ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , xP l ) =(x 2 − 1) l+1 ×2 2l+1 · ((l + 1)!)(l!) −1[ ( ) 2l+1 ( ) ]2l dd× x (x 2 − 1) l + (l + 1) (x 2 − 1) l dxdxdx∫ 1( ) 2l= (−1)l+1d(x 2 − 1) l+1 (x 2 − 1) l dx2 2l+1 · (l!) 2 −1dx∫1 1( ) 2l d=(1 − x 2 ) l+1 (x 2 − 1) l dx2 2l+1 · (l!) 2 dx=−1(2l)! 2 l+2 · (l + 1)!2 2l+1 · (l!) 2 (2l + 3)(2l + 1) · · · 3 · 1 = 2(l + 1)(2l + 1)(2l + 3) .Siccome i polinomi di Legendre sono ortogonali, essi sono linearmente indipendenti.Dunque∞∑(2l + 1)xP l (x) = a j P j (x),dove a j = 0 per j > l + 1 [poichè xP l (x) ha grado l + 1]. Risultano (2l +1)(xP l , P j ) = (2l + 1)(P l , xP j ) = 0 per l < j − 1 [poichè xP j (x) ha grado < l]e (2l + 1)(xP l , P l ) = 0 [poichè xP l (x) 2 è una funzione dispari]. QuindiInfine troviamoj=0(2l + 1)xP l (x) = a l+1 P l+1 (x) + a l−1 P l−1 (x).(2l + 1)(xP l , P l+1 ) = a l+1 (P l+1 , P l+1 ) = a l+1 (2/(2l + 3));(2l + 1)(xP l−1 , P l ) = a l−1 (P l−1 , P l−1 ) = a l−1 (2/(2l − 1)).Quindi a l+1 = l + 1 e a l−1 = l. Risulta la formula di ricorrenza(2l + 1)xP l (x) = (l + 1)P l+1 (x) + l P l−1 (x), P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x.(III.76)Per induzione matematica si dimostrano facilmenteP l (1) = 1, P l (−1) = (−1) l , P l (−x) = (−1) l P l (x);− 1 ≤ P l (x) ≤ +1, −1 ≤ x ≤ +1. (III.77)5 ⇒ 1. Dimostriamo ora la formula generatrice∞∑P l (x)h l =l=01√ , |h| < 1. (III.78)1 − 2xh + h267