ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

per γ − α − β > 0 e β > 0. Esprimendo le funzioni beta di Eulero in funzionigamma (vedi l’Appendice A) otteniamo il teorema di Gauss2F 1 (α, β; γ; 1) =Γ(γ)Γ(γ − α − β)Γ(γ − α)Γ(γ − β) ,(III.29)dove γ − α − β > 0 e β > 0.La funzione ipergeometrica 2 F 1 (α, β; γ; z) soddisfa all’equazione differenzialeipergeometricax(1 − x)y ′′ (x) + {γ − (α + β + 1)x} y ′ (x) − αβy = 0. (III.30)Tutti i punti z ∈ C \ {0, 1, ∞} sono punti regolari della (II.29) (cioè, esistonodue soluzini linearmente indipendenti in un intorno di ciascuno di questi punti),mentre 0, 1 e ∞ sono singolarità regolari.Intorno a x = 0 la (II.30) ha la formay ′′ +Qundi l’equazione indiciale èγ − (α + β + 1)xy ′ −αβx(1 − x) x(1 − x) y = 0.µ(µ − 1) + γµ = µ(µ + γ − 1) = 0,con gli zeri 0 e 1 − γ. Quindi la sostituzione y(x) = x µ ∑ ∞k=0 c kx k per µ ∈{0, 1 − γ} conduce a due soluzioni linearmente indipendenti per |x| < 1 seγ /∈ Z.Intorno a x = 1 l’equazione indiciale èµ(µ − 1) + (α + β − γ + 1)µ = µ(µ + α + β − γ) = 0,con gli zeri 0 e γ−α−β. Quindi la sostituzione y(x) = (x−1) ∑ µ ∞k=0 c k(x−1) kper µ ∈ {0, γ − α − β} conduce a due soluzioni linearmente indipendenti per|x − 1| < 1 se γ − α − β /∈ Z.Intorno a x = ∞ possiamo trasformare la (II.30) ponendo z = 1/x e considerandoz = 0 come singolarità regolare. Si ottiene l’equazione differenziale1z(1 − 1 z)z 2 d dz (z2 y ′ (z)) −[γ − α + β + 1z]z 2 dydz − αβy(z)= z 2 (z − 1)y ′′ (z) − z[2(1 − z) + γz − α − β − 1]y ′ (z) − αβy(z) = 0.L’equazione indiciale èµ(µ − 1) + µ(1 − α − β) + αβ = (µ − α)(µ − β) = 0.48