ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

convergente in L 2 (S 2 ). I coefficienti a (m)lsono calcolati mediante la formulaa (m)l=2l + 1 (l − |m|)!2π(1 + δ 0,m ) (l + |m|)!∫ π ∫ 2π00f(θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)sen ϕ dθ dϕ.Le funzioni sferiche Ylm , m = 0, ±1, · · · , ±l, sono le autofunzioni del cosiddettooperatore di Beltrami,defL B = − 1sen ϕ∂∂ϕ(sen ϕ ∂ )− 1∂ϕ∂ 2sen 2 ϕ ∂θ , 2che corrisponde all’autovalore λ = l(l + 1) di moltiplicità 2l + 1.6 Polinomi di HermiteStudiamo ora l’equazioneu ′′ + (2ν + 1 − z 2 )u = 0,(III.81)dove u, z e ν non hanno più lo stesso significato come prima. Sostituendou = e −z2 /2 v,(III.82)risulta l’equazionev ′′ − 2zv ′ + 2νv = 0.(III.83)Per ν = 0, 1, 2, . . . la (II.83) si dice equazione differenziale di Hermite. Lesoluzioni della (II.81) si dicono funzioni parabolico-cilindriche.Sostituendo v(z) = ∑ ∞l=0 c lz l nella (II.83) si trova la seguente espressioneper il coefficiente di z l :(l + 2)(l + 1)c l+2 + 2(ν − l)c l = 0. (III.84)La (II.84) è una relazione di ricorrenza che ci consente a calcolare tutti icoefficienti c l dai coefficienti c 0 = v(0) e c 1 = v ′ (0). Si vede facilmenteche esistono soluzioni polinomiali se e solo se ν = n = 0, 1, 2, . . .. Talisoluzioni hanno la proprietà v(−z) = (−1) n v(z) e hanno il grado n (cioè,c n+2 = c n+4 = c n+6 = . . . = 0).Definiamo oraH n (z) = (−1) n e z2 ( ddz) n{e −z2 }. (III.85)71