ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Teorema II.7 Sia T ∈ L(X) un operatore autoaggiunto. AlloraInoltre, σ r (T ) = ∅.σ(T ) ⊂ {(T x, x) : ‖x‖ = 1} ⊂ R.Dimostrazione. Prima dimostriamo che σ p (T ) ⊂ R. Infatti se λ ∈ R e0 ≠ x ∈ X è il corrispondente autovettore tale che T x = λx, allora λ‖x‖ 2 =λ(x, x) = (T x, x) ∈ R e dunque λ ∈ R.Sia λ ∈ σ r (T ). Siccome Im (λ − T ) è un sottospazio lineare non denso inX, esiste 0 ≠ x ∈ X tale che ((λ − T )z, x) = 0 per ogni z ∈ X. In tal caso nesegue, per z = x,(T x, x)λ =(x, x) ∈ R.Quindi σ r (T ) ⊂ R. Da questo fatto si trova per ogni z ∈ X0 = ((λ − T )z, x) = (z, (λ − T )x),e quindi (λ − T )x = 0 mentre x ≠ 0. Risulta che λ ∈ σ p (T ). Siccomeσ p (T ) ⊂ R, si ha λ ∈ σ p (T ). Contraddizione. Ne segue allora che σ r (T ) = ∅.Sia λ ∈ σ p (T ) ∪ σ c (T ). Allora esiste una successione {x n } ∞ n=1 in X taleche ‖x n ‖ = 1 (n ∈ N) e ‖(λ − T )x n ‖ → 0 se n → ∞. 7 Allora la stima|((λ − T )x n , x n )| ≤ ‖(λ − T )x n ‖‖x n ‖ con ‖x n ‖ = 1 implica cheλ − (T x n , x n ) = ((λ − T )x n , x n ) → 0, n → ∞. (II.4)Siccome (T x n , x n ) ∈ R per n ∈ N, ne segue λ ∈ R. Dunque σ p (T )∪σ c (T ) ⊂ R.Infine, σ(T ) = σ p (T ) ∪ σ c (T ) e la relazione (B.4) [dove ‖x n ‖ = 1 perogni n ∈ N] implicano che lo spettro di T è contenuto nell’intervallo chiusoe limitato più piccolo che contiene l’insieme {(T x, x) : ‖x‖ = 1}. Infatti, sia{(T x, x) : ‖x‖ = 1} ⊂ [m, M]. Alloram‖x‖ 2 ≤ (T x, x) ≤ M‖x‖ 2 , x ∈ X.Dunque per ogni x ∈ X{λ > M : (λ − M)‖x‖ 2 ≥ ((λ − T )x, x) ≥ (λ − m)‖x‖ 2λ < m : (m − λ)‖x‖ 2 ≤ ((T − λ)x, x) ≤ (M − λ)‖x‖ 2 .Di conseguenza, se λ ∈ R\[m, M], non esiste nessuna successione {x n } ∞ n=1 taleche ‖x n ‖ = 1 (n ∈ N) e ‖(λ − T )x n ‖ → 0. Quindi σ(T ) ⊂ [m, M]. ✷7 Se non esistesse, avremmo ‖(λ − T )x‖ ≥ ε > 0 per ogni vettore x di norma 1, il cheesclude λ ∈ σ p (T ) e implica la limitatezza di (λ − T ) −1 . Siccome σ r (T ) = ∅ implica che(λ − T ) −1 può essere definito su uno sottospazio denso, la sua definizione si estende a tuttolo spazio X e quindi λ ∈ ρ(T ).34