ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Nello stesso modo si ottieneJ ν(x) ′ + J ν+1 (x)∞∑[(−1) k (2k + ν)( x) 2k+ν−1 (−1) k ( x) ] 2k+ν+1=+2Γ(k + ν + 1)Γ(k + 1) 2 Γ(k + ν)Γ(k + 1) 2k=0ν( x=2Γ(ν + 1) 2∞∑−=l=0) ν−1[ (−1) l (2l + ν + 2)2Γ(l + ν + 2)Γ(l + 2) −ν( x) ν−1 ν −2Γ(ν + 1) 2 x∞∑l=0(−1) l (x ) 2l+ν+1Γ(l + ν + 2)Γ(l + 1)]2(−1) l ( x) 2l+ν+1 ν =Γ(l + ν + 2)Γ(l + 2) 2 x J ν(x).Le formule (II.41) si possono riscrivere nella formaddx [xν J ν (x)] = x ν d [J ν−1 (x), x −ν J ν (x) ] = −x −ν J ν+1 (x).dxIn particolare per ν = 0 si trovaJ ′ 0(x) = −J 1 (x).Infine, sottraendo le formule (II.41), si ottiene ancora una relazione di ricorrenza:J ν+1 (x) − 2ν x J ν(x) + J ν−1 (x) = 0.4.2 Funzioni di Bessel di seconda specieIl Wronskiano W [u, v] = uv ′ − u ′ v di due soluzioni u e v dell’equazione diBessel soddisfa all’equazione differenziale di primo ordineW ′ [u, v](x) + 1 W [u, v](x) = 0,xe quindi W [u, v](x) è proporzionale alla funzione 1/x. Per trovare la costantedi proporzionalità basta studiare l’andamento del Wronskiano se x → 0. Perν /∈ Z si vede subito che⎧1( x) ν⎪⎨ J ν (x) =+ O(x ν+2 ),Γ(ν + 1) 2⎪⎩ xJ ν(x) ′ ν( x) ν=+ O(x ν+2 ),Γ(ν + 1) 2⎧1( x) −ν⎪⎨ J −ν (x) =+ O(x −ν+2 ),Γ(−ν + 1) 2⎪⎩ xJ −ν(x) ′ −ν( x) −ν=+ O(x −ν+2 ),Γ(−ν + 1) 252