ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

5.1 Funzioni sfericheSi dice funzione sferica di ordine l = 0, 1, 2, · · · ogni polinomio armonico 6omogeneo di grado l considerato sulla sfera unitaria S n−1 ⊂ R n . Dunque, trale funzioni sferiche Y l (s), s ∈ S n−1 , di ordine l ed i polinomi armonici omogeneiu l (x), x ∈ R n , stabilisce una corrispondenza biunivoca l’identitàY l (s) = u l( x|x|)= u l(x)|x| l , s = x|x| ,(III.70)dove ∆u l = 0.Le funzioni sferiche Y l e Y l ′, di ordini diversi sono ortogonali in L 2 (S n−1 ),cioè∫(Y l , Y l ′) = Y l (s)Y l ′(s) ds = 0, l ≠ l ′ .S n−1Infatti, applicando per la sfera la formula di Green ai polinomi armonici( )( )xxu l (x) = |x| l Y l , u l ′(x) = |x| l′ Y l ′ ,|x||x|si ottiene[0 = |x|∫R l′ Y l ′∆ ( ) ( )]|x| l Y l − |x| l Y l ∆ |x| l′ Y l ′ dxn[]∂(|x|= |x|∫S l Y l′ l )Y l ′ − |x| l ∂(|x| l′ Y l ′)Y l ds∂n∂nn−1[]∂(r= Y l ′∫S l ∫Y l ) ∂(r l′ Y l ′)− Y l ds = (l − l ′ )∂r ∂rn−1S n−1Y l (s)Y l ′(s) ds,come volevasi dimostrare.Consideriamo ora le funzioni sferiche sulla circonferenza S 1 (n = 2). Incoordinate polari abbiamou l (x) = r l Y l (θ),x = (r cos θ, rsen θ),dove ∆u l = 0. Risulta l’equazione differenzialeY ′′l (θ) + l 2 Y l (θ) = 0,da cui seguono le funzioni trigonometriche{costante, l = 0Y l (θ) =c 1 cos(lθ) + c 2 sen (lθ), l = 1, 2, 3, · · · .6 Una funzione v = v(x 1 , . . . , x n ) di classe C 2 si dice armonica se ∆v = ∑ nj=1 ∂2 v= 0.∂x 2 j62