ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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dove Y 0 e Y 1 sono le soluzioni della corrispondente equazione omogeneatali chey ′′ + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = 0, x ∈ I, (III.4)Y 0 (x 0 ) = 1, Y 0(x ′0 ) = 0, (III.5)Y 1 (x 0 ) = 0, Y 1(x ′0 ) = 1. (III.6)Quindi le soluzioni dell’equazione omogenea (II.4) costituiscono uno spaziovettoriale reale di dimensione 2.La mappa (y 0 , y 1 ) ↦→ y, con y la soluzione dell’equazione omogenea (II.4)che soddisfa la (II.2), è una corrispondenza biunivoca lineare tra R 2 e lo spaziovettoriale delle soluzioni dell’equazione omogenea (II.4). Dunque due soluzioniy 1 e y 2 dell’equazione omogenea (II.4) sono linearmente indipendenti se esolo se sono linearmente indipendenti i loro vettori colonna dei dati iniziali(y j (x 0 ), y j(x ′ 0 )) T (j = 1, 2), cioè se e solo se il loro Wronskianow(x 0 ) def= det(y1 (x 0 ) y 2 (x 0 )y 1(x ′ 0 ) y 2(x ′ 0 ))≠ 0.(III.7)La matrice 2 × 2 nella (II.7) si dice matrice Wronskiana. Sicome la trasformazionelineare dai dati iniziali delle soluzioni della equazione omogenea in x 0 aidati iniziali in un altro punto ˆx 0 ∈ I è per forza una corrispondenza biunivoca,ne segue che il Wronskiano w(x) si annulla da nessuna parte oppure si annulladappertutto in I. Quest’ultima proprietà si dimostra anche nel seguente modo:w ′ (x) = ddx (y 1y 2 ′ − y 2 y 1) ′ = y 1 y 2 ′′ − y 2 y 1′′= y 1 (−a 1 y 2 ′ − a 0 y 2 ) − y 2 (−a 1 y 1 ′ − a 0 y 1 )= −a 1 (y 1 y ′ 2 − y 2 y ′ 1) = −a 1 w. (III.8)Quindi, w(x) = cost. exp (−A 1 (x)), essendo A 1 una primitiva della funzionecoefficiente a 1 . Di conseguenza, w(x) = 0 se e solo se si annulla la costante see solo se w(x) = 0 per ogni x ∈ I.Per risolvere l’equazione non omogenea (II.1) partendo da due soluzioni linearmenteindipendenti y 1 e y 2 della corrispondente equazione omogenea (II.4),si utilizzi il metodo della variazione dei parametri. Ponendoy(x) = c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x)(III.9)e facendo l’ipotesi che c ′ 1(x)y 1 (x) + c ′ 2(x)y 2 (x) = 0 per ogni x ∈ I, si arriva alseguente sistema lineare( ) ( ) ( )y1 (x) y 2 (x) c′1 (x) 0y 1(x)′ y 2(x)′ c ′ = . (III.10)2(x) g(x)40
Essendo w(x) ≠ 0 (per ogni x ∈ I) il determinante della matrice del sistemalineare (II.10) (cioè il Wronskiano), risulta la soluzione( ) c′1 (x)c ′ = 1 ( ) ( )y′2 (x) −y 2 (x) 02(x) w(x) −y 1(x)′ = g(x) ( ) −y2 (x), (III.11)y 1 (x) g(x) w(x) y 1 (x)da cui si trovano c 1 (x) e c 2 (x) (e dunque la soluzione y) integrando.2 Metodo di FrobeniusL’equazione differenziale ordinariay ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0,(III.12)dove P (x) e Q(x) sono funzioni analitiche in un intorno di x = 0 e quindi ammettonouno sviluppo in potenze di x con raggio di convergenza strettamentepositiva, può essere risolta sostituendo y(x) = ∑ ∞n=0 c nx n . Risulta una relazionedi ricorrenza per i coefficienti c n che ci consente a calcolare c 2 , c 3 , c 4 , . . .in modo unico dai coefficienti iniziali c 0 = y(0) e c 1 = y ′ (0). Inoltre, il raggiodi convergenza della serie di potenze per la y(x) non è inferiore al minimo deiraggi di convergenza delle serie di potenze per P (x) e Q(x). Siccome y(0) ey ′ (0) determinano completamente la soluzione y, si trovano in tal modo tuttele soluzioni dell’equazione differenziale (II.12).Esempio III.1 Il metodo di resoluzione sostituendo y = ∑ ∞n=0 c nx n vieneillustrato dall’equazione di Airyy ′′ = xy.Siccome y ′′ (0) = 0, abbiamo c 2 = 0. Quindi y ′′ = ∑ ∞∑ n=0 n(n − 1)c nx n−2 =∞n=0 (n + 3)(n + 2)c n+3x n+1 e xy = ∑ ∞n=0 c nx n+1 implicano∞∑(n + 3)(n + 2)c n+3 x n+1 =n=0e quindi si arriva alla relazione di ricorrenza∞∑c n x n+1 ,n=0(n + 2)(n + 3)c n+3 = c n , n = 0, 1, 2, . . . ,partendo da c 0 = y(0), c 1 = y ′ (0) e c 2 = 0. Quindic 3k =c 02.3.5.6.8.9. . . . .(3k − 1)(3k) , c 3k+1 =41c 13.4.6.7.9.10. . . . .(3k)(3k + 1) ,
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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