ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qualsiasi. Di conseguenza, la sua somma è continuain Ω × Ω × {z ∈ C : |z| < (1/Mm(Ω))} ed analitica in λ nel disco|λ| < 1/Mm(Ω). Indichiamo la somma della serie (III.19) con R(x, y; λ):R(x, y; λ) =∞∑λ p K p+1 (x, y).La funzione R(x, y; λ) è detta risolvente del nucleo K(x, y).p=0Teorema IV.3 La soluzione ϕ dell’equazione integrale (III.2) è unica nellaclasse L 2 (Ω) per |λ| < 1/Mm(Ω) e per qualunque f ∈ L 2 (Ω) è rappresentatacon il risolvente R(x, y; λ) del nucleo K(x, y) mediante l’equazione∫ϕ(x) = f(x) + λ R(x, y; λ)f(y) dy,(IV.20)in altre parole, è valida la seguente equazione operatoriale:Ω(I − λK) −1 = I + λR(λ), |λ| < (1/Mm(Ω)), (IV.21)dove R(λ) è un operatore integrale con nucleo R(x, y; λ).Si può dimostrare che il risolvente R(x, y; λ) di un nucleo continuo K(x, y)ammette un prolungamento meromorfo in tutto il piano della variabile complessaλ ed inoltre i suoi poli sono i numeri caratteristici del nucleo K(x, y). 22 Equazioni integrali di VolterraSupponiamo che n = 1, la regione G sia l’intervallo limtato (0, a) ed il nucleoK(x, y) si annulli nel triangolo 0 < x < y < a. Questo nucleo si dice nucleo diVolterra. L’equazione (III.2) con nucleo di Volterra ha la forma∫ xϕ(x) = λ K(x, y)ϕ(y) dy + f(x)0(IV.22)e è detta equazione integrale di Volterra di seconda specie.Supponiamo che nell’equazione (III.22) sia f ∈ C([0, a]) e che il nucleoK(x, y) sia continuo nel triangolo chiuso 0 ≤ y ≤ x ≤ a. Allora |K(x, y)| ≤ Mper un’opportuna costante M e l’operatore integrale(Kf)(x) =∫ x0K(x, y)f(y) dy2 λ si dice numero caratteristico di K se esiste 0 ≠ ϕ ∈ L 1 (Ω) tale che ϕ = λKϕ. In talcaso λ ≠ 0, 1/λ è autovalore di K e ϕ ∈ C(Ω).92