ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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Per ν = n ∈ Z bisogna calcolare il limite se ν → n.Troviamo ora le equazioni differenziali per le funzioni I ν (x) e K ν (x). Sostituendox ↦→ ix nella (II.34), otteniamo l’equazione differenzialex 2 u ′′ + xu ′ − (x 2 + ν 2 )u = 0.(III.57)Dal Teorema II.5 segue che per ν > −1 le funzioni di Bessel immaginarie I ν (x)e le loro derivate prime non hanno zeri reali (con l’eccezione di x = 0 se ν > 0).4.5 Funzioni sferiche di BesselLe funzioni di Bessel J ±(l+1)(x), dove l = 0, 1, 2, . . ., appaiono nello studio dello2scattering quantistico e dello scattering della luce. Per questo motivo vengonointrodotte le seguenti funzioni:√ π2z J l+ 1 (z),2j l (z) =√ πy l (z) = (−1) l+1 n l (z) =2z Y l+ 1 (z),2√ π2z H(1) (z),l+ 1 2h (1)l(z) = j l (z) + iy l (z) =h (2)l(z) = j l (z) − iy l (z) =√ π2z H(2) (z).l+ 1 2(III.58)(III.59)(III.60)(III.61)Le funzioni j l (z), y l (z) = (−1) l+1 n l (z) e h (1,2)l(z) si dicono funzioni sferiche diBessel di prima, seconda e terza specie. QuindiSi vede facilmente chej 0 (z) = sin(z) ,zj 1 (z) = sin(z) − cos(z) ,( z 2 z3j 2 (z) =z − 1 )sin(z) − 3 3 z z cos(z),2y 0 (z) = −n 0 (z) = − cos(z) ,zy 1 (z) = n 1 (z) = − cos(z) − sin(z) ,( z 2 zy 2 (z) = −n 2 (z) = − 3 z + 1 )cos(z) − 3 3 z z sin(z).2y l (z) = (−1) l+1 n l (z) = (−1) l+1 j −l−1 (z).(III.62)60
È anche abbastanza facile trovare le seguenti espressioni esplicite:(j l (z) = z l − 1 ) l (d sin(z), y l (z) = (−1) l+1 n l (z) = −z l − 1 ) ld cos(z).z dz zz dz z(III.63)Asintoticamente (se x → +∞) abbiamo le seguenti espressioni:⎧⎪⎨ l/2sin(x)(−1)j l (x) ≃x , l pari,⎪⎩cos(x)(III.64)(−1) l+12 , l dispari,x ⎧⎪⎨ (l+2)/2cos(x)(−1) , l pari,y l (x) = (−1) l+1 n l (z) ≃x⎪⎩sin(x)(III.65)(−1) l+12x , l dispari, ⎧⎪⎨ l/2eix−i(−1)h (1)l(x) ≃x , l pari,⎪⎩ e ix(III.66)(−1) l+12x , l dispari, ⎧⎪⎨ l/2e−ixi(−1)h (2)l(x) ≃x , l pari,⎪⎩ e −ix(III.67)(−1) l+12x , l dispari.Sostituendo y = √ x Y nell’equazione di Bessel di ordine ν = l + 1 2all’equazione differenzialeY ′′ + 2 x Y ′ +( )l(l + 1)1 − Y = 0x 2si arriva(III.68)per le funzioni j l , y l = (−1) l+1 n l , h (1)le h (2)l. Ponendo Y = Z/x si ha inoltre( )Z ′′ l(l + 1)+ 1 − Z = 0(III.69)x 2per le funzioni xj l (x), xy l (x) = (−1) l+1 xn l (x), xh (1)l(x) e xh (2)l(x).5 Funzioni sfericheConsideriamo adesso una classe di funzioni speciali molto importante per lafisica matematica.61
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5 Funzioni sferiche . . . . . . . .
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ha la seguente rappresentazione:∆
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dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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nelle variabili (x, y, z) per k > 0
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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