ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

La formula di ricorrenza è facile da verificare:T n+1 (x) + T n−1 (x) = cos((n + 1)t) + cos((n − 1)t)= 2 cos(t) cos(nt) = 2xT n (x),sin((n + 2)t)U n+1 (x) + U n−1 (x) = + sin(nt)sin(t) sin(t)2 cos(t) sin((n + 1)t)= = 2xU n (x).sin(t)Si vede subito che −1 ≤ T n (x) ≤ +1 per x ∈ [−1, 1], mentre T n (x) = 2 n−1 x n +. . . e U n (x) = 2 n x n + . . . per n ∈ N.1540.50−0.53210−1−2−1−1 −0.5 0 0.5−41 −1 −0.5 0 0.5 1xx−3Figura III.6: I polinomi di Chebyshev di prima e seconda specia di grado 1,2, 3 e 4. Nel panello sinistro si trovano i grafici dei polinomi diChebyshev di prima specie e nel panello destro quelli di secondaspecie. Osserviamo che il numero degli zeri è uguale al gradodel polinomio. Inoltre, i polinomi di Chebyshev di prima speciehanno ±1 come i loro valori estremi.Sono verificate le relazioni di ortogonalità∫ π0∫ πSostituendo x = cos(t) otteniamo0cos(nt) cos(mt) dt = π 2 (1 + δ n,0)δ n,m ,sin((n + 1)t) sin(m + 1)t) dt = π 2 δ n,m.∫ 1−1T n (x)T m (x)dx√1 − x2 = π 2 (1 + δ n,0)δ n,m ,(III.111)80