ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Dimostriamo ora la formula generatricee 2zt−t2 =∞∑n=0H n (z)n!t n , t ∈ C. (III.91)Infatti, ponendo F (z, t) = e 2zt−t2e scrivendo∞∑F (z, t) =n=0per opportuni coeffienti h n (z), risultanoh n (z)n!t n(III.92)∞∑n=0∂F= 2tF (z, t),∂zh ′ ∞∑n(z)t n 2h n−1 (z)=n!(n − 1)! tn .n=1Quindi h n (z) è un polinomio in z di grado n eh ′ n(z) = 2nh n−1 (z).(III.93)Dalla (II.92) risulta che h n (0) coincide con la derivata n-esima di e −t2 per t = 0,cioè con 0 se n è dispari, e con (−1) n/2 (n!)/(n/2)! se n è pari. Dalla formuladi Rodriguez (II.85) si vede facilmente che H n (0) = h n (0) per n = 0, 1, 2, . . ..Utilizzando le espressioni (II.89) e (II.93) arriviamo alla identità H n (z) = h n (z)e quindi alla formula generatrice (II.91).7 Polinomi di LaguerreI polinomi di Laguerre si definiscono tramite la seguente formula di Rodriguez:( )L (α)n (x) = x−α e x n d{x n+α e −x }. (III.94)n! dxSi dimostra facilmente che la (II.94) rappresenta un polinomio di grado n perogni α ∈ R. La regola di Leibnitz ci dà subito la rappresentazione L (α)n (x) =(−1) n (x n /n!) + . . .. Ci limitiamo al caso α > −1.La funzione w(x) = x n+α e −x soddisfa l’equazione differenzialexw ′ + (x − n − α)w = 0.(III.95)74
Derivando la (II.95) n + 1 volte e ponendo u = w (n) si arriva all’equazionedifferenzialexu ′′ + (x + 1 − α)u ′ + (n + 1)u = 0.Sostituendo u = x α e −x v in quest’ultima equazione si ottiene la seguente equazionedifferenziale di Laguerre:xv ′′ + (α + 1 − x)v ′ + nv = 0.(III.96)Di conseguenza, L n(α) (x) è una soluzione dell’equazione (II.96).Consideriamo ora l’equazione differenzialexv ′′ + (α + 1 − x)v ′ + νv = 0.(III.97)Sostituendo v(x) = ∑ ∞l=0 c lx l si trova la seguente espressione per il coefficientedi x l :(l + 1)(l + α + 1)c l+1 + (ν − l)c l = 0.Quindi abbiamo trovato la formula di ricorrenzac l+1c l=l − ν(l + 1)(l + α + 1) , (III.98)che ci consente a calcolare tutti i coeffienti c l dal coefficiente iniziale c 0 = v(0);bisogna richiedere α > −1 per garantire la positività del denominatore nellaparte a destra della (II.98). Risulta una soluzione polinomiale di grado n =0, 1, 2, . . . se e solo se ν = n.Scrivendo la (II.96) nella forma(x α+1 e −x v ′) ′+ nx α e −x v = 0, (III.99)otteniamo()(n−m)x α e −x L n(α) (x)L m (α) (x)=L (α)n (x) x α+1 e −x L (α) ′ ′ ()m −L(α)m (x) x α+1 e −x L (α) ′ ′n .Calcolando l’integrale sull’intervallo (0, ∞) [dove l’ipotesi α > −1 serve per laconvergenza dell’integrale] si ottiene∫ ∞(n − m) L n(α) (x)L (α)m (x)x α e −x dx0[]= L n(α) (x)x α+1 e −x L m(α) ′(x) − L(α)m (x)x α+1 e −x L (α) ′ ∞n (x)x=0∫ ∞ {}′− (x)x α+1 e −x L (α) ′(x) − L(α)′ (x)x α+1 e −x L (α) ′(x) dx = 0,0L (α)nm75mn
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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dove a 2 è la diffusività termica
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I coefficienti di Fourier si calcol
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per l’equazione delle onde.Per l
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per n, m > n(ε), ossia se lim n,m
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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