ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono dette aggiunte alle equazioni (III.2) e (III.3),rispettivamente. Il nucleo K ∗ (x, y) si dice nucleo coniugato aggiunto al nucleoK(x, y). Il nucleo K(x, y) si dice hermitiano se K ∗ (x, y) = K(x, y), cioè seK(y, x) = K(x, y) quasi ovunque. Il nucleo K(x, y) si dice reale e simmetricose K(x, y) è reale e K(y, x) = K(x, y) quasi ovunque. Ovviamente un nucleoreale e simmetrico è hermitiano.Scriveremo le equazioni (III.2), (III.3), (III.4) e (III.5) in forma contratta,utilizzando la notazione d’operatore:{ϕ = λKϕ + f, ϕ = λKϕ,ψ = λK ∗ ψ + g, ψ = λK ∗ ψ,dove gli operatori integrali K e K ∗ sono determinati dai nuclei K(x, y) eK ∗ (x, y), rispettivamente:∫∫(Kf)(x) = K(x, y)f(y) dy, (K ∗ f)(x) = K ∗ (x, y)f(y) dy.ΩTra poco metteremo opportune condizioni sul dominio Ω e sul nucleoK(x, y) affinché gli operatori lineari K e K ∗ siano limitati in un opportunospazio di Banach (o di Hilbert) di funzioni f(x) definite in Ω. In particolare,verranno considerati gli spazi L 1 (Ω), L 2 (Ω) e C(Ω).Supponiamo che nell’equazione integrale (III.2) la regione Ω sia limitata inR n , la funzione f appartenga allo spazio L 2 (Ω) ed il nucleo K(x, y) sia continuosu Ω × Ω (diremo continui questi nuclei).Lemma IV.1 L’operatore integrale K con nucleo continuo K(x, y) trasferisceL 2 (Ω) in C(Ω) (e, di conseguenza, C(Ω) in C(Ω) e L 2 (Ω) in L 2 (Ω). Dunque,K è limitato come operatore lineare tra questi spazi, ed inoltredove M =‖Kf‖ C ≤ M √ m(Ω)‖f‖ 2 , f ∈ L 2 (Ω), (IV.6)‖Kf‖ C ≤ Mm(Ω)‖f‖ C , f ∈ C(Ω), (IV.7)‖Kf‖ 2 ≤ Mm(Ω)‖f‖ 2 , f ∈ L 2 (Ω), (IV.8)max |K(x, y)| e m(Ω) è la misura di Ω.x,y∈Ω×ΩIl lemma si descrive tramite il seguente schema:C(Ω)L 2 (Ω)L 1 (Ω)imm.−−−→ L 2 (Ω)imm.−−−→ L 1 (Ω)K−−−→ C(Ω)imm.−−−→ L 1 (Ω)K−−−→ C(Ω)imm.−−−→ L 2 (Ω)88ΩK−−−→ C(Ω)imm.−−−→ L 2 (Ω)imm.−−−→ L 1 (Ω)