ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove la matrice semiinfinita T (α) con elementi⎧⎪⎨ Λ(α + n) def= (α + n)(α + n − 1) + p 0 (α + n) + q 0 , n = j,T (α) nj = p n−j (j + α) + q n−j , n > j,⎪⎩0, n < j.(III.21)è sottotriangolare. In particolare, abbiamo trovate la cosiddetta equazioneindicialeΛ(α) def= α(α − 1) + p 0 α + q 0 = 0. (III.22)Affinchè c 0 ≠ 0, α deve essere una radice della (II.22).Teorema III.2 (Frobenius) Supponiamo che l’equazione indicale (II.20) hadue zeri diversi con una differenza non intera. Allora, scegliendo per α unodegli zeri, si ottengono due soluzioni linearmente indipendenti della (II.16) per|x| inferiore al minimo dei raggi di convergenza delle serie di potenza (II.17).Scrivendo la (II.21) nella forman∑T (α) nj c j = −c 0 T (α) n0 , n = 1, 2, . . . , m, . . . ,j=1dove α è uno zero dell’equazione indiciale (II.22) edet (T (α) nj ) m n,j=1= Λ(α + 1)Λ(α + 2) . . . Λ(α + m),troviamo in modo unico tutti i coefficienti c 1 , c 2 , . . . , c m , . . . se nessuno deinumeri α + 1, α + 2, . . . , α + m, . . . è uno zero dell’equazione indiciale (II.22).In tal caso risultano due soluzioni linearmente indipendenti, una per ciascunozero della (II.22).Se l’equazione indiciale (II.22) ha un singolo zero α ∈ R, allora la (II.18)conduce ad una singola soluzione linearmente indipendente della (II.16). Pertrovare una seconda soluzione linearmente indipendente, si calcolino i coefficientic n (α) dal coefficiente c 0 utilizzando la (II.20) e inserendo α come fosseun parametro libero. La seconda soluzione linearmente indipendente ora ha laseguente forma: [∂∞∑c n (α)x n+α , (III.23)∂α]α=α 0n=0dove α 0 è il singolo zeri dell’equazione indiciale.Se l’equazione indiciale ha due zeri reali con differenza intera, α 0 e α 0 −N per un opportuno N ∈ N, allora la situazione è abbastanza complicata,44