ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

soddisfano la (II.74) per λ = l(l + 1). Questi polinomi (di grado l) sono dettipolinomi di Legendre e la (II.75) si dice formula di Rodrigues. Infatti, 7 ponendoW l (x) = (x 2 − 1) l e derivando l’identitàl + 1 volte, si ottiene(x 2 − 1)W (l+2)ls=0(x 2 − 1)W ′l (x) − 2l xW l (x) = 0(x) + 2xW (l+1)l(x) − l(l + 1)W (l)l(x) = 0.Dunque la funzione W (l)l(x) = 2 l (l!)P l (x) soddisfa l’equazione (II.74). Inoltre,P l (x) = 1 l∑( ) (( ) s ) ( ( ) )l−s l dd(x − 1) l (x + 1) l2 l l! s dxdxs=0= 1 l∑( ) ( )l!l!2 l l! (l − s)! (x − 1)l−s s! (x + 1)s ,il quale implica che P l (1) = 1 e P l (−1) = (−1) l .2 ⇒ 4. Sostituendo u(x) = P l (x)z(x) e w(x) = z ′ (x) nella (II.74) conλ = l(l + 1), otteniamo l’equazione separabileimplicando chew ′ (x)′w(x) = −2P l (x)P l (x) + 2x1 − x , 2∫ xdty(x) = c 1 P l (x) + c 2 P l (x)0 (1 − t 2 )P l (t) . 2L’integrale nell’ultima espessione è divergente in x = ±1 (poichè P l (±1) 2 = 1].Quindi P l (x) è l’unica soluzione dell’equazione differenziale (II.74) con λ =l(l + 1) che soddisfa P l (1) = 1. Siccome la formula di Rodrigues rappresentauna tale soluzione, si ottiene questa formula dalla proprietà 2.(2 + 4) ⇒ 3. Si dimostra facilmente che i polinomi di Legendre sonoortogonali nello spazio L 2 (−1, 1). Infatti, utilizzando la (II.74) si ha=[l(l + 1) − k(k + 1)]∫ 1= −−1∫ 1∫ 1−1[P l (k) [ (1 − x 2 )P ′ k−1P l (x)P k (x) dx] ′− Pk (x) [ (1 − x 2 )P ′l] ] ′dx[P′l (k)(1 − x 2 )P ′ k(x) − P ′ k(x)(1 − x 2 )P ′l (x) ] dx = 0,7 Vale la formula di Leibnitz (fg) (m) = ∑ m( m)j=0 j f (j) g (m−j) . Quindi (xf) (m) = xf (m) +mf (m−1) e ((x 2 − 1)f) (m) = (x 2 − 1)f (m) + 2mxf (m−1) + m(m − 1)f (m−2) .65