ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

ha la seguente rappresentazione:∆ψ =1h 1 h 2 h 3[ ∂∂u 1(h2 h 3h 1)∂ψ+ ∂ (h3 h 1∂u 1 ∂u 2 h 2)∂ψ+ ∂ (h1 h 2∂u 2 ∂u 3 h 3)]∂ψ.∂u 3Esempio I.1 Introduciamo ora alcuni sistemi di coordinate ortogonali.a. Coordinate Cilindriche: x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. dove r ≥ 0,0 ≤ θ < 2π, z ∈ R. Allora h r = 1, h θ = r, h z = 1. In tal caso∆ψ = ∂2 ψ∂r + 1 ∂ψ2 r ψr + 1 ∂ 2 ψr 2 ∂θ + ∂2 ψ2 ∂z . 2(I.1)Sostituendo per ψ una funzione ψ = ψ(r, θ) che non dipende da z si troval’operatore di Laplace in coordinate polari:∆ψ = ∂2 ψ∂r + 1 ∂ψ2 r ψr + 1 ∂ 2 ψr 2 ∂θ . 2(I.2)b. Coordinate Sferiche: x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ,dove ρ ≥ 0, ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π). Allora h ρ = 1, h ϕ = ρ, h θ = ρ sin ϕ.In tal caso∆ψ = ∂2 ψ∂ρ + 2 ∂ψ2 ρ ψρ + 1 ∂ 2 ψρ 2 sin 2 ϕ ∂θ + 12 ρ 2 sin ϕ∂∂ϕ(sin ϕ ∂ψ ). (I.3)∂ϕIntroducendo la nuova variabile ξ = cos ϕ ∈ [−1, 1] (tale che dξ =− sin ϕ dϕ, 1 − ξ 2 = sin 2 ϕ) otteniamo 1∆ψ = ∂2 ψ∂ρ + 2 ∂ψ2 ρ ψρ + 1 ∂ 2 ψρ 2 (1 − ξ 2 ) ∂θ + 1 (∂(1 − ξ 2 ) ∂ψ ). (I.4)2 ρ 2 ∂ξ ∂ξc. Coordinate Parabolico-cilindriche (vedi [14]): x = c 2 (u2 − v 2 ), y =cuv, z = z, dove u ∈ R, v ≥ 0, z ∈ R, e c è una costante positiva. Allorah u = h v = c √ u 2 + v 2 , h z = 1.In tal caso∆ψ =( )1 ∂ 2 ψc 2 (u 2 + v 2 ) ∂u + ∂2 ψ+ ∂2 ψ2 ∂v 2 ∂z . 2(I.5)1 Usando le coordinate ortogonali (ρ, θ, ξ) direttamente si trovano le espressioni h ρ = 1,h θ = ρ √ 1 − ξ 2 e h ξ = (ρ/ √ 1 − ξ 2 ).3