ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove abbiamo utilizzato x α+1 → 0 per x → 0 + . Quindi per α > −1 i polinomidi Laguerre {L n(α) (x)} ∞ n=0 costituiscono un sistema ortogonale nello spazio diHilbert L 2 (R + ; x α e −x dx).Per calcolare la costante di normalizzazione facciamo i seguenti passaggi:∫ ∞L n (α) (x) 2 x α e −x dx = 1 ∫ ∞( ) n dL (α)0(n!) 2 n (x) {x n+α e −x } dx0dx[1n∑( ) ] n−j ∞d= (−1) j−1 (L (α)(n!) 2n ) (j−1) (x) {x n+α e −x }dxj=1x=0∫ ∞(( ) n )+ (−1)n dL (α)(n!) 2n (x) x n+α e −x dx0 dx[] ∞1n∑= (−1) j−1 (L (α)(n!) 2n ) (j−1) (x)x α+j e −x L (α+j)n−j (x)j=1x=0(( ) n ) ∫+ (−1)n d∞L (α)(n!) 2n (x) x n+α e −x Γ(n + α + 1)dx = ,dx0n!dove abbiamo fatto n integrazioni per parti, utilizzato la (II.94) con α + j alposto di α, applicato l’espressione L (α)n (x) = (−1) n (x n /n!) + . . . e l’identità(A.1). In altre parole,∫ ∞0L n(α) (x)L m (α) (x)x α e −x dx =Γ(n + α + 1)δ n,m ,n!(III.100)dove δ n,m è la delta di Kronecker.Derivando la (II.96) si ottiene la seguente equazione differenziale:Quindi L (α)nx(v ′ ) ′′ + (α + 2 − x)(v ′ ) ′ + (n − 1)(v ′ ) = 0.′ (α+1)(x) è proporzionale a L (x). SiccomeL (α) ′ (−1) n x n−1n (x) =(n − 1)!risulta per α > −1n−1+ . . . , L (α+1)n−1 (x) = (−1)n−1 x n−1+ . . . ,(n − 1)!L (α) ′ (α+1)n (x) = −L n−1 (x). (III.101)L’ortogonalità di L n(α) (x) a tutti i polinomi di grado minore di n nello spaziodi Hilbert L 2 (R + ; x α e −x dx) conduce all’identitàxL (α)n(x) = A (α)nL (α)n+1(x) + B n(α)L (α)n(x) + C (α)nL (α)n−1(x),(III.102)76