ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

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5 Funzioni sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1 Funzioni sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Funzioni di Legendre associate . . . . . . . . . . . . . . . 695.4 Le funzioni sferiche per n = 3: Completezza . . . . . . . 706 Polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 Polinomi di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 Polinomi di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799 Polinomi Ortogonali Generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81IV EQUAZIONI INTEGRALI 871 Proprietà Elementari e Iterazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Equazioni integrali di Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Equazioni Integrali con Nucleo Hermitiano . . . . . . . . . . . . 944 Teorema di Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101V PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE 1051 Problema di Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.1 Funzione di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061.2 Riduzione ad un’equazione integrale . . . . . . . . . . . . 1101.3 Proprietà degli autovalori e delle autofunzioni . . . . . . 1122 Problemi di Sturm-Liouville singolari . . . . . . . . . . . . . . . 115VI FUNZIONI DI GREEN 1211 Classificazione delle equazioni alle derivate parziali . . . . . . . . 1212 Problemi agli autovalori multidimensionali . . . . . . . . . . . . 1232.1 Impostazione del problema agli autovalori . . . . . . . . 1232.2 Formule di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3 Proprietà dell’operatore L . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 Equazioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.1 Equazioni di Laplace e di Poisson . . . . . . . . . . . . . 1283.1.a Equazione di Poisson negli intervalli . . . . . . 1293.1.b Funzione di Green in R n . . . . . . . . . . . . . 1313.1.c Equazione di Laplace nel semipiano . . . . . . . 1343.1.d Equazione di Laplace nel disco . . . . . . . . . 1353.1.e Equazione di Laplace e funzioni analitiche . . . 1383.1.f Equazione di Laplace nella sfera n-dimensionale 1403.2 Equazione di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414 Equazioni paraboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.1 Esempi su intervalli limitati . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2 Esempi su domini illimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . 149ii
5 Equazioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152A LA FUNZIONE GAMMA 157B PROPRIETÀ ASINTOTICHE 1631 Rappresentazioni integrali delle funzioni di MacDonald . . . . . 1632 Sviluppo asintotico delle funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . 165C EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER 1671 La buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733 Atomo d’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176D TRASFORMATA DI FOURIER 1791 Trasformata di Fourier negli spazi L 1 e L 2 . . . . . . . . . . . . . 1792 Funzioni Generalizzate di Crescita Lenta . . . . . . . . . . . . . 1823 Trasformata di Fourier in S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.1 Proprietà della trasformazione di Fourier . . . . . . . . . 188E INTEGRAZIONE SECONDO LEBESGUE 1911 Insiemi di Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Integrale di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933 Alcuni Teoremi Importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196F FUNZIONI ANALITICHE 199G APPROSSIMAZIONE DA POLINOMI 205BIBLIOGRAFIA 207iii
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Page 9 and 10: ha la seguente rappresentazione:∆
Page 11 and 12: dove L ∈ (0, +∞). Ponendoψ(r,
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Page 17 and 18: L’altra condizione u(L) = 0 condu
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Page 34 and 35: ossia∫1 π|f(x)| 2 dx =2π −π
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Page 51 and 52: poichè in alcuni casi si trovano d
Page 53 and 54: per |z| abbastanza piccola, dove il
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Quindi la sostituzione y(x) = x −
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come dovevasi dimostrare. La funzio
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e dunque [vedi la (A.10) nell’App
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dove ν > −1. Allora∫ 1xJ ν (
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Siccome µ −ν [αJ ν (µ) + β
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3025201510587654321000 1 2 3 4 5 1
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È anche abbastanza facile trovare
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Consideriamo ora le funzioni sferic
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soddisfano la (II.74) per λ = l(l
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si ottiene∫ 1(−1) l+1(P l+1 , x
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5.3 Funzioni di Legendre associateS
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convergente in L 2 (S 2 ). I coeffi
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Confrontando i coefficienti di z n+
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Derivando la (II.95) n + 1 volte e
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40502000−20−40−50−60−80
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otteniamo le seguenti espressioni p
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∫ 1−1U n (x)U m (x) √ 1 − x
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dove q è un polinomio di grado n
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++n∑(α j−1 p j−1 (x)p j (y)
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dove K ∗ (x, y) = K(y, x), sono d
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Da questa disuguaglianza segue che
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(1/Mm(Ω)) − ε}, per ε > 0 qual
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Risolviamo ora l’equazione di Vol
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Dimostrazione. Come è noto, ogni s
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Conformemente al Lemma III.5, la su
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ECC. Supponiamo di aver trovato i n
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Introduciamo ora la successione di
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Teorema IV.8 (Teorema di Hilbert-Sc
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L’operatore L è hermitiano, cio
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Calcolando la derivata si trovau
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e quindiw(x) = v 1 (0, λ)v 2(0,
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segue che u 0 ∈ C[0, l], poichè
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Le condizioni al contorno (IV.2) si
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implica l’impossibilità di conve
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Quindi il problema (IV.26)-(IV.27)
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120
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dove a 00 (x) = 0 (essendo t la coo
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Tutte le funzioni f di classe C 2 (
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2. Sia f ∈ M L . Ponendo u = f e
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3.1 Equazioni di Laplace e di Poiss
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Sostituendo le condizioni al contor
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Risolvendo la (V.34) sotto la condi
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Utilizzando il linguaggio dell’el
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L’equazione (V.48) è un’equazi
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dove abbiamo utilizzato ∑ ∞n=1
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3.1.fEquazione di Laplace nella sfe
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nella forma∫u(x) = E(x, y)f(y) dy
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4 Equazioni parabolicheL’equazion
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doveG(x, y; t) = 2 ∞∑e −n2 (
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e applicando la solita separazione
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dove u(x) = −u(−x) per x ∈ R
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Quindiu(x, t) = 1 ∫ ∞e i(x·ξ)
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dove ψ 0 (x) = 1/ √ mis(Ω) è l
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L’equazione delle onde (V.97) con
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da Γ(z) = Γ(z + 1)/z, poi nella s
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Il teorema A.1 può essere applicat
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Quindi φ ν (z) è una soluzione d
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dove χ = z −( 1ν + 1 )π, otten
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dove A(k, θ, θ ′ ) è l’ampie
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L’equazione (C.5) può essere ris
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Per trovare i stati limite richiedi
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2 Oscillatore armonicoa. Utilizzand
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isultando in polinomi in x di grado
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altre parole,⎧⎪⎨ E n = −κ
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Siano f, g ∈ L 1 (R n ). Inoltre,
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L’equazione (D.4) dimostra che F
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(d) Se f ∈ S ′ , allora ogni de
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La trasformazione inversa di Fourie
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3.1 Proprietà della trasformazione
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Osservando ora che tutti gli aperti
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3. Se f, g : R n → C sono misurab
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Esempio E.2 Sia f : R + → R defin
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Teorema E.6 (Fubini) Sia f : R n+m
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Sia f : G → C una funzione analit
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e quindi f ′ (w) = 0. Siccome w
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204
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Abbiamo bisogno di alcune informazi
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[13] I.N. Sneddon, Special Function
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