ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

e c 2 = c 5 = c 8 = . . . = 0. Di conseguenza∞∑ x 3k∞∑y(x) = y(0)2.3.5.6. . . . .(3k − 1)(3k) + y′ (0)k=0k=0dove ambedue le serie hanno raggio di convergenza +∞.x 3k+13.4.6.7. . . . .(3k)(3k + 1) ,Il metodo di Frobenius (1877) è stato sviluppato per risolvere certeequazioni differenziali ordinarie con coefficienti singolari utilizzando lo sviluppodella soluzione in serie di potenza. In tal caso l’equazione differenziale ha laforma (II.12), dove p(x) def= P (x)/x e q(x) def= Q(x)/x 2 sono funzioni analitichein un intorno di x = 0. Si dice che x = 0 è una singolarità regolare [inglese:regular singularity] dell’equazione.Consideriamo prima l’esempio più elementare di un’equazione differenzialecon singolarità regolare ad x = 0, la cosiddetta equazione di Eulerox 2 y ′′ + pxy ′ + qy = 0,(III.13)dove p e q sono coefficienti costanti reali. Per (±x) > 0 sostituiamo x = ±e t ,dove t ∈ R, e arriviamo all’equazione a coefficienti costantid 2 y+ (p − 1)dy + qy = 0.dt2 dt (III.14)La sua equazione caratteristica, ora detta equazione indiciale, èα(α − 1) + pα + q = 0.(III.15)Quest’equazione segue dalla (II.13) sostituendo y = (±x) α per (±x) > 0.Ci sono tre possibilità:a. Discriminante = (p − 1) 2 − 4q > 0. L’equazione indiciale (II.15) ha dueradici reali diverse α 1 e α 2 . In tal caso la soluzione della (II.13) èy(x) = c 1 e α 1t + c 2 e α 2t = c 1 |x| α 1+ c 2 |x| α 2.b. Discriminante = (p − 1) 2 − 4q = 0. L’equazione indiciale (II.15) ha unasingola radice reale α doppia. In tal caso la soluzione della (II.13) èy(x) = c 1 e αt + c 2 t e αt = c 1 |x| α + c 2 |x| α ln |x|.c. Discriminante = (p − 1) 2 − 4q < 0. L’equazione indiciale (II.15) ha dueradici complesse coniugate σ ± iτ dove σ e τ sono reali. In tal caso lasoluzione della (II.13) èy(x) = e σt [c 1 cos(τt) + c 2 sin(τt)]=|x| σ [c 1 cos(τ ln |x|) + c 2 sin(τ ln |x|)] .42