ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

Sia X uno spazio di Banach complesso e sia T ∈ L(X). Il numero complessoλ appartiene allo spettro di T , σ(T ), se λ − T NON è invertibile. Quindi tuttigli autovalori di T appartengono allo spettro di T . Il numero complesso λappartiene al risolvente di T , ρ(T ), se λ − T è invertibile. Dunque ρ(T ) è ilcomplementare di σ(T ).Teorema II.6 Sia T ∈ L(X). Allora lo spettro σ(T ) di T è un sottoinsiemechiuso, limitato e non vuoto di C, mentre il risolvente ρ(T ) di T è un aperto.Dimostrazione. Se |λ| > ‖T ‖, ‖λ −1 T ‖ < 1 implica l’invertibilità dell’operatoreλ − T = λ(I X − λ −1 T ). Inoltre(λ − T ) −1 = 1 λ∞∑j=0T jλ j= ∞∑j=0T jλ j+1 ,(II.3)dove la serie è convergente nella norma di L(X). Quindi lo spettro è contenutonella palla di centro zero e raggio ‖T ‖.Inoltre, se λ ∈ ρ(T ) e |µ−λ| < ‖(λ−T ) −1 ‖ −1 , allora ‖(λ−T )−(µ−T )‖ r. Allora r(T ) ≤ ‖T ‖ eσ(T ) è contenuto nel disco di centro 0 e raggio r(T ). Infatti quel disco è il discodi centro 0 più piccolo che contiene lo spettro di T . Utilizzando l’espressioneper il raggio di convergenza di una serie di potenze, troviamor(T ) = limn→∞‖T n ‖ 1/n .Sia T ∈ L(X). La formula C = σ(T ) ∪ ρ(T ) rappresenta una partizionedel piano complesso in due insiemi disgiunti. Adesso discutiamo un’ulterioresuddivisione di C in quattro insiemi due a due disgiunti.a. Se λ − T è invertibile, λ ∈ ρ(T ). Altrimenti, λ ∈ σ(T ).5 In modo implicito abbiamo supposto che X sia uno spazio di Hilbert. La dimostrazionesi adatta facilmente al caso di uno spazio di Banach generale.6 Una funzione analitica e limitata in tutto il piano complesso è necessariamente costante.32