ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

5.3 Funzioni di Legendre associateSostituiamo P(ξ) = (1 − ξ 2 ) m/2 z(ξ) nella (II.73). Risulta(1 − ξ 2 )z ′′ (ξ) − 2(m + 1)ξz ′ (ξ) + (l − m)(l + m + 1)z(ξ) = 0. (III.79)Moltiplicando la (II.79) per (1 − ξ 2 ) m , otteniamo per P = P l[ ](1 − ξ 2 ) m+1 P l′ ′= −(l − m)(l + m + 1)(1 − ξ 2 ) m P l . (III.80)Per m = 0 risulta l’equazione differenziale per il polinomio di Legendre digrado l:(1 − ξ 2 )P l ′′ (ξ) − 2ξP l ′ (ξ) + l(l + 1)P l (ξ) = 0.Calcolando la derivata m-esima z = P (m)ldi quest’equazione otteniamo(1 − ξ 2 )z ′′ (ξ) − 2(m + 1)z ′ (ξ) + (l − m)(l + m + 1)z(ξ) = 0.Quindi le funzioni (d/dξ) m P l (ξ) sono soluzioni della (II.79). Moltiplicando la(II.80) per P l ′(ξ) e la (II.80) con l ′ invece di l per P l (ξ) e sottraendo, otteniamo[(l − l ′ )(l + l ′ + 1)] (1 − ξ 2 ) m P l (ξ)P l ′(ξ) = P l (ξ) [ (1 − ξ 2 ) m+1 P ′ l ′ ] ′− P l ′(ξ) [ (1 − ξ 2 ) m+1 P ′ l] ′.Integrando quest’equazione tra −1 e +1 e applicando l’integrazione per partirisulta∫ 1[(l − l ′ )(l + l ′ + 1)] (1 − ξ 2 ) m P l (ξ)P l ′(ξ) dξ = 0.−1Quindi, se P l (ξ) sono i polinomi di Legendre, i polinomi (d/dξ) m P l+m (ξ) (l =0, 1, 2, · · · ) costituiscono un sistemi di polinomi ortogonali (di grado l) rispettoal peso w(ξ) = (1 − ξ 2 ) m .Troviamo ora la costante di normalizzazione. Si ha∫ 1[=−1(1 − ξ 2 ) m P (m)l(1 − ξ 2 ) m P (m)l(ξ)P (m) (ξ) dξl ′(ξ)P (m−1)l ′] 1∫ 1(ξ) −−1 −1∫ 1= (l − m − 1)(l + m) (1 − ξ 2 ) m−1 P (m−1)l−1= (l + m)(l − m + 1)(l + m − 1)(l − m + 2)××=∫ 1−1(1 − ξ 2 ) m−2 P (m−2)l(l + m)!(l − m)!∫ 1−1(ξ)P (m−2)l(ξ) dξ′[′P (m−1)l(ξ) (1 − ξ 2 ) m P (m)′l(ξ)]dξ(ξ)P (m−1)l(ξ) dξ′P l (ξ)P l ′(ξ) dξ = 2 (l + m)!2l + 1 (l − m)! δ l.l ′.69