ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

dove Y 0 e Y 1 sono le soluzioni della corrispondente equazione omogeneatali chey ′′ + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = 0, x ∈ I, (III.4)Y 0 (x 0 ) = 1, Y 0(x ′0 ) = 0, (III.5)Y 1 (x 0 ) = 0, Y 1(x ′0 ) = 1. (III.6)Quindi le soluzioni dell’equazione omogenea (II.4) costituiscono uno spaziovettoriale reale di dimensione 2.La mappa (y 0 , y 1 ) ↦→ y, con y la soluzione dell’equazione omogenea (II.4)che soddisfa la (II.2), è una corrispondenza biunivoca lineare tra R 2 e lo spaziovettoriale delle soluzioni dell’equazione omogenea (II.4). Dunque due soluzioniy 1 e y 2 dell’equazione omogenea (II.4) sono linearmente indipendenti se esolo se sono linearmente indipendenti i loro vettori colonna dei dati iniziali(y j (x 0 ), y j(x ′ 0 )) T (j = 1, 2), cioè se e solo se il loro Wronskianow(x 0 ) def= det(y1 (x 0 ) y 2 (x 0 )y 1(x ′ 0 ) y 2(x ′ 0 ))≠ 0.(III.7)La matrice 2 × 2 nella (II.7) si dice matrice Wronskiana. Sicome la trasformazionelineare dai dati iniziali delle soluzioni della equazione omogenea in x 0 aidati iniziali in un altro punto ˆx 0 ∈ I è per forza una corrispondenza biunivoca,ne segue che il Wronskiano w(x) si annulla da nessuna parte oppure si annulladappertutto in I. Quest’ultima proprietà si dimostra anche nel seguente modo:w ′ (x) = ddx (y 1y 2 ′ − y 2 y 1) ′ = y 1 y 2 ′′ − y 2 y 1′′= y 1 (−a 1 y 2 ′ − a 0 y 2 ) − y 2 (−a 1 y 1 ′ − a 0 y 1 )= −a 1 (y 1 y ′ 2 − y 2 y ′ 1) = −a 1 w. (III.8)Quindi, w(x) = cost. exp (−A 1 (x)), essendo A 1 una primitiva della funzionecoefficiente a 1 . Di conseguenza, w(x) = 0 se e solo se si annulla la costante see solo se w(x) = 0 per ogni x ∈ I.Per risolvere l’equazione non omogenea (II.1) partendo da due soluzioni linearmenteindipendenti y 1 e y 2 della corrispondente equazione omogenea (II.4),si utilizzi il metodo della variazione dei parametri. Ponendoy(x) = c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x)(III.9)e facendo l’ipotesi che c ′ 1(x)y 1 (x) + c ′ 2(x)y 2 (x) = 0 per ogni x ∈ I, si arriva alseguente sistema lineare( ) ( ) ( )y1 (x) y 2 (x) c′1 (x) 0y 1(x)′ y 2(x)′ c ′ = . (III.10)2(x) g(x)40