ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

N → ∞. 3 Quindiϕ ↦→N∑(ϕ, λ n )λ nn=1definisce la proiezione ortogonale di ϕ in E N .Dato lo spazio di Hilbert separabile X con base ortonormale {ϕ n } ∞ n=1, sidefinisce la trasformazione lineare U : X → l 2 daUϕ = {(ϕ, ϕ n )} ∞ n=1 ,ossia Uϕ è la successione dei coefficienti (ϕ, ϕ n ) vista come vettore in l 2 . Allora,applicando la definizione della norma in l 2 ,‖Uϕ‖ 2 =∞∑|(ϕ, ϕ n )| 2 = ‖ϕ‖ 2 ,n=1secondo l’identità di Parseval. Si verifica facilmente che U definisce una corrispondenzabiunivoca tra X e l 2 . Costruendo la U per X = l 2 e la sua baseortonormale canonica, si vede subito che U coincide con la trasformazione identitàin l 2 . Concludiamo che, tranne per una trasformazione unitaria della baseortonormale, esiste un singolo spazio di Hilbert separabile.4 Applicazioni1. In X = L 2 (−π, π) le funzioniϕ n (x) = 1 √2πe inx , n ∈ Z,formano una base ortonormale. Data una funzione f ∈ L 2 (−π, π) e introducendoi suoi coefficienti di Fourierc n = 12π∫ π−πf(x)e −inx dx,si vede subito che c n = (2π) 1/2 (ϕ, ϕ n ) per n ∈ Z. Secondo l’identità di Parsevalsegue∞∑‖f‖ 2 2 = 2π |c n | 2 ,n=−∞3 Sia ∑ Nn=1 λ ∥nϕ n un vettore arbitrario in E N e F (λ 1 , . . . , λ N ) = ∥ϕ − ∑ ∥N ∥∥n=1 λ 2nϕ nla distanza tra ϕ e E N al quadrato. Si può dimostrare che il minimo viene assunto perλ n = (ϕ, ϕ n ) (n = 1, . . . , N).27