ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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5.4 Operatori autoaggiunti non limitatiCi vuole una teoria degli operatori lineari autoaggiunti non limitati in unospazio di Hilbert. Siano H uno spazio di Hilbert complesso e T un operatorelineare con dominio D(T ) denso in H. Allora T si dice hermitiano [oppuresimmetrico] se(T x, y) = (x, T y), x, y ∈ D(T ).Per un operatore hermitiano T , definiamo l’operatore T ∗ da⎧ {}⎪⎨D(T ∗ ∃c = c(y) > 0 :) = y ∈ H :,|(T x, y)| ≤ c(y)‖x‖, x ∈ D(T )⎪⎩In tal caso ∃! z ∈ H : (T x, y) = (x, z); Poniamo T ∗ y = z.Ovviamente, {D(T ) ⊂ D(T ∗ ),T ∗ x = T x, x ∈ D(T ),cioè T ∗ estende T (scritto: T ⊂ T ∗ ).Un operatore lineare T si dice autoaggiunto se D(T ) è denso in H, T èhermitiano e T ∗ = T . Quindi T è autoaggiunto se T è hermitiano e il suodominio è denso e soddisfaD(T ) ={y ∈ H :}∃c = c(y) > 0 :.|(T x, y)| ≤ c(y)‖x‖, x ∈ D(T )In tal caso l’insieme risolvente ρ(T ) di tutti i punti λ ∈ C per cui⎧⎪⎨ (λ − T )[D(T )] = H,Ker (λ − T ) def= {x ∈ D(T ) : T x = λx} = {0},⎪⎩∃c(λ) > 0 : ‖(λ − T ) −1 x‖ ≤ c(λ)‖x‖ per x ∈ H,contiene C \ R. Quindi il suo complementare, lo spettro σ(T ) = C \ ρ(T ), èun sottoinsieme chiuso (ma non necessariamente limitato 8 ) della retta reale.Inoltre, lo spettro residuo σ r (T ) è vuoto.Non tutti gli operatori simmetrici hanno un’estensione autoaggiunta. Inoltre,se esiste, ne esistono molte. Senza dimostrazione enumciamo il seguenterisultato.Teorema II.9 (Friedrichs) Sia T un operatore hermitiano in H tale che perun’opportuna costante q(T x, x) ≥ q‖x‖ 2 , x ∈ D(T ).8 Infatti σ(T ) è limitato se e solo se D(T ) = H se e solo se T è limitato.36
Allora esiste un’unica estensione autoaggiunta T di T , la cosiddetta estensionedi Friedrichs, tale che(T x, x) ≥ q‖x‖ 2 , x ∈ D(T ).Sotto le ipotesi del Teorema B.8 potrebbero esistere moltissime estensioniautoaggiunte di T , ma soltanto quella di Friedrichs ha la proprietà di esserelimitata inferiormente.Nei Cap. IV e V discuteremo l’estensione autoaggiunta L di un operatore diSturm-Liouville L. Essendo q min il minimo del coefficiente q(x) dell’operatoredifferenziale, quest’operatore L è simmetrico nel senso che (Lf, g) = (f, Lg) perf, g nel dominio M L di L e soddisfa (Lf, f) ≥ q min ‖f‖ 2 2 per f ∈ M L . In tal casoun’estensione L definita in un dominio denso D(L) tale che L[D(L) = L 2 (Ω)e G def= L −1 è un operatore integrale con nucleo hermitiano continuo G(x, y),la cosiddetta funzione di Green, tutto quanto sotto l’ipotesi che λ = 0 non siaautovalore del problema di Sturm-Liouville. Nel caso unidimensionale abbiamoinfatti dimostrato tutti i passaggi. L’abbiamo lasciato in sospeso nel casomultidimensionale.37
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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