ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Infatti, scriviamo F (x, h) per la parte a sinistra della (II.78). Per |h| < 1 èpermessa la derivazione termine a termine rispetto ad h, grazie alla (II.77). Sitrovano facilmente le seguenti espressioni:∞∑∞∑(2l + 1)xP l (x)h l = xF (x, h) + 2xhl=0∞∑(l + 1)P l+1 (x)h l =l=0∞∑l P l−1 (x)h l = h 2l=1l=0∞∑l P l (x)h l−1 =l=1∑ ∞l=1= h 2 ∂F∂hApplicando la (II.76) si hal P l (x)h l−1 = xF (x, h) + 2xh ∂F∂h ;∞∑l=0(l − 1)P l−1 (x)h l−2 + h+ hF (x, h).xF (x, h) = (1 − 2xh + h 2 ) ∂F∂hdove F (x, 0) = P 0 (x) = 1. Oppure:∂F/∂hF (x, h) =l P l (x)h l−1 = ∂F∂h ;∞∑P l−1 (x)h l−1l=1+ hF (x, h),x − h, F (x, 0) = 1.1 − 2xh + h2 La soluzione unica di questo problema di Cauchy è la funzione F (x, h) datadalla parte a destra della (II.78).1 ⇒ 2. Scrivendo F (x, h) per la parte a destra nella (II.78) risulta (dopoalcuni calcoli)In altre parole,(∂(1 − x 2 ) ∂∂x ∂x(∂(1 − x 2 ) ∂F ) ( ) 2 ∂= −h (hF (x, h)) .∂x ∂x ∂h)∞∑∞∑P l (x)h l = − l(l + 1)P l (x)h l .l=0Ciò implica l’equazione differenziale. Infine, sostituendo x = 1 nella (II.78) siha∞∑P l (1)h l 1= √ = 1(1 − h)2 1 − h ,implicando P l (1) = 1.l=068l=0