ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

5.4 Operatori autoaggiunti non limitatiCi vuole una teoria degli operatori lineari autoaggiunti non limitati in unospazio di Hilbert. Siano H uno spazio di Hilbert complesso e T un operatorelineare con dominio D(T ) denso in H. Allora T si dice hermitiano [oppuresimmetrico] se(T x, y) = (x, T y), x, y ∈ D(T ).Per un operatore hermitiano T , definiamo l’operatore T ∗ da⎧ {}⎪⎨D(T ∗ ∃c = c(y) > 0 :) = y ∈ H :,|(T x, y)| ≤ c(y)‖x‖, x ∈ D(T )⎪⎩In tal caso ∃! z ∈ H : (T x, y) = (x, z); Poniamo T ∗ y = z.Ovviamente, {D(T ) ⊂ D(T ∗ ),T ∗ x = T x, x ∈ D(T ),cioè T ∗ estende T (scritto: T ⊂ T ∗ ).Un operatore lineare T si dice autoaggiunto se D(T ) è denso in H, T èhermitiano e T ∗ = T . Quindi T è autoaggiunto se T è hermitiano e il suodominio è denso e soddisfaD(T ) ={y ∈ H :}∃c = c(y) > 0 :.|(T x, y)| ≤ c(y)‖x‖, x ∈ D(T )In tal caso l’insieme risolvente ρ(T ) di tutti i punti λ ∈ C per cui⎧⎪⎨ (λ − T )[D(T )] = H,Ker (λ − T ) def= {x ∈ D(T ) : T x = λx} = {0},⎪⎩∃c(λ) > 0 : ‖(λ − T ) −1 x‖ ≤ c(λ)‖x‖ per x ∈ H,contiene C \ R. Quindi il suo complementare, lo spettro σ(T ) = C \ ρ(T ), èun sottoinsieme chiuso (ma non necessariamente limitato 8 ) della retta reale.Inoltre, lo spettro residuo σ r (T ) è vuoto.Non tutti gli operatori simmetrici hanno un’estensione autoaggiunta. Inoltre,se esiste, ne esistono molte. Senza dimostrazione enumciamo il seguenterisultato.Teorema II.9 (Friedrichs) Sia T un operatore hermitiano in H tale che perun’opportuna costante q(T x, x) ≥ q‖x‖ 2 , x ∈ D(T ).8 Infatti σ(T ) è limitato se e solo se D(T ) = H se e solo se T è limitato.36