ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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dopo un’integrazione per parti. Quindi (P l , P k ) = ∫ 1−1 P l(x)P k (x) dx = 0 sel ≠ k. Per trovare il fattore di normalizzazione, calcoliamo (P l , P l ) tramite lintegrazioni per parti consecutive. Otteniamo(P l , P l ) = 1 ∫ 1( ) l dP2 l l (x) (x 2 − 1) ll! −1 dx⎧[= 1 ⎨ ( ) ] ⎫l−11 ∫ d1( ) l−1 d⎬P2 l l (x) (x 2 − 1) l − P l ′ (x) (x 2 − 1) l dxl! ⎩ dx−1 dx⎭−1⎧ ⎡P (l)l−1costante⎤1contiene il fattore (x 2 −1) k= 1 ⎪⎨ l∑( ) l−k ⎢2 l l! ⎣ (−1)k−1 P (k−1) dl(x) (x 2 − 1) l⎥dx⎦k=1 ⎪⎩} {{ }−1⎫∫ 1⎬+ (−1) l (x)(x 2 − 1) l dx} {{ } ⎭ = 1 ∫ 12 l l! P (l)l(1 − x 2 ) l dx.−1Inoltre,P (l)l(x) = 1 ( ) 2l d(x 2 − 1) l = 1 ( ) 2l dx 2l = (2l)!2 l l! dx2 l l! dx 2 l l! .Applicando la formula di ricorrenza (I l−1 /I l ) = 1 + (1/2l) and I 0 = 2 perl’integrale I l = ∫ 1(1 − −1 x2 ) l dx per arrivare all’espressione I l = 2 l+1 l!/(2l + 1)!![essendo (2l + 1)!! def= 1.3.5. . . . .(2l − 1)(2l + 1)], si ottiene infineQuindi(P l , P l ) = 1 (2l)!2 l l! 2 l l!√l + 1 2 P l(x) ha norma 1 in L 2 (−1, 1).2 l+1 l(2l + 1)!! = 22l + 1 .(3 + 4) ⇒ 5. Per trovare una formula di ricorrenza per i polinomi diLegendre calcoliamo prima il prodotto scalare (P l+1 , xP l ). Infatti, dopo l + 1integrazioni per parti consecutive e utilizzando (x f) (l+1) = x f (l+1) +(l+1) f (l)66
si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , xP l ) =(x 2 − 1) l+1 ×2 2l+1 · ((l + 1)!)(l!) −1[ ( ) 2l+1 ( ) ]2l dd× x (x 2 − 1) l + (l + 1) (x 2 − 1) l dxdxdx∫ 1( ) 2l= (−1)l+1d(x 2 − 1) l+1 (x 2 − 1) l dx2 2l+1 · (l!) 2 −1dx∫1 1( ) 2l d=(1 − x 2 ) l+1 (x 2 − 1) l dx2 2l+1 · (l!) 2 dx=−1(2l)! 2 l+2 · (l + 1)!2 2l+1 · (l!) 2 (2l + 3)(2l + 1) · · · 3 · 1 = 2(l + 1)(2l + 1)(2l + 3) .Siccome i polinomi di Legendre sono ortogonali, essi sono linearmente indipendenti.Dunque∞∑(2l + 1)xP l (x) = a j P j (x),dove a j = 0 per j > l + 1 [poichè xP l (x) ha grado l + 1]. Risultano (2l +1)(xP l , P j ) = (2l + 1)(P l , xP j ) = 0 per l < j − 1 [poichè xP j (x) ha grado < l]e (2l + 1)(xP l , P l ) = 0 [poichè xP l (x) 2 è una funzione dispari]. QuindiInfine troviamoj=0(2l + 1)xP l (x) = a l+1 P l+1 (x) + a l−1 P l−1 (x).(2l + 1)(xP l , P l+1 ) = a l+1 (P l+1 , P l+1 ) = a l+1 (2/(2l + 3));(2l + 1)(xP l−1 , P l ) = a l−1 (P l−1 , P l−1 ) = a l−1 (2/(2l − 1)).Quindi a l+1 = l + 1 e a l−1 = l. Risulta la formula di ricorrenza(2l + 1)xP l (x) = (l + 1)P l+1 (x) + l P l−1 (x), P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x.(III.76)Per induzione matematica si dimostrano facilmenteP l (1) = 1, P l (−1) = (−1) l , P l (−x) = (−1) l P l (x);− 1 ≤ P l (x) ≤ +1, −1 ≤ x ≤ +1. (III.77)5 ⇒ 1. Dimostriamo ora la formula generatrice∞∑P l (x)h l =l=01√ , |h| < 1. (III.78)1 − 2xh + h267
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ISTITUZIONI DI FISICAMATEMATICACors
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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oppure[ cos α cos βsin(α + β) c
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Page 118 and 119: segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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