ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

40502000−20−40−50−60−80−1000 2 4 6 8 10 12 0 5 10 15xxFigura III.5: I polinomi di Laguerre di grado 1, 2, 3 e 4 per α = 1 (panellosinistro) e α = 3 (panello destro). Osserviamo che il numerodegli zeri è uguale al grado del polinomio.dove n = 1, 2, 3, . . . e A n , B n e C n sono opportune costanti da determinare.Calcoliamo ora il seguente integrale:C (α)n =∫ ∞0xL (α)n (x)L (α)∫ ∞1=(n + 1)! 0[1 ∑n+1=(n + 1)!j=1∫ ∞+ (−1)n+1(n + 1)! 0[(−1) n ∑n+1=(n + 1)!+ (−1)n+1(n + 1)!= −j=1( ( ddxΓ(n + α + 2),n!n+1(x) x α e −x dx( ) n+1 dxL (α)n (x) {x n+1+α e −x } dxdx( d(−1) j−1 (xL (α)n ) (j−1) (x)( ( ddx) n+1{xL (α)n (x)}dx)) n+1−j{x n+1+α e −x }x n+1+α e −x dx] ∞(xL (α)n ) (j−1) (x)(n + 1 − j)!x α+j e −x L (α+j)n+1−j (x) x=0) ∫ ∞) n+1{xL (α)n (x)}0x n+1+α e −x dx] ∞x=0dove abbiamo utilizzato xL n (α) (x) = (−1) n (x n+1 /n!) + . . .. Poi calcoliamol’integrale:D (α)n =∫ ∞0xL (α)n (x) 2 x α e −x dx77