ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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10.50−0.5−1−1 −0.5 0 0.5 1xFigura III.3: I polinomi di Legendre di grado 1, 2, 3 e 4. Si osservi che ilnumero degli zeri è uguale al grado del polinomio.3. tramite l’ortogonalità: P l (ξ) sono i polinomi in ξ di grado l con coefficienteprincipale positivo tali che∫ 1−12P l (ξ)P l ′(ξ) dξ = δ ll ′2l + 1 ,4. tramite la formula di Rodrigues5. tramite la formula di ricorrenzaP l (ξ) = 1 ( ) l d(ξ 2 − 1) l ,2 l l! dξ(2l + 1)ξP l (ξ) = (l + 1)P l+1 (ξ) + lP l−1 (ξ), P 0 (ξ) = 1, P 1 (ξ) = ξ.Noi dimostriamo l’equivalenza tra queste definizioni.4 ⇒ 2. Consideriamo l’equazione differenziale− [(1 − x 2 )u ′ ] ′ (x) = λu(x), −1 < x < +1, (III.74)sotto le condizioni iniziali che i limiti di u(x) per x → ±1 esistano finiti.Questo problema al contorno ha soluzioni polinomiali per λ = l(l + 1) dovel = 0, 1, 2, · · · . Verifichiamo se i polinomiP l (x) = 12 l l!( ddx) l(x 2 − 1) l , l = 0, 1, 2, · · · , (III.75)64
soddisfano la (II.74) per λ = l(l + 1). Questi polinomi (di grado l) sono dettipolinomi di Legendre e la (II.75) si dice formula di Rodrigues. Infatti, 7 ponendoW l (x) = (x 2 − 1) l e derivando l’identitàl + 1 volte, si ottiene(x 2 − 1)W (l+2)ls=0(x 2 − 1)W ′l (x) − 2l xW l (x) = 0(x) + 2xW (l+1)l(x) − l(l + 1)W (l)l(x) = 0.Dunque la funzione W (l)l(x) = 2 l (l!)P l (x) soddisfa l’equazione (II.74). Inoltre,P l (x) = 1 l∑( ) (( ) s ) ( ( ) )l−s l dd(x − 1) l (x + 1) l2 l l! s dxdxs=0= 1 l∑( ) ( )l!l!2 l l! (l − s)! (x − 1)l−s s! (x + 1)s ,il quale implica che P l (1) = 1 e P l (−1) = (−1) l .2 ⇒ 4. Sostituendo u(x) = P l (x)z(x) e w(x) = z ′ (x) nella (II.74) conλ = l(l + 1), otteniamo l’equazione separabileimplicando chew ′ (x)′w(x) = −2P l (x)P l (x) + 2x1 − x , 2∫ xdty(x) = c 1 P l (x) + c 2 P l (x)0 (1 − t 2 )P l (t) . 2L’integrale nell’ultima espessione è divergente in x = ±1 (poichè P l (±1) 2 = 1].Quindi P l (x) è l’unica soluzione dell’equazione differenziale (II.74) con λ =l(l + 1) che soddisfa P l (1) = 1. Siccome la formula di Rodrigues rappresentauna tale soluzione, si ottiene questa formula dalla proprietà 2.(2 + 4) ⇒ 3. Si dimostra facilmente che i polinomi di Legendre sonoortogonali nello spazio L 2 (−1, 1). Infatti, utilizzando la (II.74) si ha=[l(l + 1) − k(k + 1)]∫ 1= −−1∫ 1∫ 1−1[P l (k) [ (1 − x 2 )P ′ k−1P l (x)P k (x) dx] ′− Pk (x) [ (1 − x 2 )P ′l] ] ′dx[P′l (k)(1 − x 2 )P ′ k(x) − P ′ k(x)(1 − x 2 )P ′l (x) ] dx = 0,7 Vale la formula di Leibnitz (fg) (m) = ∑ m( m)j=0 j f (j) g (m−j) . Quindi (xf) (m) = xf (m) +mf (m−1) e ((x 2 − 1)f) (m) = (x 2 − 1)f (m) + 2mxf (m−1) + m(m − 1)f (m−2) .65
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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L’altra condizione u(L) = 0 condu
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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