ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + βµJ ν(µ)] ′ è una funzione analitica di µ in tutto ilpiano complesso, i suoi zeri non si possono accumulare ad un punto finito.Dimostriamo ora la semplicità degli zeri. Sia µ 0 > 0 uno zero della (II.43)di moltiplicità 2, in modo che⎧⎨αJ ν (µ 0 ) + βµ 0 J ν(µ ′ 0 ) = 0,)⎩αJ ν(µ ′ 0 ) + βJ ν(µ ′ 0 ) + βµ 0 J ν ′′ (µ 0 ) = −β(µ 0 − ν2J ν (µ 0 ) + αJµν(µ ′ 0 ) = 0,0(III.47)in virtù dell’equazione (II.34). Dalla (II.47) [che è un sistema di equazionilineari per J ν (µ 0 ) e J ν(µ ′ 0 )] concludiamo che a) J ν (µ 0 ) = J ν(µ ′ 0 ) = 0, oppureb) α 2 + β 2 (µ 2 0 − ν 2 ) = 0. Il caso a) è impossibile grazie al teorema sull’unicitàdella soluzione della (II.34), poichè µ 0 > 0 non è un punto singolare dell’equazione(II.34). Dimostriamo che è anche impossibile il caso b). Per realizzare ilcaso b) ci vuole β > 0 e (α/β) = √ ν 2 − µ 2 0, dove 0 < µ 0 ≤ |ν|. Sostituendoquest’equazione nella (II.47) si ottiene( )[J ν(µ ′ 0 )] 2 ν2= − 1 J ν (µ 0 ) 2 ,il che, in virtù della (II.44), porta all’uguaglianza contraddittoria∫ 1xJ ν (µ 0 x) 2 dx = 1 {) }[J ′2ν(µ 0 )] 2 +(1 − ν2J ν (µ 0 ) 2 = 0.0Il teorema è stato dimostrato.µ 2 0In base al teorema dimostrato si possono numerare gli zeri dell’equazione(II.43), disponendole in ordine crescente:µ 2 00 < µ (ν)1 < µ (ν)2 < µ (ν)3 < · · · .Se ν > 0, J ν (x) si annulla per x = 0.Abbiamo la seguente espressione asintotica per la funzione J ν (x): 3J ν (x) =√2(xπx cos − π 2 ν − π )+ O(x −3/2 ), x → +∞. (III.48)4Ne segue la formula approssimativa per gli zeri di J ν (x):µ (ν)k≈ 3π 4 + π ν + kπ, k → +∞.2La dimostraziona della formula asintotica (II.48) si trova nell’Appendice C.3 Vedi l’Appendice C per le dimostrazioni.✷57