ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

iniziale e poniamo x n+1 = F (x n ) per n = 0, 1, 2, . . .. AlloraQuindi.‖x 2 − x 1 ‖ = ‖F (x 1 ) − F (x 0 )‖ ≤ ‖T −1 ‖‖T − S‖‖x 1 − x 0 ‖,‖x 3 − x 2 ‖ = ‖F (x 2 ) − F (x 1 )‖ ≤ ‖T −1 ‖‖T − S‖‖x 2 − x 1 ‖.≤ [‖T −1 ‖‖T − S‖] 2 ‖x 1 − x 0 ‖,...‖x n+1 − x n ‖ = ‖F (x n ) − F (x n−1 )‖ ≤ ‖T −1 ‖‖T − S‖‖x n − x n−1 ‖‖x n+p − x n+1 ‖ ≤≤ [‖T −1 ‖‖T − S‖] n ‖x 1 − x 0 ‖.p−1∑j=0≤ ‖x 1 − x 0 ‖...p−1∑‖x n+j+1 − x n+j ‖ ≤ ‖x 1 − x 0 ‖ [‖T −1 ‖‖T − S‖] n+j∞∑[‖T −1 ‖‖T − S‖] n+jj=0= ‖x 1 − x 0 ‖ [‖T −1 ‖‖T − S‖] n1 − ‖T −1 ‖‖T − S‖ .Quest’ultima espressione tende a zero se n → ∞. Dunque {x n } ∞ n=1 è unasuccessione di Cauchy in X e quindi ha limite x ∈ X. Utilizzando la continuitàdella F : X → X [vedi la (B.2)], otteniamo.j=0..x = limn→∞x n+1 = limn→∞F (x n ) = F ( limn→∞x n ) = F (x).L’unicità della soluzione è immediata.✷5.2 Proprietà spettraliSia X uno spazio di Banach complesso e sia T ∈ L(X). Per ogni λ ∈ Cconsideriamo gli operatori lineari λ−T (cioè, λI X −T scritto male). Studiamol’invertibilità di λ − T al variare di λ.Il numero λ ∈ C si dice autovalore di T se esiste 0 ≠ x ∈ X tale che(λ−T )x = 0 (cioè, tale che T x = λx). Il vettore x si chiama un corrispondenteautovettore. In tal caso Ker (λ − T ) = {x ∈ X : (λ − T )x = 0} è l’insiemedi tutti gli autovettori corrispondenti all’autovalore λ, più il vettore zero. Ladefinizione generalizza quella per le matrici quadrate. Infatti, come per lematrici quadrate l’esistenza dell’autovettore 0 ≠ x ∈ X tale che T x = λximplica che λ − T non è invertibile. Per le matrici quadrate T basta risolverel’equazione det(λ − T ) = 0 per trovare tutti gli autovalori di T . Nel caso diuno spazio X a dimensione infinita la situazione è molto più complicata.31