ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Quindi( 2(l + m) + 121/2 ( ) ml! dP l+m (ξ), l = 0, 1, 2, · · · ,(l + 2m)!)dξè il sistema ortonormale dei polinomi rispetto al peso (1−ξ 2 ) m [con coefficientedi ξ l positivo].5.4 Le funzioni sferiche per n = 3: CompletezzaNella letteratura ci sono diverse normalizzazioni delle funzioni sferiche in R 3 .Qui ne scegliamo una. PoniamoY ml (ϕ, θ) ={Pl m (cos ϕ)(sen ϕ) m cos(mθ), m = 0, 1, · · · , l;P |m|l(cos ϕ)(sen ϕ) |m| sen (|m|θ), m = −1, −2, · · · , −l,dove l = 0, 1, 2, · · · . Le funzioni sferiche Ylm (m = 0, ±1, · · · , ±l) di ordine lsono linearmente indipendenti e le loro combinazioni lineariY l (s) =l∑m=−la (m)lYlm(s)a coefficienti arbitrari a (m)lsono anch’esse funzioni sferiche di ordine l.Le funzioni sferiche {Ylm } formano un sistema ortogonale e completo inL 2 (S 2 ), ed inoltreInfatti,‖Yl m ‖ 2 ==∫ 1−1∫ π ∫ 2π00‖Y ml ‖ 2 L 2 (S 2 ) = 2π 1 + δ 0,m2l + 1|Y mlP |m|l(ξ) 2 (1 − ξ 2 ) m dξ(θ, ϕ)| 2 dθ dϕ∫ 2π0{ } cos 2 mθsen 2 mθ(l + |m|)!l − |m|)! .dθ = 2π 1 + δ 0,m2l + 1l + |m|)!(l − |m|)! .La completezza di un sistema ortogonale di funzioni sferiche {Ylm } significache ogni funzione f appartenente a L 2 (S 2 ) può essere sviluppata in serie diFourier di queste funzioni:f(s) =∞∑ l∑l=0 m=−la (m)lYl m (s) =70∞∑Y l (s),l=0