore esatto tra due suddivisioni successive, possiamo calcolare il rapporto tra l’errore alla suddivisionen/2 e l’errore alla suddivisione n. Memorizziamo questo rapporto nella variabile r ate e la stampiamo perogni suddivisione n > 1. Dai risultati saremo in grado di capire se l’errore decresce come 1 oppure no e,n2 quindi, se sono verificate le ipotesi per la formula composta dell’errore come descritto a pag. 128.Per esempio, se vogliamo applicare la formula dei trapezi per n = 1,2,4,8,...,128 sotto forma di pseudocodice,abbiamoDati di input: a, bDati di output: i tr ap, er r tr ap, r ate per ogni suddivisione1 n ←− 1 ;2 Fintantochè n < 1283 inizializzare i tr ap: i tr ap ←− 0.d0 ;4 porre h ←− (b − a)/n5 ; inizializzare x0 del primo sottointervallo x0 ←− a ;6 applicare l’algoritmo della formula composta dei trapezi ;7 stampare i tr ap per quel valore di n ;8 calcolare l’errore esatto er r tr ap ;9 Se n > 1 allora10 calcolare il rapporto r ate tra l’errore al passo n/2 e l’errore al passo n11 altrimenti12 r ate ←− 1 (non ha significato per n = 1)13 Fine-Se14 stampare n, i tr ap, er r tr ap, r ate ;15 aggiornare una variabile er r tr apol d che memorizza l’errore al passo precedente:er r tr apol d ←− er r tr ap ;16 aggiornare n: n ←− 2n ;17 Fine-Fintantochè187

11. INTRODUZIONE AL FORTRAN 7711.19 EserciziEsercizio 11.19.1 Scrivere un programma FORTRAN che, assegnate due matrici A e B di dimensione n ≤ 30,esegua il prodotto C=AB; memorizzi in un vettore x gli elementi della diagonale principale di C; calcoli lanorma euclidea di x.I dati di input siano letti da un file chiamato input.dat.Scrivere, perciò, un programma che:a) legge la dimensione n, le matrici A e B e stampa i dati letti con commento;b) calcola la matrice C=AB servendosi della subroutine MATRMATR;c) salva gli elementi C i i in un vettore chiamato x;d) calcola la norma euclidea di x servendosi della function NORMAEUC;e) stampa la norma euclidea di x.(mettere a punto la subroutine MATRMATR e la function NORMAEUC.)Svolgimentoprogram prodottomatriciimplicit noneinteger nmaxparameter (nmax=30)integer n , i , jreal *8 A(nmax,nmax) ,B(nmax,nmax) , C(nmax,nmax) ,real *8 normaeuc , eucx (nmax)open(20 , f i l e = ’ input . dat ’ )open(21 , f i l e = ’ output . dat ’ )read ( 2 0 , * ) nwrite ( 2 1 , * ) ’ dimensione n ’ , nwrite ( 2 1 , * ) ’ matrice A’do i =1 ,nread ( 2 0 , * ) (A( i , j ) , j =1 ,n)write ( 2 1 , * ) (A( i , j ) , j =1 ,n)end dowrite ( 2 1 , * ) ’ matrice B’do i =1 ,nread ( 2 0 , * ) (B( i , j ) , j =1 ,n)write ( 2 1 , * ) (B( i , j ) , j =1 ,n)end doc a l l matrmatr (nmax, n , A , B,C)do i =1 ,nx ( i )= C( i , i )end doeuc=normaeuc(n , x )write ( 2 1 , * ) ’norma euclidea di x ’ , eucstopendsubroutine matrmatr (nmax, n , A , B,C)implicit noneinteger nmax, n , i , j , kreal *8 A(nmax, n) , B(nmax, n) , C(nmax, n)C devo f are i l prodotto di A e B188

11.19. EserciziC ricordo la formula C_ij = somma_k ( A_ik * B_kj )do i =1 ,ndo j =1 ,nC( i , j )= 0 . d0do k=1 ,nC( i , j )= C( i , j ) + A( i , k ) *B( k , j )end doend doend doreturnendreal *8 function normaeuc(n , x )implicit noneinteger n , ireal *8 x (n)normaeuc=0.d0do i =1 ,nnormaeuc= normaeuc + x ( i ) * * 2end donormaeuc= sqrt (normaeuc)returnend189