ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Capitolo IVEQUAZIONI INTEGRALI1 Proprietà Elementari e IterazioneLe equazioni contenenti la funzione incognita sotto il segno dell’integrale sonodette equazioni integrali. Molti problemi della fisica matematica possono essereridotti ad equazioni integrali lineari della forma∫K(x, y)ϕ(y) dy = f(x),(IV.1)∫Ωϕ(x) = λ K(x, y)ϕ(y) dy + f(x),(IV.2)Ωrispetto alla funzione incognita ϕ(x) in una regione Ω ⊂ R n . L’equazione(III.1) si dice equazione integrale di prima specie, mentre l’equazione (III.2) sidice equazione di Fredholm di seconda specie. Le funzioni note K(x, y) e f(x)sono dette nucleo e termine noto dell’equazione integrale; λ è un parametrocomplesso.L’equazione integrale (III.2) per f = 0∫ϕ(x) = λ K(x, y)ϕ(y) dy(IV.3)Ωsi dice equazione integrale di Fredholm omogenea di seconda specie corrispondenteall’equazione (III.2). Le equazioni integrali di Fredholm di secondaspecie∫ψ(x) = λ K ∗ (x, y)ψ(y) dy + g(x),(IV.4)∫Ωψ(x) = λ K ∗ (x, y)ψ(y) dy,(IV.5)Ω87
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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d. (αϕ + βψ, χ) = α(ϕ, χ) +
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Appena trovata una base ortonormale
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ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Proposizione II.3 Siano X, Y spazi
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Sia X uno spazio di Banach compless
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Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un oper
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Page 57 and 58: come dovevasi dimostrare. La funzio
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Page 85 and 86: otteniamo le seguenti espressioni p
Page 87 and 88: ∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
Page 89 and 90: dove q è un polinomio di grado n
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Page 95 and 96: Dimostrazione. Siccome Ω × Ω è
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Page 99 and 100: trasferisce C([0, a]) in C([0, a]).
Page 101 and 102: f, g ∈ C(Ω)) segue che K(x, y) e
Page 103 and 104: c. Equazioni integrali con nucleo c
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Page 135 and 136: Green G N (x, y) tale cheL y [G N (
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Page 141 and 142: dove c ∈ L 2 (R). Sostituendo y =
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⎡ ⎧= 1 ∫ π1⎨ e i(θ−ˆθ
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Di conseguenza,f(z) = 1 ∮ [ 1f(ζ
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doveH(r, ω, ˆω) =∞∑l=1Ll( N(
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Sosituendo la (V.70) nella (V.69) e
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Quindiu(x, t) =∞∑n=1∫=Ω[∫
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑( ) ( )e
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4.2 Esempi su domini illimitatiEsem
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dove u(x) = u(−x) per x ∈ R −
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Supponiamo che l’equazione di Hel
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dove x ∈ R e t > 0. Applicando la
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Appendice ALA FUNZIONE GAMMALa funz
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(b) f(x + 1) = x f(x) per ogni x >
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= limn→∞1= limn→∞ ze −γz
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Appendice BPROPRIETÀ ASINTOTICHE1
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Sostituendo w = u √ du(2x + z)/z
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Appendice CEQUAZIONE DISCHRÖDINGER
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(d(1 − ξ 2 ) dP )]+[l(l + 1) −
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dove l = 0, 1, 2, . . . e j l e n l
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 55432
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dove φ l,n (r) = r l v l,n (r) e v
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3 Atomo d’idrogenoIn tal caso V (
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Appendice DTRASFORMATA DI FOURIER1
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Inoltre, F ammette un’estensione
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Le operazioni di derivazione D β
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Infine, dalle formule (D.6) e (D.7)
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Dalle formule (D.14) deriva che ogn
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(e) Trasformata di Fourier di simil
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Appendice EINTEGRAZIONE SECONDOLEBE
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È molto difficile individuare un s
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Inoltre,∫|f(x)| dx⎧∫ f+ (x) d
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. per n = 1, 2, 3, . . . si ha |f n
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Appendice FFUNZIONI ANALITICHENel p
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Teorema F.2 Sia {f n } ∞ n=1 una
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Corollario F.6 (Teorema di Rouché)
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Appendice GAPPROSSIMAZIONE DAPOLINO
Page 213 and 214:
Bibliografia[1] M. Abramowitz and I
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