ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Dimostriamo ora la formula generatricee 2zt−t2 =∞∑n=0H n (z)n!t n , t ∈ C. (III.91)Infatti, ponendo F (z, t) = e 2zt−t2e scrivendo∞∑F (z, t) =n=0per opportuni coeffienti h n (z), risultanoh n (z)n!t n(III.92)∞∑n=0∂F= 2tF (z, t),∂zh ′ ∞∑n(z)t n 2h n−1 (z)=n!(n − 1)! tn .n=1Quindi h n (z) è un polinomio in z di grado n eh ′ n(z) = 2nh n−1 (z).(III.93)Dalla (II.92) risulta che h n (0) coincide con la derivata n-esima di e −t2 per t = 0,cioè con 0 se n è dispari, e con (−1) n/2 (n!)/(n/2)! se n è pari. Dalla formuladi Rodriguez (II.85) si vede facilmente che H n (0) = h n (0) per n = 0, 1, 2, . . ..Utilizzando le espressioni (II.89) e (II.93) arriviamo alla identità H n (z) = h n (z)e quindi alla formula generatrice (II.91).7 Polinomi di LaguerreI polinomi di Laguerre si definiscono tramite la seguente formula di Rodriguez:( )L (α)n (x) = x−α e x n d{x n+α e −x }. (III.94)n! dxSi dimostra facilmente che la (II.94) rappresenta un polinomio di grado n perogni α ∈ R. La regola di Leibnitz ci dà subito la rappresentazione L (α)n (x) =(−1) n (x n /n!) + . . .. Ci limitiamo al caso α > −1.La funzione w(x) = x n+α e −x soddisfa l’equazione differenzialexw ′ + (x − n − α)w = 0.(III.95)74