ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

otteniamo le seguenti espressioni per i coefficienti t n (n = 1, 2, 3, . . .) e per ilcoefficiente di t 0 :{(n + 1)c n+1 (x) + (x − 2n − α − 1)c n (x) + (n + α)c n−1 (x),c 1 (x) + (x − α − 1)c 0 (x) = 0,dove c 0 (x) = 1. Quindi c n (x) = L (α)n (x) per n = 0, 1, 2, · · · (vedi la (II.103)).Infine, per esprimere i polinomi di Hermite in quelli di Laguerre riscriviamoi prodotti scalari tra quest’ultimi utilizzando la trasformazione x = t 2 :∫ ∞0∫ ∞0∫ ∞L n(α) (x)L m (α) (x)x α e −x dx =L n(α) (x)L m (α) (x)x α e −x dx =−∞∫ ∞−∞L (α)n (t 2 )L (α)m (t 2 )|t| 2α+1 e −t2 dt,tL (α)n (t 2 )tL (α)m (t 2 )|t| 2α−1 e −t2 dt.(III.106)(III.107)Per fare scomparire i fattori |t| 2α±1 in (II.106) e (II.107) scegliamo α = − 1 2in (II.106) e α = 1 in (II.107). Quindi H 2 2n(t) è proporzionale a L (− 1 2 )n (t 2 )e H 2n+1 (t) è proporzionale a tL ( 1 2 )n (t 2 ). Confrontando i coefficienti principaliotteniamoH 2n (t) = 2 2n n!(−1) n L (− 1 2 )n (t 2 ), (III.108)H 2n+1 (t) = 2 2n+1 n!(−1) n tL ( 1 2 )n (t 2 ). (III.109)8 Polinomi di ChebyshevI polinomi di Chebyshev di prima specie T n (x) e di seconda specie U n (x) sidefiniscono nel seguente modo: 8T n (x) = cos(nt),U n (x) =sin((n + 1)t), (III.110)sin twhere x = cos(t). In tal caso T n (x) e U n (x) sono polinomi di x di grado n chehanno le seguenti proprietà:T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T n+1 (x) + T n−1 (x) = 2xT n (x),U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x, U n+1 (x) + U n−1 (x) = 2xU n (x).8 Per x ∈ R \ [−1, 1] si hanno le definizioni alternative T n (x) = cosh(nt) e U n (x) =sinh((n + 1)t)/ sinh t per x = cosh t.79