ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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sono ortogonali. In altre parole, la trasformazione si dice ortogonale seIn tal casodoveh k =g kl =[ 3∑j=13∑j=1∂x j∂u k∂x j∂u l= 0, k ≠ l.ds 2 =3∑(h i du i ) 2 ,i=1( ∂xj∂u k) 2] 1/2, k = 1, 2, 3.Si vede facilmente che la matrice diag (1/h 1 , 1/h 2 , 1/h 3 ) J è ortogonale (cioè,U −1 = U T e quindi det U ∈ {−1, +1}). Dunque| det J| = h 1 h 2 h 3 .Per ogni punto (u 1 , u 2 , u 3 ) per cui (± det J) > 0, ci passano tre superficiu i = costante (i = 1, 2, 3). In questo punto definiamo il vettore e i di lunghezza1 normale alla superficie u i = costante e nella direzione in cui cresce u i . In talcaso i tre vettori e 1 , e 2 , e 3 formano un sistema di coordinate cartesiane taleche ±(e 1 · (e 2 × e 3 )) > 0.Il gradiente di ψ ha la forma∇ψ =3∑j=11h j∂ψ∂u je j ,la divergenza della funzione V = V 1 e 1 + V 2 e 2 + V 3 e 3 a valori vettoriali ha laforma[1 ∂∇ · V =(V 1 h 2 h 3 ) +∂ (V 2 h 3 h 1 ) +∂ ](V 3 h 1 h 2 ) ,h 1 h 2 h 3 ∂u 1 ∂u 2 ∂u 3e il rotore di V ha la forma[(1 ∂(h3 V 3 )∇ × V =− ∂(h )2V 2 )h 1 e 1 +h 1 h 2 h 3 ∂u 2 ∂u( 3∂(h1 V 1 )+ − ∂(h ) ]3V 3 )h 3 e 3 .∂u 3 ∂u 1Quindi l’operatore di Laplace, oppure il Laplaciano,∆ = ∇ 2 =23∑j=1∂ 2∂x 2 j( ∂(h1 V 1 )− ∂(h )3V 3 )h 2 e 2∂u 3 ∂u 1
ha la seguente rappresentazione:∆ψ =1h 1 h 2 h 3[ ∂∂u 1(h2 h 3h 1)∂ψ+ ∂ (h3 h 1∂u 1 ∂u 2 h 2)∂ψ+ ∂ (h1 h 2∂u 2 ∂u 3 h 3)]∂ψ.∂u 3Esempio I.1 Introduciamo ora alcuni sistemi di coordinate ortogonali.a. Coordinate Cilindriche: x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. dove r ≥ 0,0 ≤ θ < 2π, z ∈ R. Allora h r = 1, h θ = r, h z = 1. In tal caso∆ψ = ∂2 ψ∂r + 1 ∂ψ2 r ψr + 1 ∂ 2 ψr 2 ∂θ + ∂2 ψ2 ∂z . 2(I.1)Sostituendo per ψ una funzione ψ = ψ(r, θ) che non dipende da z si troval’operatore di Laplace in coordinate polari:∆ψ = ∂2 ψ∂r + 1 ∂ψ2 r ψr + 1 ∂ 2 ψr 2 ∂θ . 2(I.2)b. Coordinate Sferiche: x = ρ sin ϕ cos θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos ϕ,dove ρ ≥ 0, ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π). Allora h ρ = 1, h ϕ = ρ, h θ = ρ sin ϕ.In tal caso∆ψ = ∂2 ψ∂ρ + 2 ∂ψ2 ρ ψρ + 1 ∂ 2 ψρ 2 sin 2 ϕ ∂θ + 12 ρ 2 sin ϕ∂∂ϕ(sin ϕ ∂ψ ). (I.3)∂ϕIntroducendo la nuova variabile ξ = cos ϕ ∈ [−1, 1] (tale che dξ =− sin ϕ dϕ, 1 − ξ 2 = sin 2 ϕ) otteniamo 1∆ψ = ∂2 ψ∂ρ + 2 ∂ψ2 ρ ψρ + 1 ∂ 2 ψρ 2 (1 − ξ 2 ) ∂θ + 1 (∂(1 − ξ 2 ) ∂ψ ). (I.4)2 ρ 2 ∂ξ ∂ξc. Coordinate Parabolico-cilindriche (vedi [14]): x = c 2 (u2 − v 2 ), y =cuv, z = z, dove u ∈ R, v ≥ 0, z ∈ R, e c è una costante positiva. Allorah u = h v = c √ u 2 + v 2 , h z = 1.In tal caso∆ψ =( )1 ∂ 2 ψc 2 (u 2 + v 2 ) ∂u + ∂2 ψ+ ∂2 ψ2 ∂v 2 ∂z . 2(I.5)1 Usando le coordinate ortogonali (ρ, θ, ξ) direttamente si trovano le espressioni h ρ = 1,h θ = ρ √ 1 − ξ 2 e h ξ = (ρ/ √ 1 − ξ 2 ).3
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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