ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Spieghiamo ora il Metodo di Frobenius (1877). Si cerchi la generalizzazionedella risoluzione dell’equazione di Eulero alle equazione differenzialix 2 y ′′ (x) + xp(x)y ′ (x) + q(x)y(x) = 0,(III.16)dove p(x) e q(x) sono funzioni analitiche in un intorno di x = 0 nel pianocomplesso. Ciò vuol dire che∞∑∞∑p(x) = p n x n , q(x) = q n x n ,n=0n=0(III.17)dove ambedue serie di potenze hanno un raggio di convergenza strettamentepositiva. Sostituiamo ora nella (II.16)y(x) = x α∑ ∞n=0c n x n =∞∑c n x n+α ,n=0(III.18)dove, per ipotesi, la serie ha un raggio di convergenza R > 0. 1 Alloraxy ′ (x) =∞∑(n + α)c n x n+α , x 2 y ′′ (x) =n=0∞∑(n + α)(n + α − 1)c n x n+α ,(III.19)dove abbiamo calcolato le derivate termine a termine. Sostituendo la (II.18) ela (II.19) nella (II.16) otteniamo[∞∑(n + α)(n + α − 1)c n +n=0n=0n∑p n−j (j + α)c j +Quindi tutti i coefficienti di questa serie si devono annulare:(n + α)(n + α − 1)c n +j=0n∑p n−j (j + α)c j +j=0]n∑q n−j c j x n+α = 0.j=0n∑q n−j c j = 0, n = 0, 1, 2, . . . .j=0La (II.20) si può anche scrivere nella forma matricialen∑T (α) nj c j = 0,j=0(III.20)1 Si può dimostrare che il raggio di convergenza di questa serie di potenze non è inferioreal minimo dei raggi di convergenza delle serie di potenze nella (II.17).43