ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Dimostrazione. Siccome Ω × Ω è compatto, 1 il nucleo K(x, y) è uniformementecontinuo in (x, y) ∈ Ω × Ω. Ci ricordiamo che una funzione continuadefinita su uno spazio compatto è uniformemente continua. Quindi, dato ε > 0,esiste δ > 0 tale che |K(x 1 , y 1 ) − K(x 2 , y 2 )| < ε se ‖(x 1 − x 2 , y 1 − y 2 )‖ < δ. Diconseguenza, se f ∈ L 2 (Ω), per |x 1 − x 2 | < δ si ha la stima∫|(Kf)(x 1 ) − (Kf)(x 2 )| ≤ |K(x 1 , y) − K(x 2 , y)| |f(y)|dyΩ∫≤ ε|f(y)|dy ≤ ε √ M(Ω) ‖f‖ 2 ,Ωe quindi K trasferisce L 2 (Ω) in C(Ω).Per f ∈ C(Ω) si trova la stima∫‖f‖ 2 2 = |f(x)| 2 dx ≤ m(Ω)‖f‖ 2 C,Ωf ∈ C(Ω),implicando ‖f‖ 2 ≤ √ m(Ω) ‖f‖ C . Dunque C(Ω) è contenuto in L 2 (Ω), dove√ l’operatore di immersione è limitato di norma limitata superiormente dam(Ω).✷Cerchiamo la soluzione dell’equazione (III.2) mediante il metodo delle approssimazionisuccessive, ponendo ϕ (0) (x) = f(x),∫ϕ (p) (x) = λ K(x, y)ϕ (p−1) (y) dy + f(x) ≡ λKϕ (p−1) + f, p = 1, 2, · · · .Ω(IV.9)Quindip∑ϕ (p) = λ j K j f, p = 0, 1, 2, · · · , (IV.10)j=0dove K j denotano le potenze j-esime dell’operatore K. Secondo il LemmaIII.1, le iterazioni di f ∈ L 2 (Ω) soddisfano la disuguaglianza‖K p f‖ 2 = ‖K(K p−1 f)‖ 2 ≤ Mm(Ω)‖K p−1 f‖ 2≤ (Mm(Ω)) 2 ‖K p−2 f‖ 2 ≤ · · · ≤ (Mm(Ω)) p ‖f‖ 2 ,cioè‖K p f‖ 2 ≤ (Mm(Ω)) p ‖f‖ 2 , p = 0, 1, 2, · · · . (IV.11)1 Per i sottoinsiemi di uno spazio euclideo, compatto vuol dire chiuso e limitato.89