ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Se µ 1 e µ 2 sono zeri reali dell’equazione (II.43) dove α, β ≥ 0 e α + β > 0, ildeterminante del sistema lineareαJ ν (µ 1 ) + βµ 1 J ′ ν(µ 1 ) = 0, αJ ν (µ 2 ) + βµ 2 J ′ ν(µ 2 ) = 0,per (α, β) si annulla, cioè il numeratore della frazione nella (II.46) si annulla.Di conseguenza, se µ 2 1 ≠ µ 2 2, segue la proprietà di ortogonalità (cioè, si annullala parte a sinistra della (II.46)).Per dimostrare la (II.44) se µ 1 = µ 2 , si passi al limite per µ 2 → µ 1 nella(II.46) utilizzando la regola di De L’Hôpital:∫ 10xJ ν (µ 1 x) 2 µ 1 J ν (µ 2 )Jdx = limν(µ ′ 1 ) − µ 2 J ν (µ 1 )J ν(µ ′ 2 )µ 2 →µ 1 µ 2 2 − µ 2 1= 1 2 [J ν(µ ′ 1 )] 2 − 1 J ν (µ 1 ) [J2µν(µ ′ 1 ) + µ 1 J ′′1= 1 2 [J ′ ν(µ 1 )] 2 + 1 2 J ν(µ 1 ) 2 (1 − ν2µ 2 1).ν (µ 1 )]Abbiamo dimostrato la (II.44) per µ 1 = µ 2 . La dimostrazione per µ 1 = −µ 2 èanaloga.✷Dimostriamo ora le seguenti proprietà degli zeri dell’equazione (II.43) perν > −1. Per β = 0 quest’equazione definisce gli zeri delle funzioni di Bessel.Teorema III.5 Gli zeri dell’equazione (II.43) per ν > −1 sono reali, semplici,ad eccezione, forse, dello 0; questi zeri sono simmetricamente disposte rispettoall’origine e non hanno punti di accumulazione.Dimostrazione. Dalla (II.35), in virtù del fatto che α, β e Γ(ξ) sono reali,per ξ reali, si ottiene J ν (x) = J ν (x). QuindiαJ ν (µ) + βµJ ′ ν(µ) = αJ ν (µ) + βµJ ′ ν(µ).Per questa ragione, se µ è uno zero dell’equazione (II.43), µ è anche’esso unosuo zero. Se µ 2 ≠ µ 2 , applicando la formula (II.44) per µ 1 = µ e µ 2 = µ, siarriva ad una contraddizione:0 =∫ 10xJ ν (µx)J ν (µx) dx =∫ 10x|J ν (µx)| 2 dx.Ciò significa che µ 2 = µ 2 , cioè µ è un numero reale o immaginario. Ma quest’ultimocaso non ha luogo, poichè, in virtù della (II.35) e del fatto che Γ(ξ) > 0per ξ > 0, si ha per 0 ≠ a ∈ R( ) ν ia ∑ ∞αJ ν (ia) + i βaJ ν(ia) ′ α + β(2k + ν)( a) 2k=≠ 0.2 Γ(k + ν + 1)Γ(k + 1) 2k=056