ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x 2 dx = π 2 δ n,m.(III.112)Quindi {T n (x)} ∞ n=0 sono i polinomi ortogonali su [−1, 1] con peso (1 − x 2 ) −1/2e {U n (x)} ∞ n=0 sono i polinomi ortogonali su [−1, 1] con peso (1 − x 2 ) 1/2 , tranneper fattori costanti.Le funzioni cos(nt) e sin(nt) soddisfano all’equazione differenziale u ′′ (t) +n 2 u(t) = 0. Sostituendo x = cos(t) e utilizzando le definizioni per T n (x) eU n (x) otteniamo{(1 − x 2 )T ′′n (x) − xT ′ n(x) + n 2 T n (x) = 0,(1 − x 2 )U ′′n(x) − 3xU ′ n(x) + n 2 U n (x) = 0.In forma Sturm-Liouville abbiamo⎧d ( ⎪⎨ (1 − x 2 ) 1/2 Tdxn(x) ) ′ = −n 2 T n (x)√ , 1 − x2⎪⎩ d ((1 − x 2 ) 3/2 U ′dxn(x) ) = −n 2√ 1 − x 2 U n (x).9 Polinomi Ortogonali GeneraliSia I un intervallo della retta reale e w una funzione positiva quasi ovunque suI tale che ∫ I |x|2n w(x) dx < ∞ (n = 0, 1, 2, . . .). Allora i polinomi sono tuttielementi dello spazio di Hilbert L 2 (I; w dx). Infatti, i polinomi costituisconoun sottospazio lineare denso in L 2 (I; w dx), un fatto che non dimostriamo.Applicando il processo di Gram-Schmidt al sistema {ψ n } ∞ n=0 dove ψ n (x) = x n ,si ottengono i polinomi ortogonali {p n } ∞ n=0 rispetto al peso w, dove il gradodi p n è uguale ad n e i coefficienti principali sono tutti positivi. Data unafunzione f ∈ L 2 (I; w dx) e definendo i coefficienti∫c n = f(x)p n (x)w(x) dx, n = 0, 1, 2, . . . ,otteniamo l’identità di Parseval∫|f(x)| 2 w(x) dx =II∞∑|c n | 2n=0e lo sviluppo∞∑f(x) = c n p n (x)n=081