ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (µ 1 x)J ν (µ 2 x) dx0⎧0, µ 2 1 ≠ µ 2 2,⎪⎨ 1= 2 [J ν(µ ′ 1 )] 2 + 1 ) (1 − ν2J2 µ 2 ν (µ 1 ) 2 , µ 1 = µ 2 ,1⎪⎩ − 1 2 J ν(µ ′ 1 )J ν(−µ ′ 1 ) + 1 ) (1 − ν2J ν (µ 1 )J ν (−µ 1 ), µ 1 = −µ 2 .2µ 2 1(III.44)Dimostrazione. Siano µ 1 , µ 2 ∈ R. In virtù della (II.34), le funzioni J ν (µ 1 x)e J ν (µ 2 x) soddisfano le equazioni[dx dJ ])ν(µ 1 x)+(µ 2dx dx1x − ν2J ν (µ 1 x) = 0,x[dx dJ ])ν(µ 2 x)+(µ 2dx dx2x − ν2J ν (µ 2 x) = 0.xMoltiplichiamo la prima per J ν (µ 2 x) e la seconda per J ν (µ 1 x), poi sottraiamotermine a termine la prima dalla seconda ed integriamo da 0 a 1. Si ottiene=∫ 1(µ 2 2 − µ 2 1)∫ 100[J ν (µ 2 x) ddxxJ ν (µ 1 x)J ν (µ 2 x) dx(x dJ )ν(µ 1 x)dx− J ν (µ 1 x) ddx(x dJ )]ν(µ 2 x)dxdx= [µ 1 xJ ν (µ 2 x)J ′ ν(µ 1 x) − µ 2 xJ ν (µ 1 x)J ′ ν(µ 2 x)] 1 x=0 . (III.45)Dalla (II.35) [vedi anche la (II.39)] abbiamo per x → 0 +J ν (µx) =e perciò1Γ(ν + 1)( µx) ν+O(x ν+2 ), µxJ ′2ν(µx) =νΓ(ν + 1)( µx) ν+O(x ν+2 ),2µ 1 xJ ν (µ 2 x)J ′ ν(µ 1 x) − µ 2 xJ ν (µ 1 x)J ′ ν(µ 2 x) = O(x 2ν+2 ), x → 0 + .Quindi, grazie alla condizione ν > −1, il primo membro della (II.45) si annullaper x = 0 e si ottiene∫ 10xJ ν (µ 1 x)J ν (µ 2 x) dx = µ 1J ν (µ 2 )J ν(µ ′ 1 ) − µ 2 J ν (µ 1 )J ν(µ ′ 2 ). (III.46)µ 2 2 − µ 2 155