ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMATEMATICA1 Coordinate ortogonaliSia Ω un insieme aperto in R 3 . Sia u = (u 1 , u 2 , u 3 ) una trasformazione di classeC 2 delle variabili cartesiane x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω in R 3 tale che la matriceJacobiana è invertibile. Allora localmente esiste una corrispondenza biunivocatra le coordinate cartesiane x = (x 1 , x 2 , x 3 ) e quelle curvilinee u = (u 1 , u 2 , u 3 ).Derivando le variabili x 1 , x 2 , x 3 rispetto alle variabili u 1 , u 2 , u 3 otteniamodx i =3∑j=1∂x i∂u jdu j .Quindi la distanza al quadrato tra due punti vicini tra loro è3∑3∑ds 2 = dx 2 i = g ij du i du j ,dovei=1g kl =3∑j=1i,j=1∂x j∂u k∂x j∂u lè la cosiddetta metrica. La trasformazione si dice ortogonale se la metrica{g kl } 3 k,l=1 è una matrice diagonale, cioè se le righe della matrice Jacobiana⎡⎤∂x 1 ∂x 2 ∂x 3∂u 1 ∂u 1 ∂u 1∂x 1 ∂x 2 ∂x 3J =⎢ ∂u⎣ 2 ∂u 2 ∂u 2 ⎥∂x 1 ∂x 2 ∂x 3⎦∂u 3 ∂u 3 ∂u 31