ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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5.1 Funzioni sfericheSi dice funzione sferica di ordine l = 0, 1, 2, · · · ogni polinomio armonico 6omogeneo di grado l considerato sulla sfera unitaria S n−1 ⊂ R n . Dunque, trale funzioni sferiche Y l (s), s ∈ S n−1 , di ordine l ed i polinomi armonici omogeneiu l (x), x ∈ R n , stabilisce una corrispondenza biunivoca l’identitàY l (s) = u l( x|x|)= u l(x)|x| l , s = x|x| ,(III.70)dove ∆u l = 0.Le funzioni sferiche Y l e Y l ′, di ordini diversi sono ortogonali in L 2 (S n−1 ),cioè∫(Y l , Y l ′) = Y l (s)Y l ′(s) ds = 0, l ≠ l ′ .S n−1Infatti, applicando per la sfera la formula di Green ai polinomi armonici( )( )xxu l (x) = |x| l Y l , u l ′(x) = |x| l′ Y l ′ ,|x||x|si ottiene[0 = |x|∫R l′ Y l ′∆ ( ) ( )]|x| l Y l − |x| l Y l ∆ |x| l′ Y l ′ dxn[]∂(|x|= |x|∫S l Y l′ l )Y l ′ − |x| l ∂(|x| l′ Y l ′)Y l ds∂n∂nn−1[]∂(r= Y l ′∫S l ∫Y l ) ∂(r l′ Y l ′)− Y l ds = (l − l ′ )∂r ∂rn−1S n−1Y l (s)Y l ′(s) ds,come volevasi dimostrare.Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla circonferenza S 1 (n = 2). Incoordinate polari abbiamou l (x) = r l Y l (θ),x = (r cos θ, rsen θ),dove ∆u l = 0. Risulta l’equazione differenzialeY ′′l (θ) + l 2 Y l (θ) = 0,da cui seguono le funzioni trigonometriche{costante, l = 0Y l (θ) =c 1 cos(lθ) + c 2 sen (lθ), l = 1, 2, 3, · · · .6 Una funzione v = v(x 1 , . . . , x n ) di classe C 2 si dice armonica se ∆v = ∑ nj=1 ∂2 v= 0.∂x 2 j62
Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla sfera S 2 (n = 3). In coordinatesferiche abbiamo per y l (x) = r l Y l (θ, ϕ)( )1 ∂ 1 ∂Y l+ 1 ∂ 2 Y lsen ϕ ∂ϕ sen ϕ ∂ϕ sen 2 ϕ ∂θ + l(l + 1)Y l(θ, ϕ) = 0, (III.71)2dove θ ∈ [0, 2π], ϕ ∈ [0, π] e l = 0, 1, 2, · · · . Cerchiamo le soluzioni della (II.71)in C ∞ (S 2 ). Introduciamo prima ξ = cos ϕ e scriviamo (II.71) nella forma1 ∂ 2 Y l1 − ξ 2 ∂θ + ∂ ((1 − ξ 2 ) ∂Y )l+ l(l + 1)Y 2l (θ, ξ) = 0. (III.72)∂ξ ∂ξApplicando la separazione delle variabiliY l (θ, ϕ) = P(ξ)Θ(θ),otteniamoΘ(θ) ={costante, m = 0c 1 cos mθ + c 2 sen mθ, m = 1, 2, 3, · · · ,dove abbiamo sfruttato la periodicità della Θ(θ): Θ(θ + 2π) ≡ Θ(θ). DunqueΘ ′′ (θ) = −m 2 Θ(θ). Risulta l’equazione differenziale(d(1 − ξ 2 ) dP )]+[l(l + 1) − m2P(ξ) = 0. (III.73)dξ dξ1 − ξ 2Quest’equazione si può scrivere nella forma− [ (1 − ξ 2 )P ′] ′+m 2P = l(l + 1)P.1 − ξ2 Le soluzioni di quest’equazione nei punti ±1 debbono assumere valori finiti.5.2 Polinomi di LegendreI polinomi di Legendre P l (ξ) si possono definire nei seguenti modi:1. tramite la formula generatrice1√ = ∑ ∞1 − 2ξh + h22. tramite l’equazione differenziale,l=0P l (ξ)h l , |h| < 1,−[(1 − x 2 )P ′l ]′ (x) = l(l + 1)P l (x), − 1 < x < +1; P l (1) = 1,63
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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Capitolo IEQUAZIONI DELLA FISICAMAT
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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3 Equazione di HelmholtzIn questa p
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Page 116 and 117: e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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