ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA Corso di 6 Crediti Corso di ...

1. Sia Ω un sottoinsieme misurabile in R n . Con L 2 (Ω) si indica lo spaziovettoriale di tutte le funzioni al quadrato sommabili (nel senso di Lebesgue)in Ω, dove due funzioni per cui i valori sono diversi soltanto inun sottoinsieme di Ω di misura zero, vengono considerate uguali. Allorala funzione (·, ·) : L 2 (Ω) × L 2 (Ω) → C,(∫1/2(f, g) = f(x)g(x) dx),Ωè un prodotto scalare in L 2 (Ω) che induce la solita norma.2. Sia l 2 lo spazio vettoriale di tutte le successioni {x n } ∞ n=1 scalari (reali ocomplesse) per cui la serie ∑ ∞n=1 |x n| 2 è convergente. Allora la funzione(·, ·) : l 2 × l 2 → C,( ∞) 1/2∑({x n } ∞ n=1, {y n } ∞ n=1) = x n y n ,n=1è un prodotto scalare in l 2 che induce la solita norma.3 Basi ortonormali in spazi di HilbertConsideriamo prima uno spazio vettoriale di dimensione N con prodotto scalare.Tale spazio ha una base ortonormale {ϕ n } N n=1 di vettori di lunghezza 1ortogonali tra loro. Partendo da una base (i.e., un sistema linearmente indipendentemassimale) {ψ n } N n=1 qualsiasi, si può costruire una base ortonormaleutilizzando il processo di Gram-Schmidt:⎧ϕ 1 = ψ 1‖ψ 1 ‖ϕ 2 = ψ 2 − (ψ 2 , ϕ 1 )ϕ 1⎪⎨ ‖ψ 2 − (ψ 2 , ϕ 1 )ϕ 1 ‖ϕ 3 = ψ 3 − (ψ 3 , ϕ 1 )ϕ 1 − (ψ 3 , ϕ 2 )ϕ 2‖ψ 3 − (ψ 3 , ϕ 1 )ϕ 1 − (ψ 3 , ϕ 2 )ϕ 2 ‖.⎪⎩ ϕ N =ψ N − (ψ N , ϕ 1 )ϕ 1 − . . . − (ψ N , ϕ N−1 )ϕ N−1‖ψ N − (ψ N , ϕ 1 )ϕ 1 − . . . − (ψ N , ϕ N−1 )ϕ N−1 ‖ .È facile controllare induttivamente che ϕ j è ortogonale ai vettori ϕ 1 , . . . , ϕ j−1e ha norma 1 (j = 1, 2, . . . , N).25