ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

convergente nel senso che∫limN→∞IN ∣ f(x) − ∑c n p n (x)∣n=02w(x) dx = 0.I polinomi ortogonali sono stati studiati nel libro di Szegő [16]. Alcuneclassi di polinomi ortogonali hanno la proprietà aggiuntiva che appaiono comele autofunzioni di un problema di Sturm-Liouville su un opportuno intervalloI della retta reale. Ce l’abbiamo già visto per quanto riguardano i polinomidi Legendre, i polinomi associati di Legendre, e quelli di Hermite, Laguerree Chebyshev. A quelli si aggiungono i polinomi di Gegenbauer (anche dettipolinomi ultrasferici 9 ) e i polinomi di Jacobi.Nome dei polinomi I w(x)Legendre (−1, 1) 1Chebyshev di 1 a specie (−1, 1) (1 − x 2 ) −1/2Chebyshev di 2 a specie (−1, 1) (1 − x 2 ) 1/2Legendre associati (−1, 1) (1 − x 2 ) m per m = 1, 2, 3, . . .Jacobi (−1, 1) (1 − x) α (1 + x) β per α, β > −1Gegenbauer o ultrasferici (−1, 1) (1 − x 2 ) λ per λ > −1Laguerre (0, ∞) x α e −x per α > −1Hermite (−∞, ∞) e −x2Infine dimostriamo alcune proprietà degli zeri dei polinomi ortogonali.Lemma III.1 Si ha (f, p n ) L 2 (I;w dx) = 0 per ciascun polinomio f di grado < n.Dimostrazione. Sia f un polinomio di grado < n. Allora f è una combinazionelineare dei polinomi p 0 , p 1 , · · · , p n−1 . Siccome (p j , p n ) = 0 in L 2 (I; w dx)per j = 0, 1, · · · , n − 1, risulta (f, p n ) = 0.✷Teorema III.2 Gli zeri del polinomio p n sono tutti semplici e contenuti all’internodell’intervallo I.Dimostrazione. Sia I = (a, b) dove −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Supponiamo chep n ha m (con m < n) zeri α 1 , · · · , α m in (a, b) e n − m zeri in C \ (a, b). Allorap n ammette la rappresentazionep n (x) = (x − α 1 ) · · · (x − α m )q(x),9 I polinomi ortogonali su I = (−1.1) con w(x) = (1−x 2 ) λ per cui 2λ ∈ N∪{0}, appaionocome funzioni sferiche di dimensione ≥ 2λ + 3.82